Диссертация (1145329), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Рассмотримразличные варианты решений на плоскости поляр при заданном М. Если построить поляру 1(М=М1) из начала координат, а поляру 2 (М=М2), отвечающую волне 2, из точки с координатами] { Λ1−2 , β1−2 } , то в точке пересечения поляр будут выполнены оба условия (6.6). Следовательно,точки пересечения указанных кривых отображают на плоскости сердцевидных кривыхматематическое решение задачи.!272]l - кривая, соответствующая предельному углу поворота на скачке, e - кривая, соответствующаяогибающей сердцевидных кривых; I - исходящий разрыв 2 - скачок уплотнения; II - исходящийразрыв 2 в зависимости от значения числа М2 -или скачок уплотнения, или волна разрежения;III - или скачок уплотнения, или волна разрежения.Рисунок 6.3 - Область существования решений.Как видно из рисунка 6.4, в точке распада разрыва возможно возникновение двухразличных ударно-волновых структур: с отраженным разрывом - скачком уплотнения иотраженным разрывом - волной разрежения.
Очевидно, что разделяет эти два случая структура,в которой исходящий разрыв 2 вырождается в разрывную характеристику. Ниже подробнорассмотрены оба случая.]Рисунок 6.4 - Два возможных случая распада произвольного разрыва на плоскости ударныхполяр.!2736.5 Случай, когда отраженный разрыв - скачок уплотненияПусть разрыв R1 является скачком уплотнения σ1. Тогда нужно определить областьсуществования решений для УВС, состоящих из двух скачков и тангенциального разрыва [312].‑Построим поляру, отвечающую скачку уплотнения σ2 и числу Маха М=М2, из начала координат{Λ = 0, β = 0} ,а поляру, отвечающую волне R1 (в данном случае скачок уплотнения σ1),построим из точки с координатами ] { Λ1−2 , β1−2 } . Тогда, точка пересечения поляр ("О" на рисунке6.5) будет соответствовать выполнению условий динамической совместности иматематическому решению задачи (на рисунок 6.5 слева).!1 - поляра, соответствующая скачку σ1; 2 - поляра, соответствующая скачку σ2; e1 - огибающаяполяр семейства 1, построенных при различных числах Маха М1; e2 - огибающая полярсемейства 2, построенных при различных числах Маха М2; М1е - предельное число Маха, прикотором поляра 1 имеет общие точки с огибающей e2 и решение задачи о распаде разрывасуществует; М2е - предельное число Маха, при котором поляра 2 имеет общие точки согибающей e1 и решение задачи о распаде разрыва существует; О - точка, соответствующаярешению.Рисунок 6.5 - Область существования решения с двумя исходящими скачкамиуплотнения при заданных угле взаимодействия потоков β1-2 и отношении давлений Λ1-2.Множество таких точек, построенное при заданных { Λ1−2 , β1−2 } для различных М1 и М2образует область существования решения.
Для того, чтобы её найти, нужно построитьогибающую е1 поляр 1 и огибающую е2 поляр 2 (рисунок 6.5). Любая точка "О" пересеченияполяр, лежащая внутри области, ограниченной двумя огибающими e1 и e2 (затонированаголубым цветом на рисунке 6.5), принадлежит области существования решений.Для заданного угла взаимодействия потоков β1-2 и заданного отношения давлений Λ1-2 вэтих потоках существуют два предельных числа Маха Μ1e и M2e, ограничивающих сверху!274область чисел Маха в потоках 1 и 2, в которой решение отсутствует. Очевидно, что онисоответствуют касанию поляры 1 с огибающей поляр e2 и, наоборот, касанию поляры 2,выпущенной из точки { Λ1−2 , β1−2 } с огибающей поляр e1.На рисунке 6.5 показаны две такие поляры M1e и M2e.
Таким образом, для чисел МахаМ1<М1е решение отсутствует при любых значениях М2. И наоборот, для чисел Маха М2<М2ерешение отсутствует при любых значениях М1. Условия М1>М1е и М2>М2е являютсянеобходимыми, но не достаточными для существования решения.Если угол β1-2 больше суммы максимально возможных для данного газа углов разворота наскачках 1, 2] β lim (γ ) = arctg1− ε,2 ε(6.16)то огибающие е1 и е2 не пересекаются ни при каких числах Маха и решение отсутствует.Уравнение (6.16) соответствует касанию огибающих е1 и е2.
В точках касания двух кривыхвыполняется условие равенства ординат и равенства нулю разности частных производных. Дляточки касания поляры 1 с огибающей e2 это приводит к системе уравненийJ1 = J1−2 J e ; J e = J 2 ;] β e (J1 ) = β1−2 + β 2 (M 2e , J 2 );∂β e (J1 ) ∂β 2 (M 2 , J 2 )−=0∂Λ1∂Λ 2]∂β e (J1 )J1 (1− ε ),=∂Λ1(J1 + 1) (J1 + ε )(1+ ε J1 )∂β 2 (M 2 , J 2 )χ=∂Λ 22γ J(6.17)(6.18)ε×A(J + ε )B + A(1+ ε ),µ (J + ε ) − J(1+ ε J )(1− ε )A = µ (1+ ε ) − (1+ ε J ),]×(6.19)B = A(J + ε ) − ε (1+ ε J )(J − 1); µ = 1+ ε (M 2 − 1).Для поляры 2 и огибающей e1 точка касания находится аналогично, только индексы 1 ввыражениях для всех производных нужно поменять на 2. Пусть теперь число Маха М2>М2е, ирешение возможно.!275Найдем диапазон чисел Маха М1, при котором задача имеет решение.
