Диссертация (1145329), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Этому соответствуетслучай, когда точка 1-2 лежит на предельной прямой J2=J2l. После того, как граничные числаМаха Mmin и Mmax определены, можно найти решения для случая пересечения конкретнойударной поляры, соответствующей числу Маха М2 и поляры разрежения, соответствующейчислу Маха М1. Этому соответствует пересечение поляр, что выражается уравнением!279] β1−2 − ( βl (M 2 , J ) + β1 (M 1 , J / J1−2 )) = 0 ,(6.24)где J=J2l(M2). Соотношение (6.24) представляет собой неявное уравнение, связывающее M1 иМ2.
Задавая М2, можно получить функцию М1=М1(М2).Областям, закрашенным на рисунке 6.9 голубым тоном (σ - σ), соответствует решение сдвумя исходящими скачками уплотнения. Серая область (ω - σ) - решение с исходящими волнойразрежения или скачком уплотнения.Рассмотрим теперь решение в области ΙΙΙ (рисунок 6.3). В этой области отраженныйразрыв также может быть или волной разрежения, или скачком уплотнения, но областисуществования соответствующих решений существенно отличаются от рассмотренного вышеслучая. Через каждую точку данной области, как и в предыдущем случае, проходит две ударныеполяры.
Однако, в области III ударная поляра, соответствующая меньшему числу Маха М2,проходит через заданную точку сильной ветвью, а поляра, соответствующая большему числуМаха слабой (рисунок 6.10). Из этого следует вывод, что поляра, соответствующая меньшемучислу Маха М2, может касаться выпущенной из точки 1-2 поляры σ1. Возможно касание иучастком поляры ω1, т.е. полярой разрежения. Таким образом, область ΙΙΙ распадается на двеподобласти: с двумя исходящими скачками, с исходящим скачком и волной разрежения.Очевидно, что смена одного вида отраженного разрыва на другой происходит при J1=1.!Рисунок 6.10 - Определение граничных чисел Маха {Мmin, Mmax}, при которых в областиIIΙ разрыв 1 является волной разрежения, а также линии Tl, разделяющей решения сволной разрежения и скачком уплотнения.!280Найдем линию на плоскости Λ - β, отвечающую условию смены типа отраженногоразрыва.
Условие касания поляр выражается системой уравненийJ1 = J1−2 J 2 ,] β1 (M 1 , J1 ) − β 2 (M 2 , J 2 ),∂β1 (M 1 , J1 ) ∂β 2 (M 2 , J 2 )−.∂Λ1∂Λ 2(6.25)Частные производные в (6.25) вычисляются по формулам∂β 2 (M 2 , J 2 )χ=∂Λ 22γ Jε×A(J + ε )B + A(1+ ε ),µ (J + ε ) − J(1+ ε J )(1− ε )A = µ (1+ ε ) − (1+ ε J ),]×(6.26)B = A(J + ε ) − ε (1+ ε J )(J − 1); µ = 1+ ε (M 2 − 1).При J1=1 система (6.25) - (6.26) сводится к кубическому относительно x=(М2)2 уравнениюA0+А1 x+A2 x2+A3 x3=0, гдеA3 = −(1− ε )(J1−2 + ε )3 ,A2 = ( (1+ ε ) + (J1−2 + ε )) J1−2 2 (1+ ε )2 + 2(1− ε 2 )(J1−2 2 − 1)(J1−2 + ε )2 + (J1−2 + ε )4 ,2()] A1 = −2(1+ ε )2 J1−2 2 ( (1+ ε ) + (J1−2 + ε )) (J1−2 2 − 1) + 2(J1−2 + ε ) −−(1− ε )(J1−2 2 − 1)(J1−2 + ε ) ( 3(J1−2 + ε )2 − (1+ ε J1−2 ) ,(6.27)2A0 = ( (J1−2 2 − 1) + 2(J1−2 + ε )) J1−2 2 (1+ ε )2 + (J1−2 + ε )2 (1− ε )2 (J1−2 2 − 1)2 .2Задавая J1-2, из уравнения (6.27), находится M2, затем из (6.22) угол разворота потока β.Изменяя J1-2 в пределах {1-∞}, получим линию смены типа решений на плоскости Λ - β, котораяразделяет подобласти с различными типами исходящего разрыва 1.
В подобласти, заключенноймежду линией смены решений и линией l, при числах Маха < М1max, возможны (рисунок 6.10a) как два исходящих скачка (σ - σ), так и скачок плюс волна разрежения (ω - σ).В подобласти, лежащей выше линии смены решений (рисунок 6.11-б), возможно толькоодно решение - скачок и волна разрежения. При числах М > М1max всегда имеет место решение сдвумя исходящими скачками (σ - σ).
Приближенные методы решения задачи о распадепроизвольного разрыва позволяют находить решение за один итерационный шаг, но принебольших числах Маха "теряют" часть решений, соответствующих исходящим скачку!281уплотнения и волне разрежения. На рисунке 6.11-a этому соответствует областьМ1⊂{M1e,M1max}.]]a)б)а - области существование решений с различными типами исходящих разрывов для участкаплоскости Λ-β, заключенной между линией смены типа решения и линий l; б - областисуществования решений с различными типами исходящих разрывов для участка плоскости Λ-β,лежащей выше линией смены типа решенияРисунок 6.11 - Область существования решения с исходящим скачком уплотнения иволной разрежения (темная область).6.7 Численный метод ГодуноваБольшое внимание к теории распада произвольного разрыва было привлечено в результатеразвития численных методов типа Годунова, в которых в качестве разрыва рассматриваетсяскачок параметров на границе разностных ячеек.
