Диссертация (1145332), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

На основании леммы 5.3., если y = {ζ, ϕ} –решение (5.10), то m ≤ θ ≤ M , m4 ≤ ϕ ≤ M 4 , где θ = θe + ζ. ПоэтомуFM (y) = F (y) и в силу леммы 5.1. пара {θ, ϕ} является слабым решениемзадачи (5.1)-(5.4), что доказывает теорему 5.1.11.3.Достаточные условия единственности решенияПолучим условия, гарантирующие однозначную разрешимость задачи (5.1)(5.4) в классе функций из H 1 (G), удовлетворяющих ограничениям (5.7). Пусть{θ1 , ϕ1 } и {θ2 , ϕ2 } – слабые решения задачи (5.1)-(5.4) такие, что m ≤ θ1,2 ≤M в области G. Положим θ = θ1 − θ2 , ϕ = ϕ1 − ϕ2 .

Из определения слабогорешения вытекают равенстваa(∇θ, ∇η) + (v · ∇θ + bµa (f θ − ϕ), η) = 0 ∀η ∈ H01 (G),Zα(∇ϕ, ∇ψ) + µa (ϕ − f θ, ψ) +βϕψdΓ ∀ψ ∈ H 1 (G).(5.17)(5.18)ΓЗдесь f = (θ1 + θ2 )(θ12 + θ22 ).Положим η = θ, ψ = ϕ в (5.17), (5.18) и учтем, что (v · ∇θ, θ) = 0 и1844m3 ≤ f ≤ 4M 3 , тогдаk∇θk2 ≥ γ1 kθk2 ,αk∇ϕk2 +Zβϕ2 dΓ ≥ γ2 kϕk2 ,Γгдеγ1 = inf{k∇ζk2 : ζ ∈ H01 (G), kζk = 1},Zγ2 = inf{αk∇ψk2 + βψ 2 dΓ : ψ ∈ H 1 (G), kψk = 1}.ΓОтсюда следуют неравенства(aγ1 + 4m3 µa b)kθk ≤ µa bkϕk,(γ2 + µa )kϕk ≤ 4M 3 µa kθk.(5.19)Таким образом, если выполняется условие4M 3 µ2a b < (aγ1 + 4m3 µa b)(γ2 + µa ),(5.20)то из (5.19) следует, что θ = 0, ϕ = 0.Теорема 5.2. Пусть выполняются условия (i)-(iii) и условие (5.20). Тогдазадача (5.1)-(5.4) однозначно разрешима в классе слабых решений, удовлетворяющих (5.7).Приведем теперь пример условий единственности решения задачи сложного теплообмена, учитывающих скорость движения среды в канале длинойL, поперечное сечение которого является квадратом со стороной d.

В этомслучаеG = {r = (x1 , x2 , x3 ) : 0 < x1 < L, 0 < x2,3 < d}.(5.21)Пусть среда движется с постоянной скоростью v = (v, 0, 0). В равенствах(5.17) и (5.18), определяющих разности θ и ϕ двух возможных решений, полагаемθ = (γ − e−sx1 )q1 ,η = (γ − e−sx1 )−1 q1 ,ϕ = (γ − e−sx1 )q2 ,ψ = (γ − e−sx1 )−1 q2 .185Здесь γ > 1, s > 0. ТогдаZ 2ak∇q1 k +as2vs−+ bµa fγesx1 − 1 (γesx1 − 1)2q12 dr + bµa (q1 , q2 ) = 0,G2Z αk∇q2 k +αs2µa −(γesx1 − 1)2q22 drZβq22 dΓ − (f q1 , q2 ) = 0.+GΓТаким образом, аналогично тому, как выводилась оценка (5.19), получаемaγ1 + 4m3 µa b +vsas2−γesL − 1 (γ − 1)2αs2γ2 + µa −(γ − 1)2kq1 k ≤ bµa kq2 k,kq2 k ≤ 4M 3 µa kq1 k.Положим здесь, например, s = 1/L, γ = 1 + saγ1 + 4m3 µa b +p2α/µa .

Тогдаaµap−2αL(e − 1) + e 2α/µav!kq1 k ≤ bµa kq2 k,µa γ2 +kq2 k ≤ 4M 3 µa kq1 k.2Следовательно, условие4M 3 µ2a b<vaµapaγ1 + 4m µa b +−2αL(e − 1) + e 2α/µa3!µa γ2 +(5.22)2обеспечивает единственность в классе ограниченных решений. Для даннойгеометрии канала нетрудно вычислить, чтоγ1 = π 221+ 22dL,−11 2Lγ2 ≥ 2L max,.β0 αТаким образом, выполнение условия единственности (5.22) можно обеспечить как за счет малости размеров канала (d или L), так и за счет выборадостаточно большой скорости движения среды v.186В следующем разделе приводятся результаты численного моделированиясложного теплообмена с параметрами задачи, удовлетворяющими условию(5.22).11.4.Численное моделирование сложного теплообменаПриведенные ниже численные примеры иллюстрируют важность учетарадиационных эффектов при расчете энергетических потоков в области больших температурных полей.Вычислительный эксперимент проводился на следующих данных. В качестве области G был взят канал (5.21) с линейными размерами L = 25[cm], d = 4 [cm].

