Диссертация (1145329), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Уравнения Эйлера допускают разрывнеравномерностей течения на характеристике, но Uχ-функция на слабом разрыве остаетсянепрерывной, где]U χ =∂(ω + χϑ ) .∂s(1.57)Условия на характеристиках (1.51, 1.53) можно переписать с помощью Uχ - функции.Например, для безвихревого течения]dωdϑsin ϑ= U − cos α ;= −U − cos α +sin α ;dν −dν −y(1.58)dωdϑsin ϑ= U + cos α ;= −U + cos α −sin α .dν +dν +y(1.59)]Запись условий на характеристиках с использованием Uχ - функции имеет важноепреимущество.
Uχ - функция остается непрерывной при переходе через разрывнуюхарактеристику, следовательно, условия, записанные в таком виде, «не замечают» слабыхразрывов, что упрощает построение численных алгоритмов. В традиционном методехарактеристик для его корректной работы все разрывные характеристики необходимо выделятьи отслеживать зарождение на них висячих скачков [ 155; 1961 г.].‑!62В 1989 г. П.В.Булатом на основе решений, полученных В.Н.Усковым для взаимодействияслабых разрывов со скачками и между собой, был разработан метод характеристик второгопорядка, получивший название метода слабых разрывов (МСР).
Численная реализация методаоказалась намного более простая и удобная, чем разработанные ранее методы характеристиквторого порядка [156 ; 1957 г.]. Сейчас в условиях бурного развития разностных методов МСР‑потерял свою актуальность как метод численного моделирования, но его можно применять длятестирования различных разностных схем как эталонный.На основе МСР и ДУДС1 П.В.Булатом и В.Н.Усковым была развита псевдоодномернаятеория сопла, учитывающая кривизну образующей сопла и кривизну ударных волн, построеныграница струи, падающий скачок уплотнения в перерасширенной струе, исследованазависимость кривизны границы струи скачка на кромке сопла [157 ; 1993 г.], исследовано‑отражение слабого разрыва от оси симметрии [158].
Позднее М.В.Чернышев исследовал все‑дифференциальные характеристики течения в перерасширенной струе в окрестности кромкисопла, выявил особые значения степени нерасчетности, изучил особые точки на падающемскачке.1.11 Отражение слабого разрыва от оси и плоскости симметрииВ качестве примера использования метода слабых разрывов ниже рассматривается задачаотражения разрывной характеристики (слабого разрыв) от оси и плоскости симметриисверхзвукового течения.
Известна проблема радиальной фокусировки возмущений, когда в ходечисленных расчетов отражение слабой волны возмущения от оси симметрии приводит кскачкообразному изменению распределения газодинамических переменных по оси, т.е. ксильному разрыву, что представляется нефизичным.В целом ряде задач сверхзвуковой и гиперзвуковой аэродинамики важно уметь определятьинтенсивность разрывных характеристик (слабых разрывов), т.к. их усиление может приводитьк зарождению внутри течения висячих скачков уплотнения. У оси симметрии кривизнаразрывов и их интенсивность сильно увеличивается по мере приближения к оси, поэтомупроблема является особенно острой.Задача изучения взаимодействия простых волн, первая и последняя характеристикикоторых разрывные, между собой, со слабыми разрывами, твердыми стенками и скачкамиуплотнения возникаетпри проектировании сверхзвуковых и гиперзвуковых!63воздухозаборников, камер сгорания с детонационным горением, акустических и волновыхрезонаторов.
Этому направлению в последние годы уделяется пристальное внимание.1.11.1 Первая разрывная характеристика волны разреженияКак известно, уравнения газовой динамики не накладывают условий на изменениепараметров по нормали к газодинамическим характеристикам, поэтому неравномерности Niперед характеристикой и за ней могут не совпадать. Такие характеристики называютсяразрывными или слабыми разрывами.
Важным параметром, характеризующим слабый разрыв,является его интенсивность. Под интенсивностью понимается разность (разрыв)неравномерности, например, разность кривизны линий тока. Пересекая скачок уплотнения,разрывная характеристика меняет его кривизну. Отражаясь от оси, слабый разрыв изменяетраспределение параметров вдоль оси. Интенсивность зависит от геометрии разрывнойхарактеристики и условий в точке ее зарождения.
