Диссертация (1145329), страница 44
Текст из файла (страница 44)
В качестве эталонарешение, полученное на подробной сетке (порядкаиспользуется численноенескольких тысяч узлов). Приводятсярезультаты расчетов на сходимость для нескольких разностных схем. Продемонстрировано, чтодля достижения удовлетворительной сходимости необходимо вводить кусочнополиномиальную реконструкцию решения. Этот вывод подтверждается результатами работы[296], в которой рассматривается распространение ударной волны в среде с синусоидальным‑возмущением плотности. Эта задача моделирует взаимодействиеударной волны стурбулентным течением. Считается, что возмущения газодинамических разрывов, вносимыетурбулентностью, носят гармонический характер.Перечисленные выше работы демонстрируют, что задача создания стандартногонадежного численного метода расчета течений с сильными газодинамическими разрывами ещеочень далека от решения.
Требуется тщательное тестирование разнообразных разностных схемна модельных задачах, для которых известно точное решение.!2666.2 История изучения задачи о распаде разрыва и основные понятияНапомним основные понятия и терминологию. Газодинамический разрыв нулевогопорядка - область резкого, скачкообразного изменения газодинамических переменных.Нестационарный разрыв, через который происходит перетекание потока, принято называтьударной волной, стационарный - скачком уплотнения. Существуют разрывы, через которые газне протекает, а давление по его сторонам одинаковое, плотность же и некоторые другиепараметры могут отличаться.
Такой разрыв называется тангенциальным (линия скольжения),если его поверхность параллельна векторам скорости по его сторонам. В остальных случаях онназывается контактным. Простая волна - область плавного изменения параметров,ограниченная с двух сторон разрывами первого порядка, на которых скачком изменяютсяпервые производные газодинамических разрывов.Если в пространстве-времени возник по какой-то причине разрыв параметров, то приизменении одного из параметров, например, времени или пространственной координаты,происходит его трансформация (распад) в ударно-волновую структуру, состоящую изнескольких волн и разрывов.
При этом с кинематической точки зрения временные ипространственные координаты абсолютно равноправны и нет никакой разницы между распадомодномерного нестационарного и двумерного стационарного разрыва. При взаимодействиистационарных газодинамических разрывов также возникают задачи о распаде произвольногоразрыва. Примером может служить случай столкновения под некоторым углом двухсверхзвуковых потоков газа [ 297, 298] с разными параметрами состояния.‑‑В 1926 году Н.Е. Кочиным было выполнено общее исследование задачи о распадепроизвольного разрыва [299] для политропных газов.
Более полное исследование данной задачи‑в 1946-1953 гг. было проведено Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшицем [300], а в современных терминах‑Т.А. Кобзевой и Н.Я. Моисеевым [301], В.Н. Усковым [ 302], O.Igra [303]. На основе решений‑‑‑задачи Римана С.К. Годуновым был развит численный метод [304, 305 ] решения‑‑гиперболических систем уравнений [306]. Несмотря на то, что метод известен уже давно, его‑положительные качества - явное определение вида исходящих разрывов, в том числе, и нанеструктурированных сетках [307] - привлекают к нему внимание и метод продолжает активно‑совершенствоваться [308 ].‑Задача о распаде произвольного разрыва играет важную роль в современной газовойдинамике, позволяет выполнять классификацию УВС и решать конкретные задачи, например,при анализе течения в окрестности кромки сопла [309] и во многих других практически важных‑!267случаях.
В.Н.Усков с помощью метода анализа распада произвольного разрыва последовательнорешил следующие задачи:- регулярное отражение скачка и ударной волны от стенки;- интерференция встречных и догоняющих скачков;- рефракция скачка уплотнения на тангенциальном разрыве;- рефракция одномерной ударной волны на контактном разрыве.И наконец, в 1990 г. В.Н.Усковым совместно с А.Л.Старых было выполнено комплексноеисследование областей существования различных решений общего уравнения интерференцииГДР [310].‑6.3 Математическая модель распада произвольного разрываЗадача о расчете любой ударно-волновой структуры сводится к определениюхарактеристик исходящих разрывов по известным параметрам течения в областях f и g передними (рисунок 6.1), а также определению типов исходящих разрывов [311 ].
