Диссертация (1145329), страница 35
Текст из файла (страница 35)
На поляре может быть несколькохарактеристических точек. Уравнение (4.17), записанное относительно М2, являетсяквадратнымaM 4 + bM 2 + c = 0 ; a = γ ⎡⎣(2 − γ )(J f + ε ) − γε ⎤⎦ ;(] b = ⎡⎣(γ − 1)2 − 2 ⎤⎦ J f + ε)2+ 2 [ (γ − 1)ε − 1] (J f + ε ) − 2γε (1+ ε ) ;(4.18) c = (J f + ε )3 + (2γ − 3ε )(J f + ε ) + (2ε 2 + 4 ε + 1)(1+ ε ) .Дискриминант Δ(] γ ;M)уравнения (4.18) обращается в ноль при M] = M Δ (γ ) .
Если] M < M Δ , то на ] Pσ (M ) может иметь место лишь одна характеристическая точка ] f1 , если] M > M Δ , то из трех действительных корней уравнения необходимо отбросить те, которые неудовлетворяют неравенствам 1<Jf<Jm. Полагая в (4.18) Jf=1, получим граничные числа Маха,определяющие область существования характеристических точек на поляре] (5 − 3γ )M 4 − 4(3 − γ )M 2 + 8 = 0 .(4.19)Решая уравнение (4.19), получим два корня] M f1 = (a1 − b1 )1/2 ; ] M f2 = (a1 + b1 )1/2 ,(4.20)где] a1 =2 γ 2 −12(3 − γ ); ] b1 =.5 − 3γ5 − 3γ(4.21)Приведенная математическая модель может быть использована для нахождения областейсуществования УВС с различными типами отраженных разрывов. С помощью (4.19 - 4.21)!205можно построить кривые Mf(γ) и Jf(M,γ), соответствующие характеристическим УВС, они будутразделять области с различными типами отраженного разрыва.
Правда, строго говоря, этотанализ справедлив только в области, близкой к началу координат.4.4.2 Области существования характеристических точек на полярахАнализ производных ] Λ ′ и ] Λ1′ в различных областях существования характеристическихточек ] fi позволяет сделать вывод, что при⎡ Λ ′ > Λ1′;]⎢⎢⎣ J1 ∉ ⎡⎣ J f3 , J f2 ⎤⎦ ∪ ⎡⎣ J f1 , J s ⎤⎦(4.22)начало первой поляры ] Pσ ( M̂ 1 ) проходит внутри ] Pσ (M ) (рисунок 4.1-в), а при⎡ Λ ′ < Λ1′;]⎢⎢⎣ J1 ∉ ⎡⎣1, J f3 ⎤⎦ ∪ ⎡⎣ J f2 , J f1 ⎤⎦(4.23)вне основной поляры (рисунок 4.1-a).
Таким образом, условия (4.22-4.23) определяют типотраженного разрыва в УВС с ДСУ при интенсивностях приходящего скачка уплотнения,близких к характеристическим.Для γ=5/4 в интервале M ∈ ⎡⎣ M f1 , M f2 ⎤⎦ находится только одна характеристическая точка f1,а при M > M f2 - две: f1 и f2. При γ=5/4 существует область M Δ < M < M f2 , в которой полярысжатия имеют все три характеристические точки. В диапазоне M > M f2 нижние точки f3отсутствуют для любых значений γ. Особые числа Маха сведены в таблицу 4.2.Таблица 4.2. Особые числа Маха при разных показателях адиабаты.γ1.11.251.41.67MΔ1.6222.464.125! M f11.3021.2651.2451.224! M f21.66622.54∞График, отражающий область существования характеристических УВС, показан нарисунке 4.15. Хорошо видно, что при различных числах Маха может быть от одной до треххарактеристических точек на ударной поляре, т.е. вторичная поляра может пересекаться сосновной в трех точках.!206]I - одна характеристическая точка f1, II - две характеристические точки f1 и f2, III - три характеристические точки f1, f2, f3.Рисунок 4.15 - Зависимость от показателя адиабаты особых чисел Маха, разделяющихобласти, в которых возможно образование одной, двух и трех характеристических точекна поляре.На рисунке 4.16 показаны зависимости от числа М интенсивности скачка 1 в системедогоняющих скачков, соответствующие характеристическим точкам.
Именно такие УВСявляются оптимальными по критерию степени восстановления полного давления. Во врезке"А" показаны в увеличенном масштабе кривые, соответствующие характеристическим точкамf1. Пунктирная дискриминантная кривая, соответствующая равенству нулю дискриминанта вуравнении (4.18), разделяет характеристические кривые на две ветви: верхнюю f2 и нижнюю f3.Числа Маха ΜΔ ограничивают слева область существования характеристических УВС f2 и f3.При γ<1.2 дискриминантная кривая уходит в область J<1, следовательно, существует тольковерхняя ветвь f2 характеристической кривой.
Таким образом, в зависимости от числа Маха ипоказателя адиабаты, характеристические УВС могут возникать в одной, двух и трех точках наударной поляре.!207]Сплошные линии - характеристические кривые, соответствующие точкам f1, f2, f3. Пунктирнаялиния - дискриминантная кривая, соответствующая условию Δ=0.Рисунок 4.16 - Характеристические точки на ударной поляре.4.5 Области существования ударно-волновых структур с различным типомотраженного разрыва, образующихся при регулярной интерференции догоняющихскачков уплотненияУВС, состоящие из догоняющих скачков уплотнения, применяются в современныхсверхзвуковых воздухозаборниках внешнего сжатия. Во всех значимых для практики случаяхважно уметь находить интенсивность главного исходящего и отраженного исходящего разрыва,как в случае, когда отраженный разрыв - это скачок уплотнения, так и в случае, когда он - волнаразрежения.
