Диссертация (1145332), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Доказаны теоремы об однозначной разрешимости краевой задачидля P1 приближения модели радиационно-кондуктивного теплообмена. Доказательство основано на исследовании свойств оператора решения. Доказанные теоремы обосновывают сходимость простой итерационной процедуры крешению задачи.5. Разработано специализированное программное обеспечение вычислениятемпературного профиля на основе моделей радиационно-кондуктивного теплообмена в рассеивающем слое с отражающими границами. Программы дляЭВМ реализуют метод простой итерации, основанный на рекурсивном алгоритме нахождения решения уравнения переноса, и итерационную процедурунахождения решения краевой задачи для диффузионной модели.Основные результаты Главы 4 представлены в работах [39,44,48,131,133].Результаты в [44, 48] получены непосредственно автором. В остальных (совместных) работах творческий вклад по отношению к соавторам как минимумравный.
В работе [39] автором получены оценки близости диффузионногоприближения к решению уравнения переноса в слоистой среде на различныхоптических глубинах. В [131] автором разработан рекурсивный алгоритм метода Монте-Карло для решения задачи радиационно-кондуктивного теплообмена. В работе [133] автором доказана однозначная разрешимость краевойзадачи для диффузионной модели радиационно-кондуктивного теплообмена,разработан и обоснован итерационный алгоритм ее решения.177ГЛАВА 5. СЛОЖНЫЙ ТЕПЛООБМЕН В ТРЕХМЕРНОЙСРЕДЕ§11.Однозначная разрешимость задачирадиационно-конвективно-кондуктивного переноса тепла11.1.Постановка краевой задачиСтационарная нормализованная диффузионная модель, описывающая радиационный, кондуктивный и конвективный теплообмен в ограниченной области G ⊂ R3 , имеет следующий вид [146]:−a∆θ + v · ∇θ + bµa θ4 = bµa ϕ,(5.1)−α∆ϕ + µa ϕ = µa θ4 .(5.2)Здесь θ – нормализованная температура, ϕ – нормализованная интенсивностьизлучения, усредненная по всем направлениям, v – заданное поле скоростей,µa – коэффициент поглощения.
Постоянные a, b и α определяются следующим образом:a=k,ρcvb=34σn2 Tmax,ρcvα=1,3µ − Aµsгде k – теплопроводность, cv – удельная теплоемкость, ρ – плотность, σ –постоянная Стефана-Больцмана, n – показатель преломления, Tmax – максимальная температура в ненормализованной модели, µ = µs + µa – коэффициент полного взаимодействия, µs – коэффициент рассеяния. КоэффициентA ∈ [−1, 1] описывает анизотропию рассеяния, случай A = 0 соответствуетизотропному рассеянию.Будем предполагать, что функции θ и ϕ, описывающие процесс сложного178теплообмена, удовлетворяют следующим условиям на границе Γ = ∂G:θ|Γ = Θ0 ,(5.3)∂ϕ+ β(ϕ − Θ40 )|Γ = 0.(5.4)∂nЗдесь через ∂/∂n обозначаем производную в направлении внешней нормали.αНеотрицательная функция Θ0 , определенная на Γ, и функция β, описывающая, в частности, отражающие свойства границы Γ, являются заданными.Основные результаты, представленные в данном параграфе, состоят в получении новых априорных оценок решения краевой задачи (5.1)-(5.4), на основе которых доказана разрешимость задачи и выведены достаточные условия единственности решения.
Кроме того, найдены условия на параметрымодели, геометрию области G и поле скоростей v, гарантирующие однозначную разрешимость в случае равномерного потока среды. Результаты теоретического анализа иллюстрируются примерами численного моделированиятемпературных полей в канале прямоугольной формы.Пусть G – липшицева ограниченная область, граница Γ которой состоитиз конечного числа гладких кусков, а исходные данные удовлетворяют условиям:(i)v ∈ H 1 (G) ∩ L∞ (G),∇ · v = 0;e Γ = Θ0 , m ≤ θe ≤ M ;(ii) Θ0 ∈ L∞ (Γ), 0 ≤ m ≤ Θ0 ≤ M ; ∃ θe ∈ H 1 (G), θ|(iii) β ∈ L∞ (Γ), β ≥ β0 > 0.Здесь и далее через Lp , 1 ≤ p ≤ ∞, обозначаем пространство Лебега, а черезH s – пространство Соболева W2s .