Рассмотрим интенсивность первойхарактеристики центрированной волны разрежения в равномерном потоке.Плоская волна Прандтля-Майера. В плоской волне разрежения разрывными являютсяпервая и последняя характеристики. Пусть из сопла истекает равномерный поток. Введемполярную систему координат, связанную с кромкой сопла. Для произвольной кривой вполярной системе координат выполняются условия (рис.1.28-а)]r ' 1 drdr,== tg (ϕ + ψ ) ; tgϕ =r r dϕdϕ(1.60)где r-радиус-вектор, φ-полярный угол, отсчитываемый от вертикальной оси, ψ-угол наклона кривой к оси x.]а)б)Рисунок 1.28 - К расчету интенсивности разрывной характеристики в центрированнойволне разрежения.
а) пллоская волна, б) осесимметричная.!64Для линии тока ψ=0. На разрывных характеристиках семейств (χ±1) выполняются условияψ+=π/2 - φ1, ψ- = π/2 - (φ+2α). Из этих соотношений следуют дифференциальные уравнениялиний тока и характеристик в волне Прандтля-Майера: линия тока - r'=r ctg α, характеристикаν+=const, характеристика ν- - r'=r ctg 2α.Интегрируя эту систему, получаем известное уравнение для линии тока в плоской волнеразрежения1rcos Z 0 ε1, Z = ε (ϕ + C ) , C =arctg] s =r0cos Zε()ε ctgα 0 + α 0 −π.2(1.61)Кривизна произвольной кривой в полярной системе координат описывается уравнением] Ks =1+ 2 ( r '/ r )(r 1+ ( r '/ r )2)2 3/2,(1.62)которое приводит к следующему соотношению для кривизны линии тока в волне ПрандтляМайера(1− ε )( M 02 − 1)dϑ 1− ε2=cos α 0 sin α 0 = −],dsrrM 03(1.63)где индексом "0" помечены параметры в невозмущенном течении. Из уравнения (3) следует, чтоинтенсивность разрывной характеристики изменяется обратно пропорционально r, обращаетсяв бесконечность в центре волны и равняется на плоскости симметрии]dϑ 1− ε(1− ε )sin 2 2α 0=cos 2 α 0 sin 2 α 0 = −.ds (1− y)2(1− y)(1.64)Осесимметричная волна разрежения в равномерном потоке.
В равномерном потокепервая разрывная характеристика центрированной волны разрежения прямолинейна.Рассмотрим близкую к ней характеристику ν-2 того же направления, лежащую внутри волны. Вцентре волны (на кромке сопла) эти характеристики отличаются на малый угол ] Δφ ( рис.29-б).Из условия на характеристике ν+d(ω − ϑ ) sin ϑ=sin αdν +y(1.65)следует, что в окрестности разрывной характеристики ] dω = dϑ , т.е.
справедливо выражениеω 2 − ω 1 = ϑ 2 . Можно показать, что ω , ϑ на характеристике ν+ связаны также, как в теченииПрандтля-Майера!65] ω 2a − ω 2 = ω 2a − ω 1 − (ω 2 − ω 1 ) = ϑ 2a − ϑ1 − (ϑ 2 − ϑ1 ) = ϑ 2a − ϑ 2 ,(1.66)где индексом "а" отмечены параметры в угловой точке А. Условия на ν+ записываются в виде]2dϑdω sin ϑ=2=sin α .dν −dν −y(1.67)Разделение переменных приводит к дифференциальному уравнению]sin ϑ cos α dϑ sin α cos ϑ dϑ dydy==⇔ ctgα dω − ctgϑ dϑ =,sin ϑ sin αsin ϑ sin α2y2y(1.68)интегрирование которого в предположении, что угол Маха меняется мало, а dφ стремится кнулю, приводит к выражению] Δϑ =(1− ε ) cos2 α dϕ.y (1− ε ) cos 2 α cos α dϕ(1.69)Рассмотрим теперь приращение дуги вдоль линии тока ΔS].
Ввиду малости dφкриволинейный треугольник АВС можно рассчитывать по формулам прямолинейноготреугольника, тогда] ΔS =dϕ (1− y).sin ϑ − 0.5dϕ sin 2ϕ2(1.70)Для того, чтобы получить интенсивность разрывной характеристики, нужно разделить(1.70) на (1.69). Пренебрегая членами, содержащими dφ, получим уравнение, определяющееинтенсивность слабого разрываcos 2 α sin 2 α⎡ ∂ϑ ⎤] ⎢ ⎥ = (1− ε ).y(1− y)⎣ ∂S ⎦(1.71)Анализ экстремума последнего уравнения] (1− ε )cos 2 α sin 2 α ⎛ 1− 3y ⎞=0y(1− y)2 ⎜⎝ 2 y ⎟⎠(1.72)показывает, что минимум интенсивности разрывной характеристики лежит на расстоянии 1/3 отоси симметрии.1.11.2 Парадокс радиальной фокусировки возмущенийПри построении численных методов часто возникает проблема вычислительнойособенности в области отражения слабого разрыва от оси симметрии.
