Диссертация (1145329), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Кусочнопостоянные начальные условия для уравнений Эйлера имеют вид U(0,x)= UL при x ≤ x0, U(0,x)=UR при x > x0, где U={p, u, ρ} представляет собой вектор физических переменных. Индексы L иR соответствуют начальному состоянию потока слева и справа от разрыва.Можно для простоты считать, что мы имеем длинную трубу, разделенную перегородкой.Перегородка, расположенная в точке x = x0, разделяет два газа, находящихся при разныхдавлениях и имеющих различные плотности и скорости. Параметры слева и справа от разрываявляются произвольными и подчиняются лишь уравнению состояния.В момент времени t=0 в точке x = x0, соответствующей положению разделительнойперегородки, имеет место разрыв газодинамических параметров.
В момент времени t=0перегородка мгновенно убирается, и произвольный разрыв распадается на несколько разрывов.В зависимости от начальных условий образуется та или иная конфигурация устойчивыхразрывов и непрерывных газодинамических течений [319]. Возможные решения (рисунок 6.18)‑содержат веер волн разрежения, контактный разрыв и ударную волну, разделяющие областьтечения на четыре подобласти с постоянными значениями параметров.
Условно волныназывают левой и правой волной (в неподвижной системе координат они могут двигаться водну сторону). Волновые конфигурации, возникающие в результате распада произвольногоразрыва, показывает рисунок 6.18 (S - ударная волна, R - волна разрежения, C - контактныйразрыв). Формирование той или иной конфигурации зависит от особенностей постановкиначальных условий. Фрагменты слева показывают волновые кривые на плоскости (p,u),фрагменты в центре - волновую конфигурацию течения на плоскости (x,t), а фрагменты справа типичное распределение плотности.В случае ударной волны речь идет о движущемся фронте разрыва, по обе стороныкоторого параметры газа полагаются постоянными (своими для каждой из сторон) исвязанными определенными соотношениями. В случае волны разрежения имеется областьпеременного течения, в которой параметры газа остаются постоянными вдоль прямолинейныхлучей, играющих роль характеристик, а значения параметров зависят от наклона в веерехарактеристик, описывающем волну разрежения.!293pа)ρtSCSRLRLLRupб)xxρtCRLSLRLuxpв)RxRρtCSRRRLLuxxpг)LRρtRCRRLLRLRupд)]ρtC VCRLRLuxxRLRRxxR - волна Римана, C - контактный разрыв, S - скачок уплотнения, V - область вакуума.а) конфигурация SCS, б) конфигурация RCS, в) конфигурация SCR, г) конфигурация RCR, д)конфигурация RCVCR,Рисунок 6.18 - Волновые конфигурации, возникающие в результате распада произвольногоразрыва.!294Решение задачи Римана является автомодельным в поле характеристик.
Решение задачи ораспаде произвольного разрыва состоит из различных комбинаций канонических волновыхструктур (ударных волн, волн разрежения и контактных разрывов).6.9 Типовые задачи для тестирования численных методовСуществуют различные подходы к численному решению задачи о распаде произвольногоразрыва.К первому классу относятся центрально-разностные методы в консервативныхпеременных, реализуемые путем простой конечно-объемной записи и вычисления потоковчерез грани контрольных объемов (схема Лакса-Вендроффа, схема Лакса-Фридрирхса идругие).
Такие методы фактически не решают задачи Римана и имеют значительнуюдиссипацию, в связи с чем практически не используются.Ко второму классу относится метод Годунова, который находит точное решение задачиРимана на основе постоянства функций в векторе начальных условий по линиям характеристик.После вычисления потоков через грани контрольных объемов находятся искомые функции ввекторе решения.К третьему классу относятся методы приближенного решения задачи Римана, к которымпринадлежат методы Рое, HLL, HLLC и другие.К четвертому классу относятся методы, которые решают задачу на основе итерационнойпроцедуры, строящейся из методов первого класса. Для записи потоков используются схемыЛакса-Вендроффа и Лакса-Фридрихса [320, 321].
В отличие от методов первого класса,‑‑итерационная процедура позволяет найти решение задачи Римана с раскрытием всего веерахарактеристик.Одномерные задачи нестационарной газовой динамики являются показательными тестамидля оценки точности численного решения при моделировании сверхзвуковых течений невязкогосжимаемого газа.
Построение тестовых решений представляет собой необходимый элемент вобщем контексте конструирования численных методов, предназначенных для интегрированияуравнений Эйлера.Реальные течения характеризуются широким диапазоном изменения плотности, скоростии давления. При этом особенности течения обычно проявляются через отношения параметров,в связи с чем в тестовых задачах газовой динамики используются такие значения параметров,которые оказываются близкими к единице и легко представляются в вычислительной модели.!295Ниже рассматривается численное решение уравнений Эйлера, описывающих теченияневязкого сжимаемого газа и допускающих гладкие и разрывные решения. Дискретизацияуравнений Эйлера проводится при помощи метода конечных объемов и разностных схемWENO-типа.
