Диссертация (1145332), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Пусть условия теоремы 3.1.выполнены. Тогда существует единственное решение задачи (3.1), (3.2), которое может быть представлено в виде ряда Неймана (3.13). С помощью методаМонте-Карло вычислим конечную сумму этого ряда:NX(T n f0 )(z, ν).(3.16)n=0Для этого перепишем сумму (3.16) в виде следующего рекуррентного соотношения:fn (z, ν) = T fn−1 (z, ν) + f0 (z, ν),n = 1, 2, ..., N.(3.17)Рассмотрим структуру оператора T . Он содержит два слагаемых: первыйописывает эффекты отражения-преломления и может быть вычислен явно,второй описывает вклад рассеяния. Рассмотрим второе слагаемое более подробно для случая кусочно-постоянных коэффициентов µ(z), µs (z).

Пустьz ∈ Gi , µ(z) = µi , µs (z)/µ(z) = λi . Перепишем интегральное слагаемое вправой части (3.11) в виде µλi i1 − exp − (z − ξ) ×I(z, ν) =ννz1Z Zµi exp (−µi (z 0 − z)/ν)P (ν, ν 0 )f (z 0 , ν 0 )dν 0 dz 0 . (3.18)1 − exp (−µi (z − ξ)/ν)ξ −1Интеграл в (3.18) может быть вычислен как математическое ожидание функции f от случайных величин z 0 , ν 0 , распределенных на соответствующих ин-111тервалах (ξ, z), (−1, 1) с плотностямиµi exp{−µi (z 0 − z)/ν},1 − exp{−µi (z − ξ)/ν}1.2(3.19)В соответствии с методом Монте-Карло мы будем аппроксимировать (3.18)следующей конечной суммой:M µ X2λi iP (ν, νk )f (zk , νk ).1 − exp − (z − ξ)I(z, ν) =Mνk=1Здесь zk , νk , k = 1, 2, ..., M , есть независимые испытания случайных величинz 0 , ν 0 , распределенных с соответствующими плотностями (3.19). Следовательно, приближенное значение функций fn (z, ν), n = 1, 2, ..., N , мы можем найтипо формуле:M1 Xfn (z, ν) ≈ f n (z, ν) =sk (z, ν),Mk=1 µisk (z, ν) = Bf n−1 |Γ+ (ξ, ν) exp − (z − ξ) +ν µi+λi 1 − exp − (z − ξ) P (ν, νk )f n−1 (zk , νk ) + f0 (z, ν),ν(3.20)f 0 (z, ν) = f0 (z, ν).Для проведения вычислительных экспериментов была взята трехслойнаясредаG0 =3[Gi ,G1 = (0, 1),G2 = (1, 2),G3 = (2, 3)i=1и кусочно-постоянные функции µ(z) = µi , µs (z) = µsi , n(z) = ni , z ∈ Gi созначениями µ1 = 2.2, µ2 = 1.6, µ3 = 1.2, µsi = 0.5µi , n1 = 1.5, n2 = 1.3,n3 = 1.1.

Мы полагаем, что матрица P описывает рэлеевское рассеяние [162]:P (ν, ν 0 ) =380222 022(1 − ν )(1 − ν ) + ν νν 02ν21!.(3.21)Было рассмотрено два вида входящего излучения. В обоих случаях h(z, ν) =112(0, 0) на границе z = 3. На границе z = 0 в первом случае h(z, ν) = (1, 0), аво втором h(z, ν) = (1, 1).В этих предположениях все условия теоремы 3.1. выполнены и решениезадачи (3.1), (3.2) может быть вычислено на основе рекуррентной формулы(3.20).Рассмотрим выражение max{w, λ∗ } (см. доказательство теоремы 3.1.).Для используемых значений коэффициентов µ, µs мы можем оценитьmax{w, λ∗ } < 0.761.(3.22)В численных экспериментах вектор-функция аппроксимировалась суммой 12слагаемых ряда Неймана (3.13), что соответствует 12 шагам рекуррентногосоотношения (3.20).

