Диссертация (1145329), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Это, например, может быть волна возмущения от вершины клинав задаче набегания слабой ударной волны на клин или зарождение висячего скачка на звуковойлинии при истечении струи из сопла при числах Маха, близких к единице.Существуют области неоднозначности, в одной из них допускается существование одногодополнительного решения с ДСУ, в другой их два.
Правила отбора верного решенияопределяются теорией допустимых перестроек ударных волн. Не рассматривая, трансформациии перестройки, отобрать верное решение, чаще всего, невозможно.✹ !262Глава 6 Метод распада произвольного разрыва и задача построенияразностных схем повышенного порядка точностиРасчет течений с сильными ударными волнами и контактными разрывами представляетсложную задачу для современных коммерческих численных пакетов (см. 1.14). Сложностисвязаны, главным образом, с тем, что разностные схемы первого порядка точности сильно"размазывают" разрывы по нескольким разностным ячейкам, а использование схемповышеннойточности часто сопровождается нефизичными осцилляциями решения насильных разрывах.Наиболее популярными численными методами при расчете сверхзвуковых течений ссильными ударными волнами являются методы типа Годунова, основанные на решении задачиРимана о распаде произвольного разрыва параметров при столкновении под некоторым угломдвух плоских сверхзвуковых потоков.
К задаче Римана может быть сведено большинствослучаев интерференции как стационарных, так и нестационарных газодинамических разрывов,течения за которыми сверхзвуковые. В зависимости от соотношения параметров в потокахисходящие разрывы могут быть или скачками уплотнения, или волнами разрежения. Внекоторых случаях решение может отсутствовать вовсе. Важно уметь находить областисуществования соответствующих решений, т.к. вид образующихся ударно-волновых структур вэтих областях заранее известен.В главе 6 задача Римана сначала решается в точной постановке. Затем рассматриваютсяразличные приближенные методы, основанные на линеаризации уравнений. Далее изучаетсяметодология построения современных разностных повышенного класса точности, схемытестируются на эталонных задачах. В конце главы приводится пример использованиясовременных численных методов для решения сложной задачи о дифракции ударной волны.6.1 О проблеме численного моделирования сверхзвуковых течений с сильнымигазодинамическими разрывамиЭффективность того или иного численного метода зависит от того, каким образоморганизуется расчет сильных скачков уплотнения, волн разрежения и контактных разрывов[273].
При неудачном выборе численного метода на разрывах возможно образование‑!263нефизических осцилляций решения, размытие разрывов и другие явления, снижающиеточность решения. В обычных методах первого порядка точности разрывы сильноразмываются, что не только снижает точность расчетов, но и часто делают невозможнойправильную интерпретацию результатов. Стандартные методы второго и более высокогопорядка точности сталкиваются с трудностями другого рода - нефизичными осцилляциямирешения на сильных разрывах. Очевидно, что задачи численного моделирования течений ссильными ГДР требуют разработки специально предназначенных для этого разностных схем иметодов расчета.Широкое применение находят методы расщепления вектора потока (Flux Vector Splitting,FVS) и методы расщепления разности потока (Flux Difference Splitting, FDS).В методах FVS расщепление производится в зависимости от локального направленияпотока.
Методы FVS вполне эффективны при расчете стационарных скачков уплотнения. Примоделировании, например, контактных разрывов, методы FVS оказываются слишкомдиссипативными и дают некорректный уровень диффузии [274].‑В методах FDS для расчета потока через грани контрольного объема используетсяприближенное решение задачи о распаде произвольного разрыва. Для успешного расчетатечения с сильными разрывами необходимо выбрать подходящий для данной задачи методрешения локальной задачи Римана, например, метод Рое (Roe method), метод HLL (Harten, Lax,van Leer), метод HLLC (HLL with Contact) и ряд других.
Метод Рое использует точное решениелинеаризованных уравнений Эйлера и позволяет успешно разрешать одиночные скачкиуплотнения практически без численной диссипации, а также и тангенциальные/контактныеразрывы. Часто в решении, полученном методом Роа появляются нефизичные энтропийныедорожки (энтропийные глюки - entropy glitch), для избавления от которых применяетсяэнтропийная коррекция [275].‑Метод HLLC имеет хорошие разрешающие способности при моделировании течений сконтактными разрывами, но хуже работает при наличии в потоке ударных волны, что приводитк возникновению нефизических низкочастотных осцилляций параметров потока за фронтомударной волны, а также других ошибок в численном решении (spurious expansion shock, carbuncle phenomenon, odd even decoupling, kinked Mach stem).