Ниже данная задача‑решается в наиболее общей постановке. Рассматриваются все возможные случаи и допустимыевиды УВС. Задача о расчете любой ударно-волновой структуры сводится к определениюхарактеристик исходящих разрывов по известным параметрам течения в областях f и g передними.]Рисунок 6.1 - Схемы распада произвольного стационарного разрыва.!268Расчет взаимодействия произвольных сверхзвуковых потоков f и g, с заданнымигазодинамическими функциями ]Φ i строится на основе выполнения условий динамическойсовместности на тангенциальном разрыве ] τˆ , разделяющем исходящие разрывы (УДС-] τˆ ):] p̂ f = p̂g , ] θˆ f = θˆg .(6.1)Произвольный разрыв, характеризующий различие газодинамических функций в областяхf и g, можно определить двумя параметрами.] J 0 = pg / p f , ] β 0 = θ g − θ f ,(6.2)которые являются известными или заданными величинами.
УДС-] τˆ выполняются, если] J g = J0 / J f , ] βg = β f − β0 ,(6.3)!!!где ] β g и β] f - углы поворота потока на исходящих разрывах. Разности ] ⎡⎣ Φ i ⎤⎦ = Φ if − Φ igхарактеризуют различие параметров в областях f и g.Если ]⎡⎣ Φ i ⎤⎦ ≠ 0 , то возникает газодинамический разрыв нулевого порядка и решение!любой из задач об интерференции разрывов сводится к задаче о распаде произвольногостационарного разрыва.Разрыв нулевого порядка может быть изображен в виде вектора (рисунок 6.1),отложенного из начала координат в точку с координатами] { Λ = ln J; β } .
Это позволяет первое изуравнений (6.2) записать как сумму Λ] 0 = Λ g + Λ f , а решение обобщенного уравненияинтерференции представить в виде векторов ] rf = r0 + rg (рисунок 6.1). Рассмотрим столкновениепод некоторым углом β 1-2 двух сверхзвуковых потоков газа, имеющих различныетермодинамические переменные: давление Р и скорость u (рисунок 6.2). Пусть дляопределенности p1 ≥ p2 , тогда исходящий разрыв R1 в зависимости от соотношения величинp1u1, p2u2 может быть или волной разрежения или скачком уплотнения.
Другой разрыв σ2 всегда скачок уплотнения. Понятно, что ничто не мешает поменять исходящие разрывы R1 и σ2местами и ввести обозначение R2 и σ1, считая что p1 ≤ p2 . Важно уметь однозначно определятьобласти существования ударно-волновых структур (УВС) различных типов и строитьэффективные алгоритмы решения этой важной задачи.!269]u1,2 - скорость, p1,2 - давление, β1-2 - угол между потоками 1 и 2, σ2, - исходящий скачокуплотнения, τ - тангенциальный разрыв.Рисунок 6.2 - Интерференция двух плоских сверхзвуковых потоков.Задача о распаде произвольного стационарного разрыва ставится следующим образом: позаданным значениям газодинамических переменных до разрывов 1 и 2 определитьгазодинамические параметры за этими разрывами.
Решение данной задачи строится на основевыполнения традиционных условий динамической совместности на тангенциальном разрыве τ,заключающихся в равенстве статических давлений и коллинеарности векторов скоростей посторонам τ:] p̂1 = p̂2 , ] β1−2 − β1 = β 2 .Здесь ] p̂1 и ] p̂2 - давления за разрывами 1 и 2, ]β1 и β] 2(6.4)- углы поворота потока. Дляопределенности будем считать, что статическое давление p1 передR1больше или равностатическому давлению p2 перед σ2. Вводя интенсивность взаимодействия J1−2 , а такжеинтенсивности ] J1 и ] J 2 разрывов 1 и 2:] J1−2 =p1p̂2p̂, ] J1 = 1 , ] J 2 =,p2p1p2(6.5)условия (6.4) можно переписать в виде] J1 J1−2 = J 2 , ] β 0 − β f = β g ,(6.6)при этом ] J1−2 ≥ 1 .