Границы при x1 = 0 и x1 = L являются соответственнообластями втекания и вытекания среды. Грани, перпендикулярные плоскости x1 = 0 являются твердыми стенками канала. Скорость движения среды в канале v = 10 [cm/сек]. Нормализованная температура на твердыхстенках равна 1, это соответствует 500◦ C. Нормализованная температурана входе канала Θ0 (0, x2 , x3 ) = 1 − 0.7 (x2 (d − x2 )x3 (d − x3 ))0.01 , на выходеΘ0 (L, x2 , x3 ) = 1 − 0.2 (x2 (d − x2 )x3 (d − x3 ))0.01 . Все термодинамические параметры задачи соответствуют воздуху при нормальном атмосферном давлении и температуре 400◦ C. Коэффициент ослабления µ равен 0.1 (α = 3.(3)),коэффициент поглощения µa = 0.01.

Коэффициент β определяется на основе граничных условий Маршака [142] и равен 0.5 на свободной границе(x1 = 0 и x1 = L) и ε/2(2 − ε) на твердых стенках, где ε – коэффициент излучения [146], взятый равным 0.3. Вычисление нормализованной температурызадачи (5.1)-(5.4) проводилось на основе метода простой итерации с помощьюпакета FreeFem++.На рисунках 5.1, 5.2 представлены изолинии температурного поля в центральном продольном сечении канала (x2 = 2), соответствующие моделиконвективно-кондуктивного теплообмена без учета радиационных эффектов(рисунок 5.1) и с их учетом (рисунок 5.2).Приведенные результаты демонстрируют изменение качественной картины температурного поля при переходе к модели сложного теплообмена, учи-187тывающего радиационные эффекты.

Для количественной оценки различиямоделей вычислим соответствующие потоки энергии через участок Γ− ={r ∈ Γ : x1 = L}. Вычисление потока энергии, соответствующего моделиконвективно-кондуктивного переноса тепла, дает следующий результат:ZE1 =(−a∂θ/∂n + θvn ) dΓ = 144.4 .Γ−В то же время для модели сложного теплообменаZE2 =Γ−−a∂θ/∂n + θvn + bβ ϕ − Θ40dΓ = 187.6 .Данный пример, показывающий значительное увеличение теплоотдачи в модели сложного теплообмена по сравнению с моделью конвективно-кондуктивного переноса тепла, подчеркивает важность учета радиационных эффектовпри моделировании теплообмена.Рисунок 5.1 — Распределение нормализованной температуры в центральном продольном сечении канала, соответствующее модели конвективнокондуктивного теплообмена без учета радиационных эффектов188Рисунок 5.2 — Распределение нормализованной температуры в центральном продольном сечении канала, соответствующее модели радиационноконвективно-кондуктивного теплообмена.§12.Задача оптимального управления для модели сложноготеплообмена12.1.Постановка задачи оптимального управленияПусть G ⊂ R3 есть ограниченная область в R3 с границей Γ ∈ C 0,1 , Γ =Γ1 ∪ Γ2 ∪ Γ3 , Γj ∈ C 1,1 , Γj 6= ∅, Γi ∩ Γj = ∅, i 6= j, i, j = 1, 2, 3.

Мы полагаем,что Γ1 есть непроницаемая твердая часть границы, Γ2 – участок втекания, аΓ3 – участок вытекания.Нормализованная стационарная диффузионная модель (P1 приближение),описывающая кондуктивный, конвективный и радиационный перенос теплав области G, имеет следующий вид:−a∆θ + v · ∇θ + bµa θ4 = bµa ϕ,(5.23)−α∆ϕ + µa ϕ = µa θ4 .(5.24)Здесь θ есть нормализованная температура, ϕ – нормализованная интенсивность излучения, усредненная по всем направлениям, v – заданное поле ско-189ростей, µa – коэффициент поглощения. Постоянные a, b и α определяютсяследующим образом:a=k,ρcvb=34σn2 Tmax,ρcvα=1.3µ − AµsПри этом, все коэффициенты, через которые выражаются величины a, b и α,определяются так же как и в предыдущем параграфе.Уравнения (5.23), (5.24) дополним следующими граничными условиями:θ|Γ1 ∪Γ2 = Θ0 ,α∂n ϕ + u(ϕ − Θ40 )|Γ1 = 0,∂n θ|Γ3 = 0,α∂n ϕ + βϕ|Γ2 ∪Γ3 = 0.(5.25)(5.26)Здесь Θ0 и u есть неотрицательные функции, определенные на Γ1 ∪ Γ2 и Γ1соответственно, ∂n = ∂/∂n обозначает производную в направлении внешнейнормали n.