В этом случае оценка (3.22) гарантирует ошибку усечения ряда Неймана менее чем 3%.Во всех экспериментах было взято 5000 траекторий (M = 5000). Для оценки точности приближенного решения прямой задачи (3.1), (3.2), найденногопо формуле (3.20), находилась среднеквадратичная ошибкаδ(z, ν) = √σ(z, ν).M f N (z, ν)(3.23)Здесь σ 2 (z, ν) есть оценка выборочной дисперсии:σ 2 (z, ν) =1M −1MX!2s2k (z, ν) − M f N (z, ν) .k=1Для взятого во всех экспериментах M = 5000 максимальное значение δ(z, ν)оказалось меньше 2%.Вначале вычислялось значение выражения f1 − f2 Sf = f1 + f2 (3.24)на интервале (0, 3) для ν = 0.5. Выражение (3.24) описывает степень поляризации излучения.113Как видно из рисунка 3.1, для случая неполяризованного входящего излучения (h = (1, 1) на z = 0), ввиду рассеивающих эффектов, степень поляризации Sf растет при росте переменной z в каждом слое Gi . Напротив, вслучае линейно-поляризованного входящего излучения (h = (1, 0) на z = 0)степень поляризации Sf убывает с ростом переменной z в каждом слое Gi(см.

рисунок 3.2). В обоих случаях степень поляризации изменяется скачкомпри переходе через внутренние границы z = z1 , z = z2 . Это объясняетсяналичием скачков у коэффициента преломления. На рисунке 3.3 демонстрируется поведение степени поляризации Sf на границе z = 0 для выходящихнаправлений ν ∈ (−1, 0). При ν = 0.5 и ν = 0.68 степень поляризации имеетскачок. Это объясняется эффектами полного внутреннего отражения. Данный эффект будет использован в следующем параграфе для решения задачитомографии.Рисунок 3.1 — Степень поляризации при z ∈ (0, 3), ν = 0.5 для случая неполяризованного входящего излучения.114Рисунок 3.2 — Степень поляризации при z ∈ (0, 3), ν = 0.5 для случаялинейно-поляризованного входящего излучения.Рисунок 3.3 — Степень поляризации при z = 0, ν ∈ (−1, 0).115§6.Задача томографии для уравнения переносаполяризованного излучения в слоистой среде6.1.Постановка и решение задачи томографииСформулируем задачу томографии.

Как и прежде будем рассматриватьpSGi , Gi = (zi−1 , zi ). Перенос излучения описываетсяслоистую среду G0 =i=1уравнением (3.1) с граничными условиями (3.2). Дополнительно предположим, что выходящее излучение задается (может быть измерено) только наодной из внешних границ, например, при z = z0 . Этот случай является типичным для диагностики человеческой кожи. Будем решать следующую задачутомографии.Задача томографии. Требуется определить относительные показатели преломления ni+1 /n1 , i = 1, ..., p − 1, слоев из уравнения (3.1), граничных условий (3.2) и дополнительных граничных условийf + (z0 , ν) = H(z0 , ν),ν < 0,(3.25)в которых функция H(z0 , ν) считается заданной.Заметим, что если абсолютный показатель преломления первого слоя известен, то абсолютные показатели преломления остальных слоев могут бытьлегко вычислены из относительных показателей преломления.Для простоты предположим, что излучение не поступает в среду черезграницу z = zp , то есть h(zp , ν) = 0, ν < 0.

Предположим дополнительно, что функция h(z0 , ν) имеет ограниченную производную по переменнойν. Заметим, что такая функция удовлетворяет ограничениям, введенным впредыдущем параграфе.Покажем, что производные матричных коэффициентов отражения и прохождения имеют особенности при стремлении угловой переменной ν к косинусу угла полного внутреннего отражения. Найдем производную функции116ψi (ν). Из определения функции ψi мы имеем 21ne (ν)ν i, ν2 > 1 − 2 ,ψi (ν)nei (ν)ψi0 (ν) =1ν2 < 1 − 2 . 0,nei (ν)Следовательно, если nei (ν) > 1 для ν > 0, то ψi0 (ν) → ∞ при ν → ν+ + 0, гдеpν± = ± 1 − 1/en2i (ν).