На скачке уплотнения зависимость ] β (J ) имеет вид⎡ (1+ ε )M 2 − (J + ε )⎤(1− ε )(J − 1)⎥.J +ε(1+ ε )M 2 − (1− ε )(J − 1) ⎥⎦⎢⎣] β (J ) = arctg ⎢(6.7)!270На изоэнтропной волне разрежения угол поворота потока рассчитывается по формуле] β = ω (M ) − ω (M 1 ) .(6.8)Здесь ] ω (M ) - функция Прандтля-Майера⎛ γ +1 2⎞γ +1arctg ⎜(M − 1) ⎟ − arctg M 2 − 1 ,γ −1⎝ γ −1⎠] ω (M ) =(6.9)где М и М1 числа Маха до и за волной, ε = (γ − 1) / (γ + 1) , γ - показатель адиабаты.Связь чисел Маха М и М1 устанавливается с помощью общего для изоэнтропных и ударныхволн соотношения] µ / µ1 = JE ,где] µ = 1+ ε (M 2 − 1) ,] E = ρ / ρ1 .(6.10)Значения E и J связаны адиабатами Рэнкина-Гюгонио наударных волнах (ED) и Лапласа-Пуассона на изоэнтропных волнах (ER):] E D = (1+ ε J ) / (J + ε ) , ] E R = J −1/γ .(6.11)Следовательно, значение M1 в (6.8) выражается с учетом (6.10), (6.11) через интенсивность Jволны по формуле ] µ1 = µ J −1/η , где ] (η = (1+ ε ) / 2ε ) .Таким образом, (6.6) представляет собой систему из двух уравнений относительно двухнеизвестных:] J1 и ] J 2 .
Так как интенсивности ] J1 и ] J 2 связаны зависимостью ] J 2 = J1−2 J1 ,систему (6.6) можно свести к одному уравнению относительно интенсивности ] J ≡ J 2 :] β 2 ( J, M 2 , γ 1 ) = − β1 ( J / J1−2 , M 1, γ 1 ) + β1−2 .(6.12)Зная интенсивность волны, можно по известным значениям газодинамических переменных доволны определить любые газодинамические параметры за ней.6.4 Определение областей существования решенияАнализ решения системы (6.12) удобно производить на плоскости сердцевидных кривых] Λ = ln J(β ) , которые также называются ударными полярами. Каждая такая кривая имеетвершину в точке, соответствующей максимальной интенсивности скачка J] m = (1+ ε )M 2 − ε .!271Принято также выделять две точки важные для анализа области существования решений ораспаде разрыва. Первая из них - интенсивность ] J l , отвечающая максимальному углу поворотапотока на одиночном скачке уплотнения] Jl =⎛ M2 −2⎞M2 −2+ ⎜+ (1+ 2ε )(M 2 − 1) + 2 ⎟ .2⎝ 2⎠(6.13)Угол поворота потока на скачке с интенсивностью ] J l определяется из соотношения⎛ ⎛ 1− El ⎞ (1− El ) ⎞] β l (J l ) = arctg ⎜ ⎜⎟⎟.⎝ ⎝ 1− ε ⎠ 2 El ⎠(6.14)где El=ED(Jl) - выражение адиабаты Рэнкина - Гюгонио.Вторая особая точка на ударной поляре связана с понятием огибающей сердцевидныхкривых, ограничивающей на плоскости Λ] −βобласть существования одиночного скачкауплотнения.
Огибающая находится из условия]⎛ 1− Ee ⎞∂β= 0 , ] J e = M 2 − 1 , ] β e (J ) = arctg ⎜⎟,∂M⎝ 2 Ee ⎠(6.15)где Ee=ED(Je) - выражение адиабаты Рэнкина - Гюгонио (6.11). Из уравнений (6.15) видно, чтоогибающая существует только для ] Μ ≥ 2 .Кривые Jl - βl (Μ) и Je - βe (Μ) разбивают первый квадрант плоскости Λ - β на триподобласти (I, II, III на рисунке 6.3), в которых исходящий разрыв 2 является скачком (I), и, взависимости от числа Маха М2 - либо скачком, либо волной разряжения (II, III).Таким образом, анализ областей существования разных ударно-волновых структур,возникающих при распаде разрыва в точке взаимодействия под заданным углом двух плоскихсверхзвуковых потоков, состоит в построении на плоскости ударных поляр Λ - β кривых Λl - βl,Λe - βe и нахождении особого числа Маха, делящего область II на две подобласти.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