Решение задачи Римана на основемодифицированного метода HLL, позволяющего рассчитывать контактные разрывы,обсуждается в работе [276].‑!264Таким образом, широко распространенные методы решения задачи Римана не позволяютво всех случаях получать надежные результаты, что потребовало разработки новых численныхметодов.Схемы TVD (Total Variation Diminishing), в основу которых положен принципневозрастания полной вариации решения, лишены описанных выше недостатков методов FVC,FDS, HLLC. Высокий порядок аппроксимации достигается путем введения антидиффузионныхпотоков и нелинейных ограничителей потоков. При этом повышенный порядок аппроксимациидостигается в гладких областях решения, а на газодинамических разрывах порядокаппроксимации снижается до первого.
Решение ряда тестовых задач газовой динамики припомощи схем TVD-типа приводится в работе [277 ].‑Схемы ENO (Essentially Non-Oscillatory) и WENO (Weighted ENO) третьего и четвертогопорядков аппроксимации позволяют значительно улучшить качество численных решений посравнению с классическими разностными методами фиксированного порядка точности [278],‑но их использование сопряжено с немалыми трудностями.
Реализация ENO- и WENO-схемтребует перебора шаблонов с целью отбора наиболее гладкого для данной задачи из них, чтоведет к значительным затратам вычислительных ресурсов. В решении иногда возникаютнефизические эффекты, т.к. условие TVD строго не выполняется. Подробное изложениеосновных проблем использования TVD-подхода приведено в работах [279, 280], а ENO- и‑‑WENO-схем - в работе [151]. Несмотря на многочисленные примеры использования ENO- иWENO-схем [281, 282, 283, 284, 285, 286 , 287], вопросы корректности их применения в задачах‑‑‑‑‑‑‑с сильными разрывами остаются открытыми.
Нельзя однозначно сказать и об обоснованностиприменениястоль требовательных к вычислительным ресурсам схем ENO/WENО во всехслучаях. Так разностные схемы типа ENO третьего и четвертого порядков аппроксимации даютзначения нормы погрешности плотности, которые всего в два раза меньше, чем разностныесхемы MUSCL второго порядка аппроксимации.Таким образом, вопрос о выборе того или иного разностного метода в каждом конкретномслучае остается открытым. Следовательно, весьма актуальной является задача тестированияразличных разностных схем на модельных задачах, когда известно точное решение уравненийгазовой динамики.Модельные задачи служат для проверки новых методологических концепций и оценкиточности полученных результатов, позволяют судить о монотонности и точности численногорешения, наличии численной диффузии и фазовых ошибок, нефизичных осцилляций в областяхбольших градиентов.
Одной из наиболее популярных является модельная задача о!265сверхзвуковом обтекании затупленного тела, которая позволила выявить в некоторыхчисленных методах появление нефизичного грибовидного распределения плотности вокрестности точки торможения за фронтом головной ударной волны (carbuncle phenomenon)[288, 289, 290], а также различного рода неустойчивости (odd-even instability) [291].‑‑‑‑В работе [292 ] приводятся решения 10 одномерных задач газовой динамики методом‑конечного объема при помощи различных разностных схем (всего рассматривается 8разностных схем). Результаты расчетов сравниваются с другими подходами к расчету потоковчерез грани контрольного объема.Возможности численного алгоритма, основанного на квазигазодинамической системеуравнений, проверяются в работе [293].
Для расчетов используются тестовые задачи газовой‑динамики из работы Лиска [167]. В работе [ 294] решаются уравнения Эйлера, записанные в‑неконсервативной форме. Основные сложности при работе с гиперболическими уравнениями,которые не допускают представления в консервативной форме, возникают тогда, когда решениесодержит разрывы, и классические условия Рэнкина-Гюгонио на разрывах оказываютсянеприменимыми. В работе исследуются свойства WENO схем с подсеточным разрешением. Вработе [295] предлагается задача (blast wave), в которой моделируется сложное нестационарное‑взаимодействие двух детонационных фронтов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