Полученные численные решения сравниваются с точными решениями задачи ораспаде разрыва. Формулировка задач пояснена в таблице 6.1.Монотонизирующая коррекция производных предотвращает образование новыхэкстремумов и обеспечивает монотонность численного решения в окрестности разрыва, ноприводит к сглаживанию существующих минимумов и максимумов и к потере точности.Расчеты с использованием схем WENO позволяют получить точное и монотонное решениезадачи как при наличии слабых, так и сильных газодинамических разрывов.Таблица 6.1 Тестовые задачи одномерной газовой динамики [322 ]‑ρx < x0ux > x0pρ−1.0up−1.0781−2.0−19.59745]−19.59745−6.19633−1.0−2.0Несмотря на простоту постановки, тестовые задачи, приведенные в таблице 6.1, отражаютосновные особенности нестационарных газодинамических течений, поскольку в областитечения формируются различные конфигурации разрывов.Численное решение задачи о распаде разрыва ищется на промежутке [0,1].
Разделительнаяперегородка располагается в точке x0=0.5 (если не указывается иначе). Начальные условиязадаются в физических переменных. На границах расчетного интервала используются условиязеркального отражения или условия свободного вытекания. Расчетная сетка являетсяравномерной по координате x и содержит 200 ячеек (если не указывается иначе). Числу Курантаприсваивается значение 0.4. Контрольное время счета выбирается таким образом, чтобывозникающие при решении волны не успевали выйти за границы расчетной области, что!296упрощает реализацию условий в граничных ячейках.
Рабочей средой является некоторыйвычислительный газ, представляющий собой совершенный газ с отношением удельныхтеплоемкостей, равным γ=1.4, (за исключением задачи Ноха, в которой γ=5/3). В расчетахтемпературы полагается, что газовая постоянная равняется единице. Вычислительная энтропияпропорциональна физической энтропии и определяется как s=ln(p/ργ), а внутренняя энергия ε=p/[\ρ(γ-1)].
Начальные условия представляют собой разрыв в точке x=x0.6.9.1 Задачи Сода и ЛаксаЗадача Сода. В задаче о течении в ударной трубе (тест 1), сформулированной в работе[323] (задача Сода, Sod problem), газ слева и справа от разделительной перегородки в начальный‑момент времени покоится. Решение задачи Сода (см. рисунок 6.19) состоит из ударной волны,движущейся в область низкого давления (вправо), веера волн разрежения, расширяющегося вобласть высокого давления (влево), и контактного разрыва, движущегося вправо.1ρu1а)б)p1в)0.80.80.80.60.60.60.40.40.40.20.20.20010.5001xMг)0.80.80.51xs004.5д)0.5x1hе)40.60.63.50.40.430.20.200010.5x2.500.5x1200.5xа) плотность, б) давление, в) давление, г) число Маха, д) энтропия, е) энтальпия.Рисунок 6.19 - Решение задачи Сода.
t=0.2.f =ρ u pfkkfkτkL1L21!297Задача Сода (тест 1) позволяет проверить отсутствие нефизических осцилляций решения вρp а также корректностьu и контактного разрыва,расчетах движущихся ударных волн11а)1б)воспроизведения профиля плотности.0.80.8в)0.8Распределения параметров течения в момент времени t=0.2 показывает рисунок 6.18. В0.60.60.40.40.6результате распада произвольного разрыва влево распространяется волна разрежения, а вправо0.4ударная волна и контактный разрыв. Решение задачи Сода содержит веер волны разрежения0.20.2между точкамиx=0.25 и x=0.5, контактныйразрыв при x=0.68, и0.2ударную волну, фронт которой0 сетке разрыв размазывается00 примерно на две ячейки, арасполагаетсяпри x=0.85.На грубой00.5100.5100.51xxxчисленное решение не содержит осцилляций.
Улучшение точности расчетов происходит неs (как, например, в области,hMтолько в областяхгладкости решениязанятой веером волны10.8г)д)4.5е)разрежения), но также вблизи ударной волны, контактного разрыва и двух слабых разрывов,0.840.6которыми являются передняя и замыкающая характеристики волны разрежения. Увеличение0.63.50.43порядка точности по пространству приводитк уменьшению размазывания контактного разрыва0.4и ударной волны.
Для оценки фактического порядка аппроксимации на разрывных решениях0.20.2 серия расчетов на сетках различной разрешающей2.5 способности. Вычисляетсяпроводится002средняя относительнаяошибка дляплотности,скоростии давления010.50.5100xx!f − f #1] δ f = ∑ τ k " k k $,T = ∑ τ k ,T k! fk "k0.5x1(6.50)где f=u, p,f ρ.=Подρ fuk и pfk понимаютсяff точное и численное решение на слое по времени k, а под τkkk относительнаяτkшаг по времени. Средняяошибка для норм L1 и L2 приводится в таблице 2 дляL1 L2сеток с числом контрольных объемов 20, 40, 80 и 100. При этом уменьшение ошибки с ростомчисла контрольных объемов примерно соответствует линейной зависимости в логарифмическом масштабе.Таблица 2 - Средняя относительная ошибкаδρL1δuL2L1δpL2L1L2Модифицированная задача Сода.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
