Диссертация (1145329), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Разрыв кривизны контура стенки сопла, например, при сопряженииторроидального критического сечения с параболическим основным участком, приводит кобразованию у стенки сопла висячего скачка уплотнения, что резко увеличивает тепловуюнагрузку и может привести к прогару стенки.Дифференциальные условия динамической совместности. Производныегазодинамических переменных до- и за- слабым разрывом оказываются связанными междусобой и кривизной разрыва.
Эти соотношения получили название дифференциальных условийдинамической совместности на слабом разрыве (ДУДС1).Первые результаты в области нахождения связи между производными газодинамическихпараметров по сторонам сильных разрывов (ДУДС0), полученные еще в конце 40-х - 50-х годов!57[143; 1949], [144 ; 1952], касались частного случая плоского или осесимметричного‑‑стационарного искривленного скачка уплотнения.
Несколько позже эти результаты былиобобщены [145; 1957] на случай задач с большей размерностью.‑Аналитическое решение задачи о взаимодействии одиночного скачка уплотнения сослабыми газодинамическими разрывами получено С.П.Дьяковым [146; 1957 г.]. В этой работе‑рассмотрено течение газа с произвольным уравнением состояния, но предполагалось, чтонабегающий поток слабо возмущен относительно равномерного, а поверхность скачка слабоотличается от плоской. В этом случае С.П.Дьякову удалось построить специальную системукоординат, в которой давление за скачком уплотнения удовлетворяет уравнению Пуассона, и вэтой системе координат сформулировать условия на производные газодинамическихпараметров. Для произвольной кривизны скачка ДУДС0 в 1962 г.
были получены Бай-Ши-и[147; 1962 г.], а затем обобщены В.В.Русановым [148; 1973 г.] на случай нестационарных‑‑течений. В случае однородного набегающего потока В.В.Русанову удалось получить вдекартовой системе координат выражение дифференциальных характеристик потока за скачкомчерез его кривизну. В работе Молдера [149; 1979 г.] исследованы одиночные произвольные‑криволинейные скачки уплотнения в равномерном потоке идеального газа. Полученныесоотношения для производных газодинамических переменных за скачком позволили описатьмалую окрестность за сильным разрывом с помощью разложения в ряд различныхгазодинамических переменных: давления, плотности, модуля и угла наклона вектора скорости.Большинство упомянутых выше соотношений, связывающих производные по обе сторонысильного разрыва, имело довольно громоздкий вид. Как следствие, задачи интерференциисильных разрывов со слабыми в газовой динамике либо решались методами малыхвозмущений, либо получались как частный случай задач интерференции сильных разрывов.Рассматривая предел соотношений на скачке при ] J → 1 (J - интенсивность скачка), В.Н.Усков[4] получил замечательные по удобству использования соотношения, связывающиенеравномерности течения Ni до скачка и за скачком5] N i = ci ∑ Aij N j ,(1.44)j=1где основные газодинамические неравномерности течения Ni:] N1 =∂ln p∂ϑ∂ln p0,, N2 =, N3 = ς∂s∂s∂n(1.45)N1 - неизобаричность течения (градиент давления) вдоль направления, спроецированного налинии тока.
N2 - кривизна линий тока, N3 = ζ - завихренность, N4=δ/y (δ=0 в плоском течении,!58δ=1 в осесимметричном течении), N5=Kσ - кривизна скачка уплотнения, р - давление, ϑ - уголнаклона вектора скорости, р0 - полное давление, n - длина нормали к линиям тока, s - длина дугивдоль линии тока. Коэффициенты Аij, сi опубликованы в [150; 1987 г.].1.10 Метод слабых разрывов1.10.1 Задачи первого и нуль-первого порядка об интерференции разрывовПо-видимому, первым общее решение о взаимодействии слабого разрыва с одномернойударной волной (рисунок 1.26) получил Дж.Уизем [151; 1977 г.]. Аналогичные решения для‑рефракции плоского стационарного скачка уплотнения на слабом тангенциальном разрывеполучил А.Л.Адрианов [152; 2000 г.].
А.В.Омельченко в работе [153; 2002 г.] вывел простую‑‑связь производных на нестационарной одномерной ударной волне. На основе полученныхсоотношений в его статье проводится подробный анализ задач взаимодействия одномернойударной волны со встречными и догоняющими слабыми разрывами.]а)б)(а) - слабый встречный разрыв, (б) - слабый догоняющий разрыв.1 - ударная волна, 2-слабый разрыв, 3 - отраженный слабый разрыв, 4 - ударная волна,движущаяся с изменившемся ускорением, τ- отраженный слабый разрыв.Рисунок 1.26 - Одномерное взаимодействие слабого разрыва и ударной волны.В.Н.Усковым в его докторской диссертации в 1980 г. получены явные аналитическиерешения задач первого порядка для одиночного скачка уплотнения, регулярного отраженияскачка уплотнения от криволинейной стенки, тройных конфигураций скачков уплотнения,взаимодействия двух скачков уплотнения одного направления и противоположныхнаправлений, рефракции скачка уплотнения на тангенциальном разрыве, взаимодействия скачка!59со встречным и догоняющим слабым разрывом (рисунок 1.27-a), рефракции скачка и слабогоразрыва на слабом разрыве (рисунок 1.27-в), взаимодействия слабых разрывов одногонаправления и разных направлений между собой (рисунок 1.27-в).]а)б)в)а) пересечение скачка и слабого разрыва; б) рефракция скачка и слабого разрыва на слабомразрыве; в) взаимодействие слабых разрывов между собой.σi - скачки, τν - слабый тангенциальный разрыв, νi - слабый разрыв (разрывная характеристика).Рисунок 1.27 - Взаимодействие слабых разрывов.В совместной с П.С.Мостовых работе [154] В.Н.Усков исследовал дифференциальные‑свойства разрывов в тройных конфигурациях ударных волн.1.10.2 Условия на характеристиках в нетрадиционной формеМногие задачи газодинамики в математическом плане сводятся к решению системыквазилинейных уравнений в частных производных.
Решение получается путем интегрированиясистемы обыкновенных дифференциальных вдоль особых направлений, называемыххарактеристиками. В классической постановке характеристики вводится как направления, вдолькоторых распространяются малые возмущения, поэтому их еще называют линиями влияния.Если М>1, то существуют две различные характеристики и исходное уравнение относится кгиперболическому типу. Пусть в пространстве задана линия, параметры течения вдоль которойзаданы с распределением угла наклона вектора скорости i и функции Прандтля-Майера!60]ω =1arctan ε (M 2 − 1) − arctan M 2 − 1 .ε(1.46)Пусть из каждой точки на кривой выходят линии тока.
Если М>1, то из этих же точеквыходят две характеристики разных семейств ν+, ν-. Линии тока также являютсяхарактеристиками уравнения для полной энтропии, поэтому они называются энтропийными.Получим условия на характеристиках. Для запишем уравнения сверхзвукового теченияидеального газа в естественной системе координат s-n с помощью функции Прандтля-Майера∂ω ∂ϑsin ϑ−=δ,∂S ∂ny∂ϑ ∂ωN3] M 2 −1'−=−∂S ∂nΓ(M )] M 2 −1γ M2где ] Γ(M ) =.(M 2 − 1)1/2(1.47)(1.48)(1.49)Складывая и вычитая эти уравнения, получим новую систему] M 2 −1∂∂sin ϑN3(ω ± ϑ ) ± (ω ± ϑ ) = δ±,∂S∂nyΓ(M )(1.50)проецируя новые уравнения на направления характеристик и исключая производные понормали к линиям тока, имеем условия вдоль характеристиквдоль правого разрыва (χ=1):]⎛ N3d∂sin ϑ ⎞(ω + ϑ ) = 2 (ω + ϑ )cos α + ⎜−sin α ,⎝ Γ(M )dν +∂Sy ⎟⎠]⎛ N3dsin ϑ ⎞(ω − ϑ ) = ⎜+sin α ;⎝ Γ(M )dν +y ⎟⎠(1.51)(1.52)вдоль левого разрыва (χ=-1):]⎛ N3d∂sin ϑ ⎞(ω − ϑ ) = 2 (ω − ϑ )cos α − ⎜+sin α ,⎝ Γ(M )dν −∂Sy ⎟⎠]⎛ N3dsin ϑ ⎞(ω + ϑ ) = − ⎜−sin α .⎝ Γ(M )dν −y ⎟⎠(1.53)(1.54)Вторые уравнения в системе (1.52, 1.54) представляют собой известные условия нахарактеристиках различных семейств, записанные в традиционной форме.
Первые же!61уравнения (1.51, 1.53) содержат неравномерности течения. Они позволяют задавать условия нахарактеристиках с учетом первых производных от газодинамических функций.Условия на характеристиках можно переписать и в виде, явно разрешенном относительноосновных неравномерностей течения]]∂ω1 ⎛ dω dω ⎞;=+∂S 2 cos α ⎜⎝ dν + dν − ⎟⎠(1.55)∂ϑ1 ⎛ dϑ dϑ ⎞=+.∂S 2 cos α ⎜⎝ dν + dν − ⎟⎠(1.56)Система (1.51, 1.53, 1.55, 1.56) и полученные из нее уравнения позволяют в любой точкепространства вычислить кривизну линии тока, кривизны двух характеристик, градиент числаМаха вдоль линии тока, градиент числа Маха вдоль характеристик.1.10.3 Теорема об Uχ - функцииДУДС1 на слабом разрыве В.Н.Усков предложил сформулировать в виде теоремы об Uχ функции (χ = -1 на левом разрыве, +1 - на правом).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
