Диссертация (1145329), страница 50
Текст из файла (страница 50)
В задаче формируются две ударные волны, движущиеся с различной скоростью, иконтактный разрыв, движущийся вправо. Решение задачи приводится на рисунке 6.31 в моментвремени t=0.035. Разделительная перегородка находится при x0=0.4. Для этой задачи характерномалое время протекания рассчитываемого процесса. Численное решение задачи практически независит от величины искусственной теплопроводности.!30740ρа)u20б)30p2000в)1500102010000105000020.5x1Mг)-1000.51xs400x1h500д)0.5е)4001322300200-1-2010.5x1010000.51x000.5x1а) плотность, б) давление, в) давление, г) число Маха, д) энтропия, е) энтальпия.Рисунок 6.31 - Решение задачи о расходящихся ударных волнах.В задаче Ноха, сформулированной в работе [329 ] (отношение удельных теплоемкостей‑равняется γ=5/3), течение представляет собой столкновение двух гиперзвуковых потоковхолодного плотного газа, которое приводит к образованию двух расходящихся сильных ударныхволн, между которыми остается неподвижный газ с постоянными плотностью и давлением.Согласно начальным условиям задачи, скорость звука составляет 0.0013, а скоростьраспространения ударной волны равняется 1, что дает число Маха, равное 770.
Для избежанияделения на ноль нулевые значения давления слева и справа от разделительной перегородкизаменяются бесконечно малыми величинами (порядка 10-6). Решение задачи приводится нарисунке 6.32 в момент времени t=1. В центре расчетной области образуется провал плотности, атакже скачок температуры и внутренней энергии. Во всей области течения, за исключениемфронтов ударных волн, скорость и градиент давления равняются нулю (u=0 и dp/dx=0), поэтомурегуляризирующие добавки обращаются в ноль и не разглаживают образовавшиеся возмущенияплотности и температуры.!3084ρа)u1б)1.5pв)31020.51008000.51xMг)-100.51xs0001xh1д)0.5е)0.8-50.600.4-100.2-800010.5x-1500.5x1000.5x1а) плотность, б) давление, в) давление, г) число Маха, д) энтропия, е) энтальпия.Рисунок 6.32 - Решение задачи Ноха.Модифицированная задача Ноха формулируется похожим образом и представляет собойзадачу о столкновении двух потоков (stream collision problem).
Формируются две ударныеволны, движущиеся навстречу, и контактный разрыв между ними (на контактной разрыве нетизменения плотности и внутренней энергии). Решение задачи приводится на рисунке 6.33 вмомент времени t=0.52.В отличие от стандартной задачи Ноха, возникающие ударные волны оказываются болееслабыми. Как и в предыдущей задаче, при решении модифицированной задачи Ноха многиеразностные схемы дают заниженную плотность и завышенную температуру (внутреннюю[0, 1]энергию) в центре расчетного интервала (вблизи начального разрыва). Такая проблема (overheating problem) имеет место при моделировании отражения ударнойволныx1 =0.1 отxстенки.2 = 0.9РядLразностных схем приводит к нефизичным осцилляциям численного решения и нарушениюMRсимметрии в профиле плотности.(pL , pM , pR ) = (103 , 10−2 , 102 )!309ρ4а)2up6б)в)342021000.51x5M-200г)0.51xs004.5д)-0.54-13.5-1.53-22.50.51xhе)0-500.5x1-2.500.5x1200.5x1а) плотность, б) давление, в) давление, г) число Маха, д) энтропия, е) энтальпия.Рисунок 6.33 - Решение модифицированной задачи Ноха.6.10 Комплексные задачи для тестирования численных алгоритмовДля иллюстрации качества численного решения широкое применение находят тестовыезадачи типа распада разрыва, в которых присутствуют стационарные (бегущие с постояннойскоростью) ударные волны (одна или две) и центрированная волна разрежения.