Это явление известно под!66названием Парадокса Радиальной Фокусировки Возмущений. Часто в результате разностногомоделирования сверхзвукового потока идеального газа получается, что в точке отраженияпервой характеристики волны разрежения от оси производная ∂] ω / ∂S обращается вбесконечность (рис. 1.29).
В результате, решение теряет устойчивость, появляются осцилляциипараметров и другие нежелательные эффекты.]Рисунок 1.29 - Парадокс фокусирования возмущений.На возможность существования этого парадокса на первый взгляд указывает и теорема онепрерывности U-функции. Действительно, до первой характеристики течение равномерное,градиент давления и кривизна линий тока на оси равны нулю. За первой разрывнойхарактеристикой ] ∂ω / ∂S > 0 , но кривизна линии тока остается равной нулю. Вроде бы, налицонарушение теоремы об U-функции, что может случиться только в том случае, когда за слабымразрывом продольный градиент давления обращается в бесконечность (см. рис.
1.30, графиквнизу).На самом деле никакого парадокса нет. Обратимся к рис. 1.30.]Рисунок 1.30 - Отражение слабого разрыва от оси симметрии.Видно, что течение в волне разрежения на оси симметрии начинает ускоряться, преодолевдва слабых разрыва разных направлений: падающую и отраженную характеристики. Градиентна оси определяется соотношением!67]∂ω̂3 1− ε 2=−sin α 0 cos 2 α 0 .∂S2 ya(1.73)Разрыв значения кривизны линии тока, также получается из уравнения (1.71), но один разсо знаком «+» при переходе через характеристику ν-, другой раз со знаком «-» при переходечерез характеристику второго семейства ν+. В итоге кривизна линии тока на оси остаетсяравной нулю.
Таким образом, никакого парадокса радиального фокусирования возмущений несуществует, градиент числа Маха на оси остается конечным (рис.1.30), а вот втораяпроизводная действительно обращается в бесконечность. В точке пересечения характеристикиν-, близкой к первой разрывной характеристике волны разрежения, с отраженнойхарактеристикой ν+ особенностей не возникает. Кривизна линии тока за точкой отраженияхарактеристики от оси остается равной нулю, но её производная принимает положительноезначение, что вызывает отклонение линии тока от оси (рис. 1.30), давление падает, а потокускоряется.1.11.3 ВыводыТаким образом, введено понятие интенсивности слабого разрыва. Рассмотрены основныесоотношения на первой разрывной характеристике плоской и осесимметричнойцентрированной волны разрежения.
Показано, что интенсивность первой разрывнойхарактеристики центрированной волны разрежения в осесимметричном равномерном потокеимеет экстремум на расстоянии 1/3 от плоскости симметрии.Полученные аналитические решения для разрывной характеристики в сверхзвуковомосесимметричном потоке идеального газа позволяют явно выделять условия возникновения всверхзвуковых течениях висячих скачков. Это имеет значение не только в задачах расчетатечений идеального газа, но и вообще везде, где актуально зарождение сильных разрывоввнутри гладкого сверхзвукового потока.Важным является также доказанное отсутствие физического смысла парадоксарадиальной фокусировки возмущений. Ранее данный парадокс относили к особенностямрешений системы уравнений идеального невязкого газа и считалось, что при переходе куравнениям Навье - Стокса данный парадокс исчезает, а возникающие на оси особенностиявляются проявлением некоторых физических явлений или недостатков дифференциальныхмоделей турбулентности.
Однако оказалось, что это не так. Парадокс является следствиемразностной аппроксимации исходной системы уравнений, поэтому егорезультатов расчетов требует тщательного построения сетки у оси симметрии.исключение из!681.12 Выводы к главе 1Интерференция стационарных газодинамических разрывов и ударных волн изучается втечение более, чем 100 лет. И, тем не менее, многие важные для практики задачи до сих пор нерешены или решены частично.Сочетание ударно-волновых процессов, горения и физико-химических превращений вдетонационных двигателях требует учета реальных свойств газа при расчете интерференциигазодинамических разрывов. До сих пор не ясны границы применимости модели идеальногогаза при изучении ударных волн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