Иначе, если относительный показатель преломленияnei (ν) больше 1 для отрицательных значений ν, то ψi0 (ν) → ∞ при ν → ν− − 0.Если ν 2 < 1 − 1/en2i (ν), то ψi (ν) = 0 и ψi0 (ν) = 0, следовательно Ri0 (ν) = 0,Ti0 (ν) = 0. Изучим поведение производных коэффициентов Ri и Ti при ν →ν± ± 0. Дифференцируя функцию Ri (ν), мы имеем2(Ri,k(ν))02(Ri,⊥(ν))0=02Ri,k(ν)Ri,k (ν)=02Ri,⊥(ν)Ri,⊥ (ν)ei (ν)ψi2 (ν)ne3i (ν)ν 2 − n=42 Ri,k (ν),ψi (ν) nei (ν)ψi (ν) + ν(3.26)ei (ν)ψi2 (ν)ne3i (ν)ν 2 − n=42 Ri,⊥ (ν).ψi (ν) ψi (ν) + nei (ν)ν(3.27)Поскольку при ν → ν± ± 0, ψi (ν) → 0 коэффициенты Ri,k (ν) и Ri,⊥ (ν) стремятся к −1, мы имеем из (3.26) и (3.27):2(Ri,k(ν))0ne3i (ν)= −4+ O(1),ψi (ν)2(Ri,⊥(ν))0 = −4nei (ν)+ O(1).ψi (ν)(3.28)22Так как знаки ψi (ν) и ν совпадают, получаем, что (Ri,k(ν))0 и (Ri,⊥(ν))0 →∓∞ при ν → ν± ± 0 соответственно. Более того, рассматривая равенстваRi0 + Ti0 = 0, мы заключаем, что диагональные элементы Ti0 стремятся к ±∞при ν → ν± ± 0 соответственно.

Заметим, что неограниченность производныхимеет место только если ν → ν+ + 0 и относительный индекс nei (ν) будетбольше 1 для ν > 0 (соответственно, если ν → ν− − 0 и относительныйпоказатель преломления nei (ν) будет больше 1 для ν < 0).Справедливо следующее утверждение.Теорема 3.3. Пусть f есть решение краевой задачи (3.1), (3.2) и для неко-117торого номера i, 2 ≤ i ≤ p, выполняются условияni< 1,n1ni≤ 1, j = 2, .., i,njf + (zi , −νi − 0) 6= f + (zi , −0),тогдаni< 1,ni−1pνi = − 1 − (ni /n1 )2 ,(3.29)(3.30)∂ +f (z0 , ν) → ∞ при ν → νi − 0.∂νДоказательство. Рассмотрим доказательство для случая p = 2 и затемдадим комментарии для общего случая.Как сказано выше, функция f является решением прямой задачи (3.1) и(3.2) тогда и только тогда, когда f удовлетворяет операторному уравнению(3.3).

Следовательно, функция f удовлетворяет уравнениюf + (z0 , ν) =R1 (ν)f + (z1 , −ν) + T1 (ν)f + (z1 , ψ1 (ν)) K(z0 , z1 , ν) + (ASf )(z0 , ν), (3.31)f + (z1 , −ν) = h(z0 , −ν)K(z1 , z0 , −ν) + (ASf )(z1 , −ν),(3.32)f + (z1 , ψ1 (ν)) = (ASf )(z1 , ψ1 (ν)).(3.33)Так как pi,j (ν, ν 0 ) ∈ C 2 ([−1, 1] × [−1, 1]), то функция (ASf )(z, ν) имеет ограниченную производную по ν ∈ [−1, 0) ∪ (0, 1] для любой f ∈ V (X0 ). Заметим,что производные функций h и K по ν также ограничены. Таким образом, из(3.31)-(3.33) получаем∂ +f (z0 , ν) = R10 (ν)f + (z1 , −ν) + T10 (ν)f + (z1 , ψ1 (ν))+∂ν∂ +0+ T1 (ν)ψ1 (ν) f (z1 , ψ1 (ν)) K(z0 , z1 , ν) + O(1).