Существеннонестационарные ударные волны, например, замедляющиеся ударные волны с быстроуменьшающимся давлением за фронтомударные волны, возникающие приударной волны (таковыми являются расходящиесявзрыве в воздухе), плохо описываются численнымиметодами, отработанными на тестовых задачах типа распада разрыва.6.10.1 Краткий обзор комплексных тестовых задачДля тестирования программных средств, предназначенных для моделирования течений снестационарными ударными волнами, широкое применение находят задачи, сформулированныев работах [171] и [330].
Задача Вудворда - Колелла (Woodward - Collela problem) или задача о‑!310взаимодействии двух разрывов (blast wave problem), сформулированная в работе [171],представляет собой задачу о взаимодействии двух волн, образующихся в результате распададвух разрывов типа Римана. Для этой задачи не существует точного решения. В качествеэталонного принимается решение [167], полученное при помощи метода кусочнопараболической реконструкции на сетке, содержащей 2000 ячеек. В работе [331] задача‑используется в качестве теста для алгоритмов решения уравнений Эйлера на сетках,динамически адаптирующихся к решению.Задача Шу - Ошера (Shu - Osher problem) или задача о взаимодействии ударной волны иволны энтропии (shock entropy wave interaction problem), сформулированная в работе [212],используется для исследования поведения вычислительной процедуры при описаниивзаимодействия гладкого решения с ударной волной (взаимодействие ударной волны,движущейся с числом Маха, равным 3, с малым возмущением энтропии).
Задача не имеетточного решения. В качестве эталонного принимается решение [167], полученное при помощиметода WENO на сетке, содержащей 2000 ячеек. В работе [332] задача применяется для‑демонстрации возможностей разностных схем повышенного порядка точности. В ряде работ наэтом же примере демонстрируются свойства схем, предназначенных для расчетов турбулентныхтечений в рамках метода моделирования крупных вихрей.6.10.2 Задача Вудворда Колелла об интерференции волн и разрывовЗадача Вудварда - Колелла описывает взаимодействие двух ударных волн, движущихсянавстречу друг другу, возникших в результате распада двух произвольных разрывов.
Численноерешение задачи ищется на интервале [0,1]. Во всей расчетной области задается плотность,равная 1, и скорость, равная 0. В начальный момент имеются разрывы давления в точках x1=0.1и x2=0.9. Начальные значения давления в трех соответствующих областях (левой L, средней M иправой R) равняются (pL, pM, pR) = (103, 10-2, 102). В качестве граничных условий используютсяусловия отражения. Интегрирование проводится на сетке, содержащей 1000 ячеек, до моментавремени 0.038. В этой задаче чувствительными характеристиками являются распределенияплотности, температуры и внутренней энергии. Схему распада произвольных разрывов в задачеВудварда - Колелла в начальный момент времени демонстрирует рисунок 6.34 (приводятсясхематические распределения давления и температуры).
Стрелки указывают направлениядвижения фронтов ударных волн, волн разрежения и контактных разрывов. В результатерешения задачи о распаде произвольного разрыва в точках разрывов появятся волныразрежения, контактные разрывы и ударные волны.!311pКонтактныеразрывыTВеера волнразреженияУдарныеволны0.10.9xРисунок 6.34 - Схема распада произвольных разрывов в задаче Вудворда - Колелла.Распад произвольного разрыва приводит к формированию сложной ударно-волновойкартины течения, в эволюции которой выделяются следующие стадии. На стадии 1 происходитраспад двух произвольных разрывов неподалеку от внешних границ расчетной области ивозникновение на местах распадов контактных разрывов, от которых по направлению квнешним границам отходят волны разрежения, а навстречу друг другу распространяются двеударные волны различной интенсивности.
На стадии 2 наблюдается столкновение ударныхt = 0.016волн, в результате чего образуется контактный разрыв с отходящими от него ударнымиволнами. На стадии 3 имеет место прохождение одной из ударных волн контактного разрыва,вследствие чего в сторону (противоположную направлению распространения ударной волны)от контактной границы отходит волна разрежения.Решения задачи приводится на рисунках 6.35-6.36 в различные моменты времени.
