Диссертация (1145329), страница 39
Текст из файла (страница 39)
На рисунке 5.4 представлены результаты расчетаоптимальных ТК, в которых управляющим параметром является угол наклона первого скачкаσ1. Тройные конфигурации, оптимальные по отношению полных давлений, а также покритериям (5.12-5.16), показаны кривой IP0 на рисунке 5.4. Фрагменты (а) и (б) п оказаны!233крупно на рис. 5.5 - а и б. Конфигурации, оптимальные по отношениям скоростных напоров,соответствуют на плоскости М - σ1 кривой Id.
Остальные критерии здесь не рассматриваются.Обе кривые, описывающие оптимальные тройные конфигурации, выходят из одной точкиF1 (число Маха M=1.245, см. рис.5.5-а). Линия f1 является границей области существованиятройных конфигураций ударных волн. В области III оптимальные конфигурации относятся ктипу ТК-3, а в области II - к ТК-2.]а) выноска на рис.5.5-а, б) выноска на рис.5.5-б, SMC - стационарная маховская конфигурация,e - оптимальная стационарная маховская конфигурация, IPo, Id - ТК, оптимальные по критерию(5.14) и (5.19) соответственно, III* - дополнительные решения, соответствующие ТК-3,остальные обозначения, как на рисунке 5.2.Рисунок 5.4 - Области существования ТК и оптимальных УВС.Линии, соответствующие оптимальным ТК, пересекают линию стационарных маховскихконфигураций в точке "е", такой, что] M = M e = 4 − 3ε + ε 2 / (1− ε ) = 2.254 .Таким образом, при М=Ме СМК является оптимальной сразу по всем критериям.(5.20)!234]]а)б)Рисунок 5.5 - Фрагменты области существования ТК и оптимальных УВС.Как показано на рисунке 5.4 в некоторой области параметров могут возникатьдополнительные два решения, соответствующие ТК-3 (см.
области III*, III** и штриховку \\\\),или одно дополнительное решение (см. область III* и штриховку /////). Из точки w на рисунках5.4, 5.5-б выходят линии Id и IP0, соответствующие оптимальным тройным конфигурациямТК-3*.5.3 Асимптотические свойства тройных конфигурацийПредставляет несомненный прикладной интерес задача определения значенийинтенсивности главного и отраженного разрывов при стремлении интенсивности ветвящегосяскачка и числа Маха набегающего потока к бесконечности. Асимптотические свойства удобноизучать на примере СМК, т.к. в такой ТК главный скачок прямой и имеет максимальную длязаданного числа Маха интенсивность.В результате, мы видим, что задача является однопараметрической, т.е.
можно изучатьзависимость интенсивности исходящих разрывов только от интенсивности ветвящегося скачка.Результаты такого анализа приведены на рисунке 5.6. Засечками на кривой 2, соответствующейинтенсивности отраженного скачка 2, отмечены числа Маха набегающего потока, которыеобеспечивают значения интенсивностей исходящих разрывов Λ1 и Λ2.!235]1 - приходящий скачок, 2 - отраженный скачок, 3 - ножка Маха, засечками на кривой 2отмечены числа Маха невозмущенного потока перед СМК.Рисунок 5.6 - Зависимость логарифмов интенсивности i-того скачка Λi=lnJi от логарифмаинтенсивности приходящего скачка Λ1=lnJ1.Рисунок 5.9 можно использовать для анализа асимптотических свойств ТК.
Ниже приведентакой анализ.Предел по числу Маха. Наименьшее число Маха, при котором могут существовать СМК,это М=МТ (1.483 для воздуха). Приходящий скачок при этом вырождается в характеристику, т.к.его интенсивность равняется единице. Напомним, что] MT =( 2 − ε ) (1− ε ) .(5.21)Отраженный скачок 2 при этом становится прямым его интенсивность равняетсяинтенсивности ножки Маха 3] J 3 = J 2 = J m ( M T ) = 2 (1− ε ) = 2.4 .(5.22)Числа Маха за скачками данной вырожденной СМК принимают значения: M1=MT, M0= 1 / 2 .Углынаклона скачков к векторам скоростей потока перед ними: σ1=arcsin(1/MT)=49.392°,σ3=σ2=90°.!236Рассмотрим предел при М→∞, интенсивность приходящего скачка J1 при этом такжестремится к ∞ (анализ выполнен М.В.Чернышовым). Такие СМК называютсяасимптотическими (АСМК). Для угла наклона скачка 1 справедливо соотношение]J1= (1+ ε )sin 2 σ 1 .2M(5.23)Раскроем в последнем уравнении неопределенность и получим] σ 1 = arcsin2ε (1− ε )=21.769,1+ ε − ε 2 + ε 3 + D(5.24)где ] D = (1+ ε )2 − ε (1− ε ) ⎡⎣ 2(1+ ε )(2 − ε ) − ε 3 (1− ε ) ⎤⎦ .
Таким образом, при стремлении числа Махак бесконечности, угол наклона приходящего скачка стремится к совершенно конкретномупределу. Конечными являются в АСМК и интенсивность отраженного скачка J2, и числа Махаза скачками 2 и 3(] J 2 = F ( ε ) = 1+ ε − ε 2 + ε 3 + D) ( 2ε (1− ε )) = 7.271 ;(5.25)] M1 =1− ε + ε 2 + 3ε 3 − 2ε 4 + D= 5.691 ;2ε (1− ε 2 )(5.26)] M2 =( J 2 + ε ) M 12 − (1− ε )( J 22 − 1)= 3.506 ;J 2 (1+ ε J 2 )(5.27)] M 3 = ε (1+ ε ) = 0.378 .(5.28)Угол наклона отраженного скачка при М→∞ стремится к значению σ2=26.335°.Значения критериев оптимальности в АСМК. Рассмотрим, как ведут себя критерииоптимальности ТК (5.13-5.21) при стремлении СМК к асимптотическим пределам.Отношения полных давлений I0=p02/p03, ряда других термодинамических параметров,скоростных напоров ρu2, расходов ρv монотонно возрастают в СМК.
Например, величина I0(J1)изменяется от единицы при J1=1 до значения в АСМК⎡ 1+ 2ε − 2ε + ε + (1− ε ) D ⎤] I0 = ⎢⎥2ε ( 2 − ε )⎣⎦341+ε2ε= 69.72 .(5.29)Отношения других критериев оптимальности, также в АСМК асимптотически приближаются кконечным значениям:!237] Iv =(1− ε )2 + 4ε 3 − ε 4 − 2ε 5 + ε 6 + (1− ε )2 (1+ ε ) D = 5.059 ;2ε 21− 2ε + 3ε 2 + ε 3 (1− ε ) + (1− ε ) (1+ ε 2 ) D(5.30)2] Iq =2ε 4 ( 2 − ε )] Id =2= 17.01 ;(5.31)1− 2ε + 2ε 2 + 2ε 3 − ε 4 + (1− ε ) D= 86.05 ;2ε ( 2 − ε ) ε 3(5.32)1− 2ε + 6ε 2 − 4 ε 3 + ε 4 + (1− ε ) D= 15.17 .2ε 2 ( 2 − ε )(5.33)] Iw =Здесь Iv - отношение скоростей (u), Iq - отношение расходных функций (q= ρu), Id - отношениескоростных напоров (d=ρu2) и Ιw - отношение импульсов потока (w=p+ρu2).Выполненный анализ демонстрирует, что при постановке задачи проектированияоптимальной УВС необходимо вводить ограничение по интенсивности приходящего скачка, т.к.асимптотические значения критериев оптимальности не такие уже и большие.5.4 Перестройки УВС с переходом через экстремальную ТК с прямым скачком5.4.1 Трансформация УВС в воздухозаборнике внешнего сжатияРассмотрим типичный сверхзвуковой пассажирский самолет (СПС), рассчитанный накрейсерскую скорость полета М=2.2-2.5.
Будем считать, что он оснащен двухскачковымвоздухозаборником. Выберем угол первого клина β1 = 20°, угол второго клина β2 = 10°, которыеобеспечивают структуру скачков, близкую к оптимальной в диапазоне чисел Маха М=2.4-2.5.Рассмотрим, как трансформируется УВС по пути к ОУВС при изменении числа Маха от М=2.3до М=2.45 (рисунок 5.7). На рисунке 5.7 для каждого числа Маха слева показан результатчисленного расчета по схеме идеального газа, а справа - решение на плоскости поляр.
