Диссертация (1145329), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Противоположнойграницей является линия 2, которая соответствует J1=1, т.е. угол наклона скачка 1 равен углунаклона характеристики α=arcsin 1/Μ (углу Маха). В уравнениях (5.1)-(5.3), еще раз напомним,ε=(γ-1)/(γ+1), где γ - показатель адиабаты, равный отношению удельной теплоемкости припостоянном давлении к удельной теплоемкости при постоянном объеме.!228Области III соответствуют ТК-3 с догоняющими скачками 1 и 2 одного направления, т.е.характеристическая УВС, образующаяся при регулярной интерференции ДСУ. Верхняя границаэтой области (кривая между областями III и IV) задается условием вырождения второго скачка вслабый разрыв J2=1, что соответствует второму порядку касания ударных поляр в точке началавторой поляры и определяется условием]M =]A=A( B ± C ) − 1+1 ,ε.1+ ε J1, ] B = J1 (1− 2ε − ε 2 ) − 2ε 2 ,2(1+ ε )( J1 (1− 3ε ) − 4ε )(5.4)] C = 2ε ε (1+ ε J1 ) ( J1 + ε ) ..Если в (5.4) положить J1=1, то можно получить граничное число Маха]Mf =(2 1± ε1± 2 ε).(5.5)Уравнение (5.5) имеет два корня.
Для воздуха меньший корень MF1=1.245. При числах Махаменьших MF1, тройные конфигурации ударных волн ТК-3, соответствующие взаимодействиюдогоняющих скачков уплотнения 1 и 2 одного направления, существовать не могут. Второйкорень (для воздуха MF2=2.540) относится к области неоднозначности, когда параллельно сконфигурациями ТК-2 или ТК-1 могут существовать одна или две конфигурации ТК-3 (областинеоднозначности рассматриваются ниже).На нижней границе области III (кривая 2/3) второй скачок - прямой, т.е.
J2=Jm(M1), чтосоответствует переходной ТК-2/3 и определяется уравнением] M 4 − rM 4 + q = 0 ,.2]()r = ( J1 − 1) ( J1 + 2 − ε ) / ( J1 + ε ) + ( J1 + ε ) / (1+ ε ) + (1+ ε J1 ) / (1− ε ) ( J1 + ε ) ,q = ( J1 − 1) ( J1 + 2 − ε ) / (1− ε ) .2(5.6)В точке Т пересечения кривых (2/3) и (2) интенсивность J1=1 и скачки 2 и 3 вырождаютсяв одну прямую ударную волну. В эту же точку приходит кривая (1/2), ограничивающая снизуобласть II существования ТК-2. Соответствующее число Маха] MT =( 2 − ε ) / (1− ε )(5.7)!229ограничивает область чисел Маха M<MT (для воздуха MT=1.483), в которой тройныеконфигурации со встречными скачками (ТК-1 и ТК-2) существовать не могут. На граничнойлинии (1/2) J3=Jm и вторая поляра пересекает основную поляру в её вершине, что определяетсявыражениемA3 = 1− ε 2 ,3] ∑ Ak J1k = 0 ,k=0()A2 = − (1+ ε − ε 2 + ε 3 ) J m + 1+ ε 2 ,] A1 = ε (1+ J m ) ⎡⎣(1− ε ) J m − 2 ⎤⎦ ,(5.8)A0 = (1− ε ) J m ( J m − 1) ,J m = (1+ ε ) M 2 − ε .УВС вырождается в переходную ТК-1/2.
Направление отраженного скачка 3 меняется напротивоположное.Область I соответствует случаю интерференции встречных скачков.Области неоднозначности решения. Изучение областей, в которых допускаетсямножество решения, является весьма важным, т.к. в областях неоднозначности часто возникаютколебания и гистерезисные явления, что нужно учитывать при проектировании УВС ииспользующих их устройств. При анализе интерференции ВСУ и отражении косого скачка отстенки уже встречались области, в которых существует множественность решений, и требуетсявыбирать между регулярным и нерегулярным отражением.
Существует также инеоднозначность другого рода. При интерференции встречных скачков, возможен случай, когдаосновная и вторичная поляра пересекаются правыми ветвями, при этом могут возникатьдополнительные одна или две точки, соответствующие ТК-3 (рис.5.1).Линия w-w на рисунке 5.2 соответствует касанию основной и вторичной поляры в точкена правых ветвях (рисунок 5.1-а). При увеличении интенсивности скачка 1 точка касанияраспадается на две точки пересечения, показанные на правых ветвях поляр на рисунке 5.1-б.Образуется область, в которой возможны три различные решения для ТК: одно основное,соответствующее интерференции ВСУ и два дополнительных, соответствующихинтерференции ДСУ.
По мере увеличения числа Маха нижняя точка пересечения на рисунке5.1-б смещается вниз. Когда она достигает начала координат, второе дополнительное решение,соответствующее ДСУ, вырождается и остается только одно основное решение (ВСУ) и однодополнительное (ДСУ).!230Очевидно, что в этот момент интенсивность приходящего скачка 1 равная единице. Нарисунке 5.2 ему соответствует линия F2-f2.