Тонкиеt = 0.026линии показывают эталонной решение задачи на подробной сетке [171], а утолщенные линии -t=численное решение задачипри0.032помощи разработанной вычислительной процедуры. Моментt = 0.038времени t=0.016 соответствует моменту времени, когда левая волна разрежения отражается отвнешней границы и подходит к левой ударной волне, в то время как правая волна разрежениялишь подходит к противоположной внешней границе. Дальнейшее распространение ударныхволн навстречу друг другу приводит к еще большему разрежению в областях между ударнымиволнами и внешними границами.t = 0.0281246ρu618а)24 ρа) 06024002!312б)120u0.20.20.40.40.6x0.6x0.818-660120а)10.80.24б) 61118-60120.40.6x0.8а)ρг) 3000.20.40.40.6x0.6x0.80.40.6x0.21а)118-6012а)1860.80.40.6xб)0.40.6x0.80.8б)10.20.40.6x0.81t = 0.0260.20.40.6x0.8б)1t = 0.026uб)120u0.20.4x0.60.818-660120а)10.20.4x0.20.4x0.60.8115-66010015-600.20.4x0.60.80.20.4x0.4xx0.6= 0.80.591xб)10.60.8б)x = 0.590.20.4x0.60.81t = 0.028= -50.8000.20.4x0.60.81x = 0.80Рисунок 6.35 - Решение задачи Вудворда - Колелла.ρux = 0.59 а) x = 150.801510105501t = 0.02800.20.8t = 0.028uа)0.6а) t=0.016, б) t=0.026, в) t=0.028, г) t=0.030.
t = 0.030201t = 0.026u10000.81t = 0.01620000.8б)6-600ρ0100.6xt = 0.0160.218-660120а)1ρ1020 ρ30001020б)1u0.220300.8120ρ00.4u0.2в) 3000.2186а)002xu0.224 ρ600240.6t = 0.0166-600ρ6000.4б)xxρ15а)!31315б)10ρа) 2010u155а)б)155100100050.215-500000.21-50б) 100.40.4xx0.80.60.60.8ρ105t = 0.030u200.20.4x0.60.8t = 0.0320.20.4x0.60.81t = 0.032u15а)1б)10ρu155а)б)1005000.2в) 0 ρ600.20.40.4xx0.80.60.60.815-5001-5 u15 040.4xx = 00.69t = 0.0320.20.4x0.60.8 t= 10.0320.60.81t = 0.0340.20.4x0.60.8б)1t = 0.03410x =20.6900.25000.4t 0.2= 0.034xа) t=0.032, б) t=0.034, в) t=0.0328.0.60.81t = 0.038t = 0.034Рисунок 6.36 - Решение задачи Вудворда - Колелла (продолжение).t = 0.034t = 0.038Момент времени t=0.026 соответствует состоянию потока непосредственно передстолкновением ударных волн, а момент времени t=0.032 - сразу после столкновения.
Моментвремени t=0.038 соответствует моменту прохождения правой ударной волной правойконтактной границы, когда формируются две ударные волны и три контактных разрыва.Начальный разрыв давления порождает два контактных разрыва и две ударные волны, позадикоторых формируются волны разрежения, распространяющиеся по направлению к границамрасчетного интервала.
Волны разрежения отражаются от границ расчетной области, движутсяпо направлению к центру и взаимодействуют между собой.[−5, 5]x0 = −4(3.857143, 2.629369, 10.33333)!314Взаимодействие ударных волн происходит в момент времени t=0.028. Ударная волна,движущаяся вправо, является более слабой, поэтому отражение волны разрежения от правойграницы происходит в более поздний момент времени. Взаимодействие ударных волн приводитк формированию узкой области с резким градиентом плотности. Скачки плотности имеютместо при x=0.59 и x=0.80.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