Чернаяполяра соответствует числу Маха невозмущенного потока, красная - числу Маха за первымскачком, синяя - за вторым скачком. Напомним, что при регулярной интерференции ДСУпересекаются левая ветвь синей поляры и правая ветвь черной.Видно, что не все так просто с трансформацией УВС. При М=2.3 синяя поляра непересекается ни с черной, ни с красной. Красная поляра пересекается с черной в точке J>Js.Под воздействием возмущений, передающихся через дозвуковой поток, второй скачокискривляется и из догоняющего становится встречным.!238М=2.39М=2.3ΛΛβМ=2.35ΛΛМ=2.38βМ=2.40ββМ=2.45ΛΛββ]Рисунок 5.7 - Трансформация УВС в двухскачковом воздухозаборнике при изменении числаМаха полета.Решению соответствует точка пересечения красной и черной поляры. При увеличениичисла Маха до М=2.35 появляется точка пересечения синей и красной поляры правымиветвями, что соответсвует образованию λ - образной структуры типа ТК-3 с двумядогоняющими скачками, приходящими в тройную точку от второго клина.
При дальнейшемувеличении М тройные точки сближаются, пока не сливаются в одну при М=2.4 спревращением третьего скачка в отраженных скачок, исходящий из точки интерференции ДСУ.На плоскости поляр этому соответствует касание синей поляры с черной. Таким образом, надостаточно узком отрезке изменения параметра М от М=2.3 до М=2.4 УВС проходит целый рядлюбопытных перестроек. Сначала имеет место интерференция ВСУ, затем второй скачокрасщепляется на два ДСУ с образованием ТК-3. Главный исходящий из ТК-3 скачок являетсядля головного скачка, распространяющегося от первого клина, приходящим встречным скачком.!239Постепенно он укорачивается и исчезает совсем, второй приходящий в ТК-3 ДСУ при этомтрансформируется в отраженный разрыв, а сама ТК-3 проходит стадию ТК-2/3, когда второйДСУ становится прямым (см.
фрагмент с М=2.45 на рисунке 5.7). Понятно, что проектируяОУВС и задавая законы их трансформации, необходимо знать границы областей существованияУВС соответствующих типов (см. раздел 5.5).5.4.2 Перестройки УВС с переходом через прямой скачок уплотнения и парадоксНейманаВыше был рассмотрен процесс образования λ-образных УВС при нерегулярнойинтерференции ДСУ в воздухозаборнике внешнего сжатия (рис.5.7).
В таких структурах ножкаМаха является главным скачком для λ-образной УВС и приходящим для первого из ДСУ косогоскачка. При плавном изменении числа Маха ножка Маха постепенно изменяет угол наклона ипроходит через состояние, когда этот скачок становится прямым, а λ-образная УВСпревращается в СМК. Никаких проблем при такой трансформации не возникает.
При малыхчислах Маха ситуация гораздо сложнее.При числах Маха M<MT (для воздуха MT=1.483, точка Т на рисунке 1.25) тройныеконфигурации ТК-2 существовать не могут. Соответственно, не может существовать маховскоеотражение скачка от стенки или плоскости симметрии. Существуют предположения, что приМ=МT происходит переход от ТК-2 к ТК-3, т.е. второй скачок из исходящего становитсяприходящим. Каков механизм такой перестройки пока не выяснено.Область существования ТК-3 ограничена числом Маха MF=1.245 (точка F на рисунке1.25). При числах М<MF, тройные конфигурации ударных волн ТК-3, соответствующиевзаимодействию догоняющих скачков уплотнения одного направления, существовать не могут.Обязательным является наличие отраженного разрыва: скачка или волны разрежения (областьIV на рисунке 1.25).Первым на это обратил внимание фон Нейман - теоретический анализ показывал, чтомаховское отражение существовать при малых числах Маха не может, но в экспериментах нечтоподобное наблюдалось.
Данный факт получил название парадокса Неймана. Малые числаМаха являются важнейшей областью параметров, характерной для возникновения волновогокризиса на верхней части профиля крыла, а также при истечении струй из сопел современныхтурбореактивных двигателей, поэтому проблеме парадокса Неймана было уделено большоевнимание.!240Подробный обзор состояния этого вопроса приведен в 1949 г. в работе Бликни [258].‑Решению данной проблемы посвящены работы Баргманна [259; 1945 г.], Лайтхилла [260 ; 1949‑‑г.] и Тинга и Людлоффа [261 ; 1951 г.], в которых использовались приближенные аналитические‑методы расчета полей газодинамических параметров в рассматриваемом течении.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
