Диссертация (1145329), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Термодинамические процессы, идущие в потоке без внешнего подвода тепла,называются адиабатическими. В таких процессах давление и плотность однозначно связанымежду собой уравнением, которое получило название адиабаты. Из приведенной системы (1.91.12) несложно получить адиабаты Лапласса-Пуассона (изоэнтропу) для изоэнтропическогосжатия/разрежения] JE γ = 1 ,(1.13)и ударную адиабату Рэнкина-Гюгонио для скачка уплотнения]E =1+ ε J,J +ε(1.14)где ε] = (γ − 1) / (γ + 1) , E] = ρ / ρ̂ , J] = p̂ / p − интенсивность ударно-волнового процессауплотнения (J>1) или разрежения (J<1). Обратим внимание, что из (1.14) следует, что пристремлении J→∞, E→ ε, т.е. сжатие имеет конечный предел.Числа Маха по разные стороны волны или разрыва связаны формулой](µ= EJ ,µ̂(1.15))где ] µ = (1+ ε (M 2 − 1) и ] µ̂ = 1+ ε M̂ 2 − 1 .
В зависимости от того, какую формулу для адиабатыподставляем в (1.15) - ударной адиабаты (1.14) или изоэнтропы (1.13), формула (1.15) даетвозможность определить числа Маха за волнами разрежения/сжатия ω]и скачками σ]уплотнения. