Диссертация (1145329), страница 14
Текст из файла (страница 14)
интеграл (2.5) сохраняется и внутри разрыва, значит, профиль скорости внутри фронтаударной волны должен быть симметричным. Это также наводит на мысль, что граничныеусловия (условия динамической совместности) на фронте ударной волны уравнения Бюргерсадолжны быть в точности такие же, как и на идеальном разрыве (2.8). Действительно, если волнадвижется с постоянной скоростью D и граничные условия заданы значениями скоростей u2, u1,то интенсивность разрыва остается постоянной и профиль внутри ударной волны неизменяется, т.е. можно сделать замену переменных ξ = x - Dt, тогда уравнение Бюргерсасводится к обыкновенному дифференциальному уравнениюdu d ⎛ u 2 ⎞d 2u+=ε 2 ,] −Ddξ dξ ⎜⎝ 2 ⎟⎠dξ(2.11)!76проинтегрировав которое с учетом граничных условий, получаемпри x→∞: ] −Du +u2duu12−ε= −Du1 + ,2dξ2при x→ - ∞: ] −Du +(2.12)u2duu22−ε= −Du2 + .2dξ2(2.13)Вычитая (2.12) из (2.13), получаем (2.8), что позволяет сделать следующий вывод.УДС и законы сохранения на фронте ударной волны уравнения Бюргерса такие же,как на идеальном разрыве в простой волне.
Это важно, т.к. позволяет использоватьУДС на разрыве в идеальном газе для анализа ГДР в газе с малой вязкостью!Тогда, подставив выражение для D из (2.8) в (2.9-2.10), и проинтегрировав получившеесявыражение, после несложных преобразований получим выражение для профиля скоростивнутри ударной волны⎛ξ⎞] u = D − umth ⎜ ⎟ ,⎝ Δ⎠(2.14)где Δ=2ε/um - ширина фронта ударной волны, а um=(u2-u1)/2 - условная амплитуда волны или,если угодно, её интенсивность.Таким образом, ширина фронта ударной волны пропорциональна вязкости и обратнопропорциональна интенсивности, а профиль скорости внутри ударной волны - симметричный ипредставляет собой гиперболический тангенс.
Ударные волны уравнения Бюргерса имеют те жезаконы сохранения и УДС, что и разрывы в идеальном газе. Следовательно, мы имеем полноеправо применять теорию интерференции стационарных газодинамических разрывов,разработанную для идеального газа, к анализу ударных волн в условиях наличия диссипации.С другой стороны, полученные решения уравнения Бюргерса позволяют использовать этумодель для анализа динамики ударных волн в условиях турбулентности и горения, что частичнорешает сложную проблему численного моделирования таких течений с помощью осредненныхуравнений Навье-Стока и моделей турбулентности.Уравнение Бюргерса при помощи преобразования Коула-Хопфа [ 159, 160]‑] u = −2ε∂( lnϕ )∂x‑(2.15)может быть приведено к форме уравнения теплопроводности]∂ϕ∂2ϕ=ε 2 .∂t∂x(2.16)!77Если начальные условия заданы в виде ut=0(x)=F(x), то из этого следует начальное условие дляфункции φ⎛ 1 x⎞] ϕ t=0 (x) = exp ⎜ − ∫ F(η )dη ⎟ .⎝ 2ε⎠(2.17)0Тогда решение уравнения теплопроводности (2.16) с начальными условиями (2.17) может бытьдля скорости u записано в виде∞] u(x,t) =ηгде ] G(η, x,t) = ∫02x − η)(F(ζ )dζ +.2tx −η⎛ −G ⎞exp ⎜dη⎝ 2ε ⎟⎠t−∞∫∞⎛ −G ⎞∫−∞ exp ⎜⎝ 2ε ⎟⎠ dη,(2.18)Экспонента, входящая в формулу (2.18), стремится к нулювсюду, кроме окрестности точки минимума функции G, в которых выполняется условие∂Gx −η]= F(η ) −= 0.∂ηt(2.19)Если в начальный момент времени начальные условия зависят только от x, а функция u вмоменты времени t зависит также только от x, т.е.
время - параметр семейства функций u(x), тофункцию минимума можно переписать в виде] G(x,t) = min f (y,t, x),y2x − t)(f=−C2t0(y) .(2.20)Функция минимума может быть геометрически интерпретирована следующим образом. С0(y) исходная потенциальная функция (рисунок 2.8). Над точкой x опускаем к этой поверхностипараболоид z=(x-y)2/2t, когда он её коснется, это и будет искомое значение функции G(x,t). Покаt мало, параболоид тонкий и касается поверхности в единственной точке (рисунок 2.8-а). Стечением времени параболоид "толстеет" и в какой - то момент времени касается уже двухточек поверхности C0(y) (рисунок 2.8-б). Такие значения x называются особыми, а функцияминимума G в них имеет особенности.Понятно уже, что особые точки соответствуют пересечению характеристик исходногоуравнения (2.2), соответственно, мгновенное множество Максвелла семейства функцийминимума образует ударную волну.
Эта ударная волна соответствует ударной волне исходногоуравнения Бюргерса и можно предположить, что закономерности их перестроек будутодинаковыми. Однако, как будет показано в главе 3, множество допустимых перестроекударных волн в уравнении Бюргерса уже, чем для функции минимума.!78]]а)б)Рисунок 2.8 - Иллюстрация регулярной (а) и особой точки функции (б) минимума.2.4 Скачок уплотнения в калорически несовершенном невязком газеВажным является выявленный в предыдущих пунктах факт, что законы сохранения дляразрывов, возникающих в идеальном газе, и разрывов в уравнении Бюргерса, одни и те же.Следовательно, рассматривая косой скачок уплотнения, абсолютно строго можно ограничитьсямоделью идеального газа.2.4.1 О необходимости учета несовершенства газаЦель - рассмотреть методику расчета ударных волн в калорически несовершенном газе.Газ может считаться в определенных условиях идеальным, т.е.
невязким и нетеплопроводным,но при этом быть несовершенным. Несовершенным называется газ, который не удовлетворяетуравнению состояния идеального совершенного газа Менделеева - Клайперона. Например, внеударной волны и пограничного слоя влиянием вязкости и теплопроводности можно пренебречь.Но если давление или температура очень велики, то свойства газа существенно отличаются отсвойств совершенного газа.Если в уравнение газовой динамики входит показатель адиабаты γ, то это уравнениеидеального совершенного газа.
Если уравнение не содержит γ, то оно подходит для любого видагаза. В совершенном газе γ постоянен и равняется]γ =cP,cV(2.21)где сp - теплоемкость при постоянном давлении, сV - теплоемкость при постоянном объеме.Используя выражения для энтальпии (теплосодержание - это та энергия, которая доступна для!79преобразования в теплоту при постоянном давлении) H=cpT, а также для внутренней энергииU=cVT, можно представить показатель адиабаты как отношение энтальпии к внутреннейэнергии γ=H/U. Удельная теплоемкость cp легко определяется экспериментально, cV, какправило, вычисляют по формуле, следующей из уравнения состояния совершенного газа сV =cpT-nR, где n - количество вещества в молях, R - универсальная газовая постоянная, Tтемпература.
С точки зрения молекулярно-кинетической теории, показатель адиабаты зависитот количества степеней свободы молекулы]γ =i+2,i(2.22)при этом считается, что атомы в молекуле связаны между собой жестко. В одноатомном газе три степени свободы, соответствующие трем координатам, тогда γ=5/3≈1.67. В двухатомномгазе добавляется две степени свободы, связанные с вращением молекулы вокруг двух осей,γ=7/5≈1.4, В трехатомном газе добавляется еще одна вращательная степень свободы, γ=8/6≈1.33.В реальном газе γ зависит от давления и температуры, но этим можно пренебречь при t<600Κ.Часто выделяют показатель адиабаты для следующих важных смесей газа:- γ=1.1 - смесь углеводородное топливо с воздухом,- γ=1.2 - смесь углеводородное топливо с кислородом,- γ=1.25 - продукты сгорания углеводородного топлива.В 21-ом веке развернулись работы по созданию летательных аппаратов с воздушнореактивным двигателем нового типа - детонационным, рассчитанным на большие скоростиполета (Μ=3.5-8).