При небольшихчислах Маха поляры 1 и 2 не пересекаются (рисунок 6.6) и решение отсутствует.]Рисунок 6.6 - Картина решения на плоскости поляр при различных числах Маха.М1<Μ1t<M2<M2t.По мере увеличения числа Маха наступает момент, когда поляры 1 и 2 касаются в точке(M1=M1t). При дальнейшем увеличении М кривые пересекаются в двух точках, нижняясоответствует физически реализуемому решению. Далее с ростом М1 две точки пересечениясливаются в одну (M1=M2t) и при M1>M2t поляры больше уже не пересекаются. Диапазон (M1t,M2t) является областью существования решения задачи об интерференции плоскихсверхзвуковых потоков. Аналогично определяется диапазон (M1t, M2t) для числа М2 (рисунок6.6).Очевидно, что если для заданного γ угол взаимодействия ] β1−2 больше предельного углаβlim, вычисляемого по формуле (6.16), то поляра 2 никогда не пересекается с осью ординат ичисло Маха M2t всегда существует.
И наоборот, если β1−2 меньше предельного для заданного γугла βlim, то существует такое число Маха Μl, при котором поляра 2 касается оси ординат. Вданном случае, M2t → ∞ , а при M2>Ml решение существует при любых М1. Число Mlопределяется по формуле] Ml =1(J 2 + 2ε + 1)((J 2 − 1)2 + 2(J 2 + ε )) .J 2 + 2ε + 1(6.20)Особые числа M1t, M2t определяются из системы уравнений, отвечающих условию касаниядвух поляр, которая имеет два решения, соответствующих M1t, M2t!276J1 = J1−2 J 2 ,] β1 (M 1 , J1 ) − β 2 (M 2 , J 2 ),∂β1 (M 1 , J1 ) ∂β 2 (M 2 , J 2 )−.∂Λ1∂Λ 2(6.21)Частные производные в (6.21) вычисляются с помощью формул (6.19) с подстановкойсоответствующих величин J1, J2, β1, β2.Результаты анализа приведены на рисунке 6.7.Основная сложность в отыскании областей существования решения заключается в решениидвух нелинейных систем уравнений (6.17) - (6.19) и (6.21).Если заранее известно, что взаимодействие регулярное, то задача упрощается, т.к.характер изменения переменных - монотонный и система уравнений решается любымстандартным численным методом, например, методом касательных.!!!!Рисунок 6.7 - Области существования решения для задачи распада произвольного разрыва собразованием двух исходящих скачков уплотнения.!2776.6 Случай, когда отраженный разрыв - волна разреженияКак было сказано выше, на плоскости всех возможных решений (рисунок 6.3) существуютдве области II и III, в которых отраженный разрыв может быть волной разрежения, причем, типотраженного разрыва необходимо еще определить, т.к.
он может быть и скачком уплотнения.Рассмотрим алгоритм нахождения решения в области II.Решению задачи с отраженнымискачком и волной разрежения соответствует пересечение ударной поляры 1, выпущенной изначала координат, с полярой разрежения, выпущенной из точки 1-2 (рисунок 6.8 - а). Видно, чтоэтому могут соответствовать две различные поляры, т.к. и при небольших числах М1, и прибольших М2 ударные поляры (показаны на рисунке 6.8 - б пунктиром) не могут пересекаться сполярой волны разрежения, следовательно, область существования решения должна бытьограничена сверху и снизу двумя разными числами Маха Мmin и Mmax. Это может произойти втом случае, если ударные поляры, построенные для Мmin и Mmax пересекаются в точке 1-2.!!а)б)а) решение на плоскости поляр, при котором отраженный разрыв может быть скачкомуплотнения или волной разрежения, б) к определению граничных чисел Маха Мmin и Mmax,между которыми возможно существование решения с отраженным разрывом - волнойразрежения.Рисунок 6.8 - Определение граничных чисел Маха {Мmin, Mmax}, при которых в областиII разрыв 1 является волной разрежения.Найдем эти граничные числа Маха.
Если воспользоваться известными соотношениями дляинтенсивности ударной поляры J, числа Маха и угла поворота потока β!278] J = (1+ ε )M 2 sin 2 σ − ε ,] tgβ = ctgσ(1− ε )(J − 1),J m + ε − (1− ε )(J − 1)(6.22)то, полагая в (6.22) числа Маха равными Mmin и Mmax, приравнивая значения интенсивностей,получим следующее уравнение()(1− ε )(J1−2 − 1)1+ a ± a 2 − b ,1+ ε](1− ε )(J1−2 − 1)1+ ε Ja=,b =.2tgβ (J1−2 + ε )tgβ1−2 (J1−2 + ε )M2 =(6.23)Решая получившееся квадратное уравнение относительно M, получаем два корня, Mmin и Mmax.Область, ограниченная прямыми М1= Mmin и М2=Mmax, соответствует области существованиярешения с исходящими скачком и волной разрежения (рисунок 6.9).!(σ - σ) - исходящие разрывы - скачки уплотнения, (ω - σ) - решение с исходящими волнойразрежения и скачком уплотнения.Рисунок 6.9 - Область существования решения с исходящим скачком уплотнения и волнойразрежения (темная область).При β] 1−2 = βl (J1−2 , γ 2 )кривая, ограничивающая область существования решения,соответствующая ] J lmin = J 2l вырождается в прямую ]M 2 = M 2l = M 2 min .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