В воздухозаборниках, желательно, чтобы отраженный разрыв был скачкомуплотнения.4.5.1 Границы областей с отраженным скачком и волной разреженияУсловия динамической совместности, решения на плоскости ударных поляр и типичныеУВС для случаев интерференции ДСУ с различными типами отраженных разрывов приведеныв пункте 4.1. Определение параметров отраженного разрыва заключается в анализе каскада!208ударных поляр (рисунок 4.17), которые обычно строятся в переменных: Λ=lnJ и угол разворотапотока на разрыве β.
Основная поляра, выпущенная из начала координат Λ=0, β=0 (рисунок4.17-а), соответствует всем возможным скачкам уплотнения для заданного числа Маха передпервым скачком. Вторая поляра, выпущенная из точки на первой поляре, соответствующейинтенсивности первого скачка Λ1, задает все возможные скачки для числа Маха за первымскачком.]а)б)Рисунок 4.17 - Решение задачи об определении интенсивности отраженного разрыва приинтерференции догоняющих скачков на плоскости ударных поляр (а) и детали пересечениятретьей и первой ударной поляры (б).Наконец, третья поляра выпускается из точки на второй поляре, заданной интенсивностьювторого скачка Λ2. Решению задачи соответствует точка пересечения первой и третьей поляры(точка "С" на рисунке 4.17-б).
Если начало третьей поляры лежит вне первой поляры, тоотраженный разрыв является скачком уплотнения (на рисунке 4.17-б отраженный скачок имеетинтенсивность Λ4). В противном случае отраженный разрыв - волна разрежения. Следуетотметить, что третья поляра может иметь дополнительные точки пересечения с первой полярой("А" на рисунке 4.17-б) и второй полярой ("В" на рисунке 4.17-б). Возможность существованияУВС, отвечающих этим дополнительным решениям требует отдельного исследования, онибудут рассмотрены в главе 5.
Наконец, если вторая поляра пересекается с первой, то условиядинамической совместности выполняются и без отраженного разрыва, т.е. образуется!209характеристическая УВС. Ниже рассмотрены результаты расчета интенсивности отраженногоразрыва для случаев, когда он является волной разрежения или скачком уплотнения.На рисунке 4.18 приведен пример расчета для М=3 типичной зависимости интенсивностиотраженного разрыва J4 от интенсивности J1 скачка 1 и интенсивности J2 скачка 2.Пересечению кривых с линией J4=1 соответствует характеристическая УВС. Конечные точкикривых являются границей между РИ и МИ.]Рисунок 4.18 - Интенсивность отраженного разрыва при регулярном взаимодействиидогоняющих скачков.При большей интенсивности второго скачка третья поляра не пересекается с первой,регулярная интерференция невозможна и образуются более сложные УВС.
При J4 > 1отраженный разрыв - скачок уплотнения, при J4 < 1 отраженный разрыв - волна разрежения,при J4=1 - слабый разрыв.Характеристическая УВС делит область существования решения на две подобласти.Рассмотрим их подробнее. Очевидной границей существования отраженного разрыва прирегулярной интерференции ДСУ является условие, при котором течение за вторым приходящимскачком становится звуковым. Действительно, в дозвуковом потоке отраженный разрыв неможет существовать ни в виде скачка, ни в виде волны разрежения.
На рисунке 4.19 этомуусловию соответствует линияJ2=Js (линия 3). Граница регулярной интерференции ДСУпоказана на рисунке 4.19 линией 2, соответствующей предельным точкам на кривых рисунка4.18 (отмечены кружками).!210]1- характеристическая УВС, 2 - границы регулярной интерференции ДСУ, 3 - звуковаяинтенсивность второго приходящего скачка.Рисунок 4.19 - Области существования различных типов отраженного разрыва.Ниже линии 2 на рисунке 4.19 лежит подобласть с отраженным разрывом - скачкомуплотнения, которая ограничена снизу линией, соответствующей характеристической УВС(линия 1), в которой отраженный разрыв является разрывной характеристикой.
Ниже линиихарактеристической УВС лежит область с отраженным разрывом - волной разрежения. Воврезке показана вторая ветвь характеристических УВС, которая также разделяет области сотраженной волной и скачком уплотнения. Необходимо отметить, что, для типичных чиселМаха, интенсивность отраженного разрыва мало отличается от единицы, поэтому отраженныеразрывы трудно обнаружить как в результатах численных расчетов, так и в результатахфизических экспериментов.При М=2.5 характер зависимости J4(J1, J2, M), на первый взгляд, качественно не меняется(см.
рисунок 4.20). Однако, анализ областей существования решений показывает, что это не так.На рисунке 4.21 приведены результаты расчетов характеристической УВС. Видно, что в началекоординат появилась маленькая третья ветвь поляры. Таким образом, получено подтверждениеаналитических оценок, сделанных в предыдущем пункте (см. рисунок 4.15-16).!211]Рисунок 4.20 - Интенсивность отраженного разрыва при регулярном взаимодействиидогоняющих скачков.]Рисунок 4.21 - Области существования различных типов отраженного разрыва.Точное значение числа Маха, при котором появляется третья ветвь, ] M f2 =2.54. А приМ=МΔ=2.46 первая ветвь характеристической УВС касается линии J1=1, т.е. две ветвисливаются в одну (рисунок 4.22).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
