Диссертация (1145329), страница 47
Текст из файла (страница 47)
При ] J1 > 1 или ] J 2 > 1 перепады скорости на образующихся ударныхволнах связаны с их интенсивностями:]⎛ J1 + ε1+ ε ⎞−J1 + ε ⎟⎠ .⎝ 1+ ε[u ]1 = − (1− ε ) a1 ⎜(6.34)⎛ J2 + ε1+ ε ⎞−J 2 + ε ⎟⎠⎝ 1+ ε[u ]2 = (1− ε ) a2 ⎜Изменение скорости в изоэнтропических волнах разрежения определяется соотношениями[u ]1 = γ −11 (1− J1(γ −1) 2γ )2a][u ]2 = − γ −21 (1− J 2(γ −1) 2γ ).(6.35)2aЕсли известны перепады скорости, то можно определить обратные зависимости Ji от [u]iдля ударных волн:( [u ] + 4 (1− ε ) a ) ,]γ [u ]J = 1+[u ] − [u ] + 4 (1− ε ) a )2 (1− ε ) a (J1 = 1+γ [ u ]1[u ]1 −2 (1− ε ) a122222212222221(6.36)22и волн Римана:](= (1+ (γ − 1)[ u ])2a )J1 = 1− (γ − 1)[ u ]1 2a1J222 γ (γ −1)2 γ (γ −1).(6.37)2Отношения ] E1 и ] E2 плотностей газа до и за ударными волнами определяются следующимобразом (адиабата Рэнкина - Гюгонио):] E1 = (1+ ε J1 ) ( J1 + ε ) , ] E2 = (1+ ε J 2 ) ( J 2 + ε ) ,(6.38)а для изоэнтропных волн Римана (адиабата Пуассона):] E1 = J1−1/γ , ] E3 = J 3−1/γ .(6.39)!286В отличие от аналогичной задачи о взаимодействии наклонных сверхзвуковыхстационарных потоков, система (6.34-6.39) всегда имеет единственное решение, получаемоечисленно.
Для задачи построения численных методов хорошо, что решение всегда существует,и плохо, что для каждой ячейки его приходится отыскивать численно.6.7.3. Аналитическое решение Ошера-Соломона для слабых волнРассмотрим приближенный метод, позволяющий найти решение задачи Риманааналитически за один шаг.
Как правило, перепады параметров течения на границахвычислительных ячеек в разностных методах невелики и разрывы в решении в задаче Риманаможно считать слабыми. Разностная схема Ошера-Соломона использует этот факт, заменяяточную постановку задачи Римана приближенной, в которой формулы (6.35, 6.37, 6.39)связывают интенсивности, скорости и плотности потока и на волнах разрежения, и на ударныхволнах. Задача о распаде разрыва в приближенной постановке решается аналитически:⎡ (γ − 1) ( u1 − u2 ) + 2 ( a1 + a2 ) ⎤J1 = ⎢⎥2 ( a1 + a2 I )]⎣⎦2 γ (γ −1),(6.40)2a2 (1− I ) + (γ − 1) I ( u2 − u1 ) a j−1⋅a1 I + a2γ −1,(6.41)⎡ (γ − 1) ( u1 − u2 ) + 2 ( a1 + a2 ) ⎤J2 = ⎢⎥2 ( a1 I + a2 )⎣⎦][u ]1 =[u ]2 =2 γ (γ −1)2a1 (1− I ) + (γ − 1) I ( u1 − u2 ) a2⋅a1 I + a2γ −1где ] I = ( p2 / p1 )(γ −1)/2γ .
На рисунке 6.15 - а, б приведены значения интенсивностей волн ] J1 и ] J 2(кривые 1 и 2 - точное решение, 1' и 2' - решение Ошера Соломона) и перепадов скоростипотока] [ u ] = [ u ]1 = [ u ]2 (кривые 3 и 3') на волнах, образующихся в ударной трубе при распадеразрыва давления p двух первоначально покоящихся газов с одинаковой температурой ипоказателем адиабаты ] γ = 1.4 .Видно, что при больших начальных перепадах статического давления (] p > 5 ) неточностьприближенного решения становится заметной. В области же слабых разрывов совпадениевполне достаточное.
Поскольку решение задачи о распаде произвольного разрыва в ходечисленных расчетов производится множество раз, то использование приближенной моделисчитается оправданным.!287]]a)б)Рисунок 6.15 - Точное (1,2,3) и приближенно-аналитическое решение (1',2',3') задачиРимана.6.7.4 Современный подход к построению численного алгоритма метода ГодуноваПри решении гиперболической системы квазилинейных уравнений в частныхпроизводных, записанной в дивергентной форме]∂Q ∂F+=H,∂t ∂x(6.42)простейшая схема первого порядка для определения вектора ] Q j в разностной ячейке j в новыймомент времени ] t + Δt (рисунок 6.16 - а) выглядит следующим образом:()()] Δx Nj ⋅Q j ( t + Δt ) = Δx j ⋅Q j ( t ) + Fj−1 2 − Vj−1 2 ⋅Q j−1 2 Δt − Fj+1 2 − Vj+1 2 ⋅Q j+1 2 Δt + S j ⋅ H j ( t ) .