Выше получены точные решения, сведенные ксистеме трансцендентных уравнений, решаемых итерационными методами. В ряде случаевнеобходимо существенное сокращение времени расчетов. Следовательно, актуальнымиявляются и приближенные решения типа разностной схемы Ошера-Соломона [313 ],‑использующие тот факт, что вдали от ударных волн разрывы на границе ячеек, как правило,слабые. Как известно, изоэнтропическая поляра сжатия и ударная поляра при интенсивностиравной единице в общем случае имеют второй порядок касания, что позволяет получитьпростое и однозначное приближенное аналитическое решение для параметров течения заисходящими разрывами. Особенно большой выигрыш в скорости вычислений приближенныерешения дают в случае численных методов повышенного порядка точности [ 314].‑!282Таким образом, задача исследования распада произвольного разрыва остается актуальнойкак в точной, так и в приближенной постановке.
Важно знать границы применимостиприближенных методов решения. Ниже приводится сравнение результатов расчетов,полученных численными методами в точной и приближенной постановке. Также приводитсяпрямой расчет погрешности приближенного решения Ошера-Соломона, использующего модельизоэнтропических волн сжатия.6.7.1 Формулировка задачи в одномерном нестационарном случаеРассмотрим случай нестационарного одномерного течения. Понятно, что приведенныениже соотношения справедливы и для стационарного плоского случая, только роль времени tиграет продольная координата x.
Используя понятие безразмерной скоростной функцииинтенсивности волны, можно записать универсальное выражение для нахождения скоростипотока газа за бегущей волной:] û = u0 + χ W a0UW (J ) .(6.28)Здесь u0 – скорость невозмущенной среды, a0 – скорость звука в невозмущенной среде, χw – показатель направления движения волны, Uw – скорость фронта волны; J-интенсивность разрыва,равная отношению давлений за разрывом и до него.
Для волн, сонаправленных исходному потоку газа, χw=1 , а для встречных и дрейфующих волн χw= -1. Скоростная функция для ударныхволн имеет вид] U D (J ) =1− ε J − 1,1+ ε J + ε(6.29)Для волн Римана (сжатия и разрежения) соотношение, определяющее скоростную функцию,следует из условия изоэнтропности среды:] U R (J ) =1− ε 1/k( J − 1), k = 2γ / (γ − 1) .ε(6.30)Если в результате распада произвольного разрыва образуются центрированная волнаразрежения Римана, движущаяся в область 1, и ударная волна, бегущая в область 4 (см. рис.6.12 - а), то условия на контактном разрыве запишутся в виде] u1 − a1U R (J1 , ε1 ) = u4 + a4U(J 2 , ε 2 ) .(6.31)!283а)б)!Рисунок 6.12 - Задача Римана распада произвольного разрыва, когда исходящими разрывамиявляются волна разрежения R и ударная волна D, разделенные контактным разрывом С (а),две ударные волны (б). p – давление, p1 – давление до разрыва, p2 – давление за разрывом, t – времяЕсли, наоборот, волна разрежения распространяется по области 4, а ударная волна бежит вобласть 1, то условие равенства скоростей на контактном разрыве запишется в виде] u1 − a1U D (J1 , ε1 ) = u4 + a4U R (J 2 , ε 2 ) .(6.32)Пусть из точки разрыва исходят две ударные волны (см.
рис. 6.12-б). Тогда условиеравенства скоростей на контактном разрыве можно записать следующим образом:] u1 − a1U D (J1 , ε1 ) = u4 + a4U D (J 2 , ε 2 ) .(6.33)Теоретически также возможны и две ударно-волновые конфигурации с исходящимиволнами Римана (рисунок 6.13). На первый взгляд, этого не может быть. И в случае сходящихсясверхзвуковых потоков это действительно так. Но могут существовать течения, в которыхпроисходит растекание сверхзвуковых потоков, например, при вдуве газа в поток черезпористую поверхность обратного клина (рисунок 6.14-а), когда две волны разрежения ω1 и ω2разделены тангенциальным разрывом τ.
Может также существовать особенность течения на осисверхзвуковой недорасширенной струи в точке отражения первой разрывной характеристики ν1от оси симметрии (рисунок 6.14-б), сразу за которой имеют место две волны Прандтля - Майераω1 и ω2, разделенные областью течения, подобной течению от источника R, а контактного(тангенциального) разрыва нет.!284а)б)]Рисунок 6.13 - Задача Римана распада произвольного разрыва с исходящими волнами волнами Риманна. а) - случай с контактным разрывом, б) - разбегание волна Римана собразованием между ними зоны вакуума.Сопоставление одномерного нестационарного и двухмерного стационарного волновыхфронтов приведено на врезке справа внизу.
Стрелками показано перемещение одномерныхволновых фронтов. Круглыми черными метками отмечены концевые точки.]а)б)Рисунок 6.14 - Примеры течений, соответствующих задаче Римана с исходящими волнамиразрежения и образованием области вакуума между ними. а) - случай вдува газа черезстороны клина, б) - отражение волны разрежения от оси симметрии.Система уравнений, включающая условие равенства статических давлений по сторонамразрывов и одно из уравнений (6.31)-(6.33), в зависимости от типов исходящих волн, являетсязамкнутой относительно интенсивностей исходящих волн и решается численно.!2856.7.2 Разностная схема Годунова [315 ]‑Условия равенства скоростей и давлений потоков на сторонах контактного разрыва ] u1 = u2 ,! !!!] p1 = p2 связывают интенсивности волн ] D1 (] R1 ) и ] D2 (] R2 ) с перепадами ] [u]1 и ] [u]2 скоростипотока на их сторонах.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