(3.34)∂νВ силу равенстваT1 (ν)ψ10 (ν) = 4ne31 (ν)ν 2 /(en1 (ν)ψ1 (ν)02+ ν)0ne31 (ν)ν 2 /(ψ1 (ν) + νen1 (ν))2!118мы имеем, что элементы матрицы T1 (ν)ψ10 (ν) ограничены для ν < 0. Такимобразом, учитывая равенство T1 = 1 − R1 , из (3.34) мы получим∂ +f (z0 , ν) = R10 (ν) f + (z1 , −ν) − f + (z1 , ψ1 (ν)) K(z0 , z1 , ν) + O(1). (3.35)∂ν∂ +f (z0 , ν) испытывает неограниченный рост при ν → ν2 − 0∂νиз-за слагаемогоВ силу (3.35)R10 (ν) f + (z1 , −ν) − f + (z1 , ψ1 (ν)) K(z0 , z1 , ν).Это выражение стремится к бесконечности в силу равенств (3.28), условий(3.30) и неравенства n1 > n2 . Это доказывает теорему в случае p = 2.В общем случае (p > 2) выражение для производной f + (z0 , ν) при ν < 0имеет слагаемое, включающее множители0T1 (ν)T2 (ψ1 (ν))...Ti−1 (ψi−2 (...(ψ1 (ν))...) × ψi−1(ψi−2 (...(ψ1 (ν))...)×× Ri0 (ψi−1 (...(ψ1 (ν))...)T1 (−ψ1 (ν))T2 (−ψ1 (ψ2 (ν))...Ti−1 (−ψi−1 (...(ψ1 (ν))...).(3.36)Легко показать, что νi = −p1 − (ni /n1 )2 является нулем сложнойфунк-ции ψi−1 (ψi−2 (...(ψ1 (ν))...)) при выполнении условий (3.29).

Следовательно,множитель (3.36) неограниченно возрастает при ν → νi − 0. Таким образом,функция f + (z0 , ν) также растет неограниченно. Теорема доказана.Следствие 3.1. Пусть f является решением краевой задачи (3.1), (3.2),последовательность ni , i = 1, ..., p, возрастает монотонно и имеет ме∂сто равенство (3.30), тогдаf (z0 , ν) → ∞ при ν → νi − 0 для всех∂νi = 2, ..., p.Теорема 3.4. Пусть f (l) , l = 1, 2, являются решениями краевой задачи(3.1), (3.2), соответствующие двум множествам коэффициентов µ(l) (z),(l)(l)µs (z) и nj , j = 1, ..., p, l = 1, 2. Пусть M есть множество целых чисел i,2 ≤ i ≤ p, для которых условия (3.29) и (3.30) выполняются для каждого119(1)(2)множества {nj } и {nj }, а такжеf (1) (z0 , ν) = f (2) (z0 , ν),(1)(1)(2)ν < 0.(3.37)(2)Тогда ni /n1 = ni /n1 , i ∈ M .Доказательство.

Так как функции f (1) (z0 , ν) и f (2) (z0 , ν) совпадают приν < 0, то справедливо равенство∂ (1)∂ (2)f (z0 , ν) =f (z0 , ν),∂ν∂ν(1)ν < 0.(2)Таким образом, значения νi и νi , i ∈ M , удовлетворяющие условиям∂ (l)f (z0 , ν) → ∞, l = 1, 2, также совпадают.∂νqq(l)(l)(l) 2(l)(l)(l)(1)(1)Так как νi = − 1 − (ni /n1 ) , то ni /n1 = 1 − (νi )2 и ni /n1 =(2)(2)ni /n1 , i ∈ M . Теорема доказана.Заметим, что теорема 3.4. содержит излишние требования, необходимыедля единственности решения задачи томографии (см. равенство (3.37)).

Характеристики

Список файлов диссертации