Через (·, ·) обозначаем скалярное произведение в L2 (G),Z(f, g) =f (r)g(r)dr,kf k2 = (f, f ).GКроме этого будем использовать пространствоH01 (G) = {η ∈ H 1 (G) : η|Γ = 0}с нормой kηkH01 (G) = (∇η, ∇η)1/2 .179Определение 5.1. Пара {θ, ϕ} ∈ H 1 (G) × H 1 (G) называется слабым решением задачи (5.1)-(5.4), еслиa(∇θ, ∇η) + (v · ∇θ + bµa (θ4 − ϕ), η) = 0 ∀η ∈ H01 (G),α(∇ϕ, ∇ψ) + µa (ϕ − θ4 , ψ) +Zβ(ϕ − Θ40 )ψdΓ = 0 ∀ψ ∈ H 1 (G)(5.5)(5.6)Γи при этом θ|Γ = Θ0 .Отметим, что в силу вложения H 1 (G) ⊂ L6 (G) выражение (θ4 , η) имеетсмысл для любой функции η ∈ H 1 (G).Теорема 5.1.
Пусть выполняются условия (i)-(iii). Тогда существует слабое решение задачи (5.1)-(5.4), удовлетворяющее условиямm ≤ θ ≤ M,m4 ≤ ϕ < M 4 .(5.7)Доказательство теоремы 5.1. основано на построении операторного уравнения, которое определяет слабое решение задачи (5.1)-(5.4), обосновании слабого принципа максимума и применении принципа Лере-Шаудера.Рассмотрим пространство V = H01 (G) × H 1 (G). Скалярное произведениев V удобно выбрать следующим образом:Z((y, z)) = a(∇ζ, ∇η) + α(∇ϕ, ∇ψ) +βϕψdΓ,Γгде y = {ζ, ϕ} ∈ V , z = {η, ψ} ∈ V .
Отметим, что норма пространстваV , соответствующая выбранному скалярному произведению, эквивалентнанорме пространства H 1 (G)×H 1 (G). Через ye обозначим элемент пространстваV такой, чтоZe ∇η) −((ey , z)) = a(∇θ,Γгде θe – функция из условия (ii).βΘ40 ψdΓ ∀z = {η, ψ} ∈ V,180Определим нелинейный оператор F : V → V , используя равенство((F (y), z)) = (v · ∇θ, η) + µa b(θ4 − ϕ, η) + µa (ϕ − θ4 , ψ),(5.8)справедливое для всех y = {ζ, ϕ}, z = {η, ψ} ∈ V . Здесь θ = θe + ζ.Из определения скалярного произведения в пространстве V и соотношения (5.8) следует утверждение.Лемма 5.1. Пара {θ, ϕ} ∈ H 1 (G)×H 1 (G) является слабым решением задаe ϕ} ∈ V удовлетворяетчи (5.1)-(5.4), если и только если элемент y = {θ− θ,в пространстве V уравнениюy + ye + F (y) = 0.11.2.(5.9)Разрешимость краевой задачиДля доказательства разрешимости уравнения (5.9) предварительно рассмотрим в пространстве V уравнениеy + ye + FM (y) = 0.(5.10)Здесь оператор FM : V → V определяется равенством((FM (y), z)) = (v · ∇θ, η) + µa b(|θ|θ3 − g(ϕ), η) + µa (ϕ − |θ|θ3 , ψ)для всех y = {ζ, ϕ}, z = {η, ψ} ∈ V , где θ = θe + ζ,g(t) =4 m , приt,при M 4 , приt < 0,t ∈ [0, M 4 ],t > M 4.Отметим, что если y = {ζ, ϕ} есть решение (5.10), удовлетворяющее условиямm ≤ θ ≤ M , m4 ≤ ϕ ≤ M 4 , то y является решением уравнения (5.9), ипоэтому пара {θ, ϕ} будет слабым решением задачи (5.1)-(5.4).181Лемма 5.2.
Оператор FM : V → V вполне непрерывен.Доказательство. Пусть y1 = {ζ1 , ϕ1 } ∈ V , y2 = {ζ2 , ϕ2 } ∈ V , kζ1,2 kH 1 (G) ≤χ, ζ = ζ1 − ζ2 , ϕ = ϕ1 − ϕ2 , θ1,2 = θe + ζ1,2 , z = {η, ψ} ∈ V . Оценим разность((FM (y1 ) − FM (y2 ), z)) = (v · ∇ζ, η) + µa b(|θ1 |θ13 − |θ2 |θ23 + g(ϕ2 ) − g(ϕ1 ), η)+µa (ϕ + |θ2 |θ23 − |θ1 |θ13 , ψ) ≤ kvkL∞ (G) k∇ζkkηk+332µa b kθ1 kL6 (G) + kθ2 kL6 (G) kζkL4 (G) kηkL4 (G) + µa bkϕkkηk + µa kϕkkψk+33(5.11)2µa kθ1 kL6 (G) + kθ2 kL6 (G) kζkL4 (G) kψkL4 (G) .Обозначим h = FM (y1 ) − FM (y2 ) = {h1 , h2 } ∈ V , и в неравенстве (5.11)положим z = h. Учтем непрерывность операторов вложения H 1 (G) в Ls (G),1 ≤ s ≤ 6.