(6.43)Здесь ]Δx j и ] Δx Nj – размеры ячейки j до и после шага ] Δt интегрирования, ]Vj−1/2 и V] j+1/2 –скорости движения её границ, ] S j = (Δx j + Δx Nj )⋅ Δt / 2 , а ]Q j (t) и ]H j (t) – известные векторыконсервативных переменных и источниковых членов в начальный момент времени. Значенияконсервативных переменных (] Q j−1/2 и ] Q j+1/2 ) и их потоков (] Fj−1/2 и ] Fj+1/2 ) через границы ячеекнеобходимо определить.
В классической схеме С.К. Годунова значения ] Q j−1/2 , ] Fj−1/2 = F(Q j−1/2 )и им подобные определяются из решения задачи о распаде разрыва параметров потока (] Q j−1 и] Q j , рисунок 6.16 - б) на границах ячеек.!288]а)б)в)Рисунок 6.16 - К обоснованию метода Годунова: разностная ячейка (а); разрыв параметровна границе ячеек (б); распад разрыва с исходящими ударной волной D1 и волной разреженияРимана R2 (в). τ – тангенциальный разрыв, ρ – плотность; а – первая характеристикаволны разрежения и b – последняя характеристика волны разрежения.После решения задачи Римана в точной или приближенной постановке рассчитываютсяскорости движения всех волн и разрывов.
В качестве времени может выступать любая!!пространственная координата. Скорости W] 1 и W] 2 перемещения ударных волн D] 1 и ] D2определяются зависимостями] W1 = u j−1 − a j−1( J1 + ε ) (1+ ε ) , ]W2 = u j + a j ( J 2 + ε ) (1+ ε ) .(6.44)Легко вычисляются и скорости распространения контактного разрыва (] Wτ ), а при!!образовании волн разрежения ] R1 и ] R2 – их передних(] W1a и ]W2a ) и задних (] W1b и ]W2b )фронтов (рисунок 6.15 - в)]Wτ = u1 = u 3 , ] W1a = u j−1 − a j−1 , ] W2a = u j + a j ,.] W1b = u1 − a1 = u j−1 + [ u ]1 − a j−1 ⋅ J1(γ −1) 2γ ,(6.45)] W2b = u2 + a2 = u j + [ u ]2 − a j ⋅ J 2(γ −1) 2γ ..Рассчитанные значения сравниваются со скоростью ]Vj−1/2 движения границы ячеек. Еслискорость перемещения границы меньше или больше скоростей перемещения всех волн, то!!!!свойства потока на ней – такие же, как в левой (] Q j−1/2 = Q j−1 ) или в правой (] Q j−1/2 = Q j ) ячейкахдо распада разрыва.
Если скорость границы меньше скорости одной из волн и больше скорости!другой, то вектор ] Q j−1/2 определяется значениями физических переменных (] ρ1 , ] u1 , ] p1 ) и (] ρ 2 ,!289] u2 , ] p2 ), соответственно. Если же траектория границы пролегает внутри веера характеристик!!волны ] R1 или ] R2 , искомые свойства потока зависят от значения скорости:!в волне ] R1()] u j−1 2 = (1− ε ) Vj−1 2 + a j−1 + ε u j−1 ,.⎛ 2a j−1⎞] a j−1 2 = ε,⎜⎝ γ − 1 − u j−1 − V j−1 2 ⎟⎠] ρ j−1 2⎛ a j−1 2 ⎞= ρ j−1 ⋅ ⎜⎟⎝ a j−1 ⎠2 (γ −1), ] p j−1 2(6.46)⎛ a j−1 2 ⎞= p j−1 ⋅ ⎜⎟⎝ a j−1 ⎠2γ(γ −1),.!в волне ] R2 .(] ρ j−1 2)] u j−1 2 = (1− ε ) Vj−1 2 − a j + ε u j ,.⎛ 2a j⎞,] a j−1 2 = ε⎜⎝ γ − 1 − u j + V j−1 2 ⎟⎠(6.47)⎛ a j−1 2 ⎞= ρ j ⋅⎜⎟⎝ aj ⎠2 (γ −1), ] p j−1 2⎛ a j−1 2 ⎞= pj ⋅⎜⎟⎝ aj ⎠2 γ (γ −1)..Последние соотношения являются следствием условия сохранения инвариантов Римана визоэнтропных волнах:!] R1 :]u +2a j−1 22a2a= u j−1 2 += u j−1 + j−1 ,γ −1γ −1γ −1(6.48)!] R2]u −2a j−1 22a j2a.= u j−1 2 −= uj −γ −1γ −1γ −1(6.49)Они выводятся из уравнения Менделеева-Клапейрона, адиабаты Лапласа-Пуассона, а такжеравенства скоростей границы ячеек и одной из прямолинейных характеристиксоответствующей волны разрежения: ] Vj−1 2 = u j−1 2 − a j−1 2 или ] V j−1 2 = u j−1 2 + a j−1 2 .Основная проблема при построении разностных схем заключается в желании повыситьпорядок аппроксимации и одновременно обеспечить получение монотонного численногорешения при наличии сильных разрывов.