Таким образом, области, в которой существуютнеоднозначность с возможностью трех решений, соответствует криволинейный треугольник wF 2 -w, а область, в которой возможно существование одного основного и одногодополнительного решения, ограничена слева линией F2-f2.Числа Маха в точках w равны Mw = 2.089, 3.117. В точке F2 - MF2=2.540. Наименьшеечисло Маха, соответствующее граничной линии F2-w-f2, определяется уравнениями()32+ ε (1− 11ε ) J1Δ− ε 4 + ε + 9ε 2 J1Δ − ε (1+ 5ε ) = 0 ,] (1− 3ε ) J1Δ(1− 3ε )2 M Δ6 − ( 3 − 7ε )(1− 2ε + 5ε 2 ) M Δ4 +](1− ε )( 3 − 23ε + 25ε 2 + 27ε 3 ) M Δ − (1+ 10ε − 27ε 2 )(1− ε )2 = 0.Для воздуха число Маха, соответствующее точке f2min, М2min = 2.462.(5.9)(5.10)Выше линии 1/2основное решение - ТК-2, ниже - ТК-1.
На рисунке 5.2 нанесена звуковая линия S. Точке s1соответствует СМК, в которой течение за отраженным скачком звуковое.На рисунке 5.3приведены области существования ТК-1/2/3 в координатах J1(интенсивность приходящего скачка) - М (число Маха невозмущенного течения), в которыхранее выполнялся анализ областей существования ВСУ и ДСУ.Видно, что существуетдовольно большая область параметров, в которой допускается существование, как ТК-3, так иТК-2 или ТК-1.]Рисунок 5.3 - Области существования тройных конфигураций.!2315.2 Оптимальные тройные конфигурации скачков уплотненияМожно поставить задачу получения оптимальной УВС (ОУВС) в смысле достиженияэкстремального значения некоторого функционала.
Рассмотрим задачу построенияоптимальной УВС на примере наиболее общего случая - тройных конфигураций ударных волн.Оптимальными называют тройные конфигурации, в которых отношения некоторыхпараметров течения на тангенциальном разрыве экстремальны. Как видно из постановкизадачи, тройная конфигурация определяется двумя параметрами, например, числом Маха Мневозмущенного потока и интенсивностью J1 ветвящегося скачка. Управляя последнимпараметром, можно создавать оптимальные тройные конфигурации без перестройки теченияперед ними. Ранее в п.2.8. 2.9 была рассмотрена проблема оптимальности одиночного разрыва,здесь мы рассматриваем задачу построения оптимальной УВС.Критерии оптимальности ТК.
Рассмотрим различные критерии оптимальности тройныхконфигураций. Наиболее очевидным критерием является экстремум отношения потерь полногодавления при прохождении потока через систему скачков косых 1 и 2, а также через главныйскачок 3. Отношения полных давлений на сторонах разрыва τ определяются черезкоэффициенты потерь полного давления на скачках уплотнения:(] I = JE γ)−(1−ε )/( 2 ε ).(5.11)Применив эту формулу к каждому из скачков тройной конфигурации для отношения полныхдавлений на тангенциальном разрыве получим1+ε⎛ E ⎞ 2εp] I 0 = 02 = ⎜ 3 ⎟ .p03 ⎝ E1E2 ⎠(5.12)Данный критерий отражает минимум потерь полного давления р02 при прохождении потокачерез систему двух косых скачков 1 и 2 (E1 и Е2) в ТК по сравнению с главным скачком 3 (Е3,р03).
Интересен, как минимум этого функционала (ТК-3 в воздухозаборниках внешнего сжатия,ТК-2 в воздухозаборниках смешанного сжатия), так и максимум (организация стационарнойили непрерывной детонации в системе косых ударных волн).Можно сформулировать несколько важных критериев оптимальности, которые находятся встепенной зависимости от I0:отношение плотностей (эффективность сжатия газа в волновых устройствах сжатия таких,как волновые компрессоры, волновые обменники давления):!232]ρ2E= 3 = I 02 ε /(1+ε ) ,ρ 3 E1E2(5.13)температур (эффективность газодинамического инициирования детонации):]T2 E1E2== I 0−2/(1+ε ) ,T3E3(5.14)скоростей звука (преломление/фокусировка звуковых волн):]a2=a3E1E2= I 0− ε /(1+ε ) ,E3(5.15)акустических импедансов (акустическая проницаемость среды) z=pa]z2=z3E3= I 0ε /(1+ε ) .E1E2(5.16)Если оптимизируемое отношение зависит от скоростей потока на сторонахтангенциального разрыва, задача его оптимизации не сводится к отысканию экстремума полныхдавлений.
К примеру,отношения скоростных напоров (поражающее действие ударной волны):d2 M 22] Id == 2 , ] d = ρV 2 ;d3 M 3(5.17)расходных функций (присоединенная масса УВС):] Iq =q2 M 2=q3 M 3E3, ] q = ρV ;E1E2(5.18)импульсов потока (тяга детонационного двигателя):j2 1+ γ M 22] Ij = =, ] j = p + ρV 22j3 1+ γ M 3(5.19)не выражаются исключительно через отношения плотностей на скачках.
Поэтому тройныеконфигурации, оптимальные по этим критериям, отличны от оптимальных по I0. Тем не менее,все критерии (5.13-5.21) имеют экстремумы, что позволяет поставить задачу конструированияОУВС.Результаты анализа оптимальных ТК.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