Известно, что если в воздухе (Τ=280°С; ] γ = 7 / 5 ) имеется ударная волна синтенсивностью J=10 (что соответствует прямому скачку уплотнения в потоке с М=3), тоигнорирование зависимости ] γ от температуры приводит к ошибке ≈8% в расчете температурыгаза за скачком. Таким образом, несовершенство газа надо обязательно учитывать при расчетегазодинамического инициирования детонации.2.4.2 Два вида отклонения от закона совершенного газаСуществуют два типа отклонений от закона совершенного газа. Газ может точно следоватьуравнению состояния для совершенного газа, но при этом удельные теплоемкости могут небыть постоянными; в этом случае газ называют термически совершенным, но калорическинесовершенным.
Газ может также иметь постоянные удельные теплоемкости, но при этом неудовлетворять уравнению состояния совершенного газа; в таких случаях газ называетсякалорически совершенным, но термически несовершенным.!80Удельная теплоемкость cV при очень высоких температурах возрастает, потому чтовозбуждаются колебательные степени свободы молекул. Таким образом, показатель адиабатыбудет зависеть от температуры и газ будет калорически несовершенным.При нормальной температуре такие явления не имеют места. С другой стороны, еслиплотность газа настолько велика, что среднее расстояние между молекулами становится малым,то имеет место их ощутимое взаимодействие.
Вследствие этого уравнение состояния газа неможет совпадать с уравнением состояния для совершенного газа и, таким образом, газ будеткалорически совершенным, но термически несовершенным.Таким образом, следует разделять два вида несовершенства газа: калорическое,определяемой возбуждением различных уровней энергии в молекулах газа, и термическое,определяемое взаимодействием молекул между собой.2.4.3 Зависимость теплоемкости и показателя адиабаты от температурыПоказатель адиабаты можно вычислить, определив экспериментально скорость звука вгазовой среде]a =γ RT,µ(2.23)где µ- молярная масса.Рассмотрим, как будет выглядеть выражение для скорости звука в несовершенном газе.Можно разделить калорическое и термическое несовершенства газа, рассматривая газ принулевом давлении.
Обозначим внутреннюю энергию при нулевом давлении через е 0, тогда е0будет функцией только от температуры Т . Согласно второму закону термодинамики,] e (T ,υ u ) =υu⎡ ⎛ ∂p⎞⎤T−p⎢⎜⎟∫∞ ⎝ ∂T ⎠ υ ⎥dυu + e0 (T ) ,⎣⎦u(2.24)напомним, что υu=1/ρ - удельный объем газа, ρ - плотность, p - давление. Для совершенного газаинтеграл в уравнении (2.24) обращается в нуль, и, следовательно, внутренняя энергия иэнтальпия не зависят от давления. Скорость звука а можно вычислить следующим образом:⎡⎛ dp ⎞⎛ dT ⎞ ⎛ ∂ p ⎞ ⎤⎛ dp ⎞22 ⎛ ∂p⎞= −υu2 ⎜=−υ]a = ⎜⎢⎟⎜⎟u⎜⎟ +⎜⎟ ⎥.⎝ dυ ⎠ S⎝ dυu ⎟⎠ S⎣⎝ ∂T ⎠ υu ⎝ dυu ⎠ S ⎝ ∂υu ⎠ T ⎦(2.25)Из уравнения (2.24) можно получить дифференциальное уравнение для входящей в (2.25)производной:!81⎛ ∂p⎞T⎜⎝ ∂T ⎟⎠ υu⎛ dT ⎞=−]⎜.de0⎝ dυu ⎟⎠ SdT(2.26)Индекс s в уравнениях (2.25) и (2.26) означает, что соответствующая величина вычисляется дляизэнтропического процесса. Подставляя (2.26) в (2.25), получаем окончательное выражение дляквадрата скорости звука:⎡ ⎛ ∂p⎞2⎤⎢ T ⎜⎝⎥⎟⎠∂T υu ⎛ ∂ p ⎞ ⎥2⎢−⎜] a = υu.⎢ de0⎝ ∂υu ⎟⎠ T ⎥⎢ dT⎥⎣⎦(2.27)В случае совершенного газа уравнение (2.27) сводится просто к уравнению (2.23) и скоростьзвука зависит только от температуры.Учет несовершенства газа обычно осуществляется добавлением в уравнение состоянияМанделеева-Клайперона различных эмпирических констант и зависимостей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