В работе Годунова показано, что монотоннаяразностная схема не может иметь порядок аппроксимации выше первого. Схема Годуноваобладает аппроксимационной вязкостью, поэтому для расчета сильных разрывов нетнеобходимости вводить искусственную вязкость. При расчете слабых разрывов типа волн!290разрежения погрешность аппроксимации становится достаточно большой, что проявляется в ихсильном размазывании (размазывание тем сильнее, чем меньше число Куранта). Выход изпротиворечия между необходимостью получения монотонного решения и повышением порядкааппроксимации предложен в работе Колгана [316], смысл которого заключается в создании‑нелинейных механизмов, обеспечивающих непрерывный переход от немонотонной схемывторого порядка аппроксимации с центральными разностями к монотонной схеме первогопорядка с односторонними разностями в узлах сетки.Таким образом, общую схему построения численного метода на основе схемы Годуноваможно представить в следующем виде:1.
Экстраполяция неизвестных по величинам, заданным в центре (reconstruction). Напрактике используются кусочно-постоянное (схема Годунова), кусочно-линейное (схема ВанЛира) и кусочно-параболическое (схема Чакраварти-Ошера) распределение параметровпотока в пределах ячейки и различные ограничители потока.2. Решение задачи Римана для каждой грани контрольного объема с учетом локальногонаправления потока (в направлении нормали к грани контрольного объема). Точное решениезадачи Римана представляется достаточно затратным с вычислительной точки зрения,поэтому широкое применение находят приближенные подходы, например, схемы Роэ илиОшера.3.
Реализация шага по времени (evolution).Общим во всех методах подобного класса является использование разнообразныхмонотонизирующих ограничителей потоков (рисунок 6.17) с переключателями [317, 318],‑зависящими от локальных свойств решения (под α] i‑понимается i-я характеристика).Большинство ограничителей имеют дискретные переключатели типа ] max { f1 , f2 } , что приводитк разрыву первой производной и снижению точности (использование абсолютных значенийконтрольных функций имеет тот же смысл и приводит к тем же последствиям), в связи с чемприменяются и гладкие ограничители.!291]Рисунок 6.17 - Типичная реализация схемы Годунова с использованием монотонизирующихограничителей потоков.6.8 Задача Римана как простейшая задача для тестировании численных методовОдна из особенностей задач газовой динамики связана с возможностью образованияразрывов решения (образование разрывов возможно и в том случае, когда начальные данныепредставляют собой гладкие функции), что накладывает на используемые разностные схемыспецифические требования.
Эффективность того или иного численного метода зависит от того,каким образом организуется расчет скачков уплотнения, волн разрежения и контактныхразрывов.Применение к расчету сверхзвуковых течений центрально-разностных методов (например,схемы Лакса - Вендроффа) приводит к появлению осцилляций решения вблизи фронта ударнойволны, которые распространяются по всей расчетной области, вызывая неустойчивостьчисленного решения (такие дефекты сходимости известны в математике как явление Гиббса,возникающее при разложении в ряд Фурье разрывной функции).
Данная проблема возникает ипри дискретизации конвективных членов в уравнениях Навье - Стокса при достаточно высокихчислах Рейнольдса, когда невозможно разрешение внутренней структуры ударной волны(получение гладкого решения, которое определяется физической вязкостью). Для обеспеченияустойчивости численного решения вводится искусственная вязкость, что требует подборадиссипативных членов для подавления нефизических осцилляций решения. Для преодолениянедостатков разностных схем с искусственной вязкостью (сильное размазывание зоныперехода, немонотонность численного решения) используются разностные схемы высокогопорядка аппроксимации. Среди таких схем широкое распространение получили схемы смноготочечными шаблонами.!292Качество численного метода проверяется на решении тестовых задач, для которыхсуществует аналитическое или автомодельное решение.
Самой очевидной тестовой задачейявляется задача Римана. В одномерном случае она состоит в нахождении решенияинтегральных законов сохранения массы, количества движения и энергии на промежутке -∞ < x< +∞ при специальных начальных условиях, характеризующихся постоянным состоянием вполуплоскости -∞ < x≤ x0 и постоянным состоянием в полуплоскости x0 < x < +∞.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