Значение параметра β > 0 зависит от вида граничных условий,используемых для построения диффузионного приближения. Например, дляграничных условий Маршака (см. [142]) β = 1/2.В изучаемой задаче векторное полеq = −a∇θ + θv − αb∇ϕописывает плотность потока энергии, а величинаZq · ndΓΓ3пропорциональна потоку энергии, проходящему через участок границы Γ3 вединицу времени. Учитывая граничные условия (5.25) и (5.26), мы получаемZZq · ndΓ =Γ3(θvn + bβϕ) dΓ.Γ3Здесь и далее vn = v · n.Таким образом, задача оптимального управления состоит в нахождении190функций u, θ и ϕ, которые удовлетворяют системе (5.23)-(5.26), условиямu1 (r) ≤ u(r) ≤ u2 (r),0 ≤ θ(r) ≤ M,r ∈ Γ1 ,r ∈ G,(5.27)(5.28)и максимизируют поток энергии через участок границы Γ3 :Z(θvn + bβϕ) dΓ → max .(5.29)Γ3Здесь u1 и u2 есть заданные неотрицательные функции, определенные на Γ1 ,и M > 0 есть заданная постоянная.Далее будем полагать, что данные рассматриваемой задачи удовлетворяют следующим условиям:v ∈ H 1 (G) ∩ L∞ (G), ∇ · v = 0,vn |Γ1 = 0, vn |Γ3 ≥ 0;e Γ ∪Γ = Θ0 ;(ii) Θ0 ∈ L∞ (Γ1 ∪ Γ2 ), 0 ≤ Θ0 ≤ M ; ∃θe ∈ H 1 (G), θ|12(i)(iii) u1 , u2 ∈ L∞ (Γ1 ), 0 ≤ u1 ≤ u2 .ОбозначимV1 = {ζ ∈ H 1 (G) : ζ|Γ1 ∪Γ2 = 0}.Отметим, что билинейная форма (∇ζ, ∇η) может быть выбрана в качествескалярного произведения в пространстве V1 , а соответствующая норма kζkV1 =k∇ζk, ζ ∈ V1 , эквивалентна норме в H 1 (G).Пусть V = V1 × H 1 (G).

Скалярное произведение в V удобно выбратьследующим образом:((y, z)) = a(∇ζ, ∇η) + α(∇ϕ, ∇ψ)+ZβϕψdΓ, ∀y = {ζ, ϕ}, z = {η, ψ} ∈ V.Γ2 ∪Γ3Пусть U = L2 (Γ1 ) есть пространство управлений. Определим множество допустимых управлений как Uad = {u ∈ U : u1 ≤ u ≤ u2 }.Введем оператор ограничений F : V × U → V и целевой функционал191J : V → R следующим образом:((F (y, u), z)) = ((y + ye, z)) + (v · ∇θ, η)+µa b(θ4 − ϕ, η) + µa (ϕ − θ4 , ψ) +Zu(ϕ − Θ40 )ψdΓ, (5.30)Γ1ZJ(y) = −(ζvn + bβϕ) dΓ,(5.31)Γ3где (5.30) выполняется для всех y = {ζ, ϕ} ∈ V , z = {η, ψ} ∈ V . Здесь θ =e ∇η).θe + ζ и элемент ye ∈ V определяются через соотношение ((ey , z)) = a(∇θ,Корректность определения (5.30) следует из теоремы Рисса, поскольку леваячасть является линейным непрерывным функционалом в пространстве V ,если y ∈ V и u ∈ U фиксированы.Таким образом, математическая формализация задачи оптимальногоуправления (5.23)-(5.29) имеет вид:J(y) → inf,F (y, u) = 0,y ∈ V, u ∈ Uad , 0 ≤ θ ≤ M.(5.32)Заметим, что отношение F (y, u) = 0, y = {ζ, ϕ} ∈ V , u ∈ U означает, чтопара функций θ = ζ + θe ∈ H 1 (G) и ϕ ∈ H 1 (G) является слабым решениемкраевой задачи (5.23)-(5.26).Нашей главной целью будет доказательство разрешимости задачи (5.32)и вывод необходимых условий оптимальности первого порядка.

Характеристики

Список файлов диссертации