Отметим, что указанные операторы компактны, если 1 ≤ s < 6.Тогдаkhk2V ≤ C kζkk∇h1 k + kζkL4 (G) khkV .(5.12)Здесь через C > 0 обозначена постоянная, зависящая только от a, b, α, β, χ,kvkL∞ (G) и норм соответствующих операторов вложения. Следствием оценки(5.12) является непрерывность оператора FM , а также, в силу компактности вложения H 1 (G) в L2 (G) и L4 (G), компактность оператора FM .
Леммадоказана.Рассмотрим далее операторное уравнение с параметром λ ∈ (0, 1]:yλ + ye + λFM (yλ ) = 0,(5.13)для решения которого получим априорные оценки, равномерные по λ.Лемма 5.3. Пусть yλ = {ζλ , ϕλ } ∈ V удовлетворяют (5.13), λ ∈ (0, 1].Тогда для функций θλ = θe + ζλ ∈ H 1 (G), ϕλ ∈ H 1 (G) справедливы оценкиm ≤ θλ (r) ≤ M,m4 ≤ ϕλ (r) ≤ M 4 ,r ∈ G.(5.14)182Доказательство. Умножим (5.13) скалярно в V на элемент z = {ηλ , 0} ∈ V ,где ηλ = max(θλ − M, 0) ∈ H01 (G). Тогдаa(∇θλ , ∇ηλ ) + λ(v · ∇θλ , ηλ ) + λµa b(|θλ |θλ3 − g(ϕλ ), ηλ ) = 0.Учтем, что1(v · ∇θλ , ηλ ) = (v · ∇ηλ , ηλ ) = (v, ∇(ηλ2 )) = 0,2Z3(|θλ |θλ − g(ϕλ ), ηλ ) =(|θλ |θλ3 − g(ϕλ ))(θλ − M )dr ≥ 0.(∇θλ , ∇ηλ ) = k∇ηλ k2 ,θλ >MПоэтому ηλ = 0 и соответственно θλ ≤ M в области G.Далее, умножая (5.13) скалярно в V на z = {0, ψλ }, где ψλ = max(ϕλ −M 4 , 0), получаем2Zαk∇ψλ k + λµa(ϕλ −ϕλ >M 4|θλ |θλ3 )ψλ drZ+β(ϕλ − Θ40 )ψλ dΓ = 0.ΓИз неотрицательности каждого слагаемого следует, что ψλ = 0 и соответственно ϕλ ≤ M 4 в области G.Аналогичным образом, умножая (5.13) скалярно в V сначала на z ={min(θλ − m, 0), 0} ∈ V , затем на z = {0, min(ϕλ − m4 , 0)} ∈ V , приходим кнеравенствам: θλ ≥ m, ϕλ ≥ m4 .Полученные оценки позволяют доказать равномерную по λ ∈ (0, 1] ограниченность решений уравнения (5.13) в пространстве V .
Действительно, умножая (5.13) скалярно в V на yλ = {ζλ , ϕλ } ∈ V и учитывая (5.14), получаемe + λµa (ϕλ − θ4 , ϕλ ) = 0.kyλ k2V + ((ey , yλ )) + λ(v · ∇θλ , ζλ ) + λµa b(θλ4 − ϕλ , θλ − θ)λ(5.15)Заметим, что|(v · ∇θλ , ζλ )| = |(v · ∇ζλ , θλ )| ≤ kvkL∞ (G) M k∇ζλ k ≤1831MM2kvk2L∞ (G) + kyλ k2V .≤ √ kvkL∞ (G) kyλ kV ≤a4aС учетом (5.14) из (5.15) следует оценка11M21kyλ k2V ≤ kyλ k2 + key k2V +kvk2L∞ (G) + kyλ k2V + µa bM 5 mesG + µa M 8 mesG.22a4Таким образом,kyλ k2V ≤ C,(5.16)где4M 2C=+kvk2L∞ (G) + 4µa M 5 mesG(b + M 3 ).aЗдесь через mesG обозначен объем G. Поскольку оператор FM : V → V2key k2Vвполне непрерывен, оценка (5.16) гарантирует по теореме Лере-Шаудера разрешимость уравнения (5.10).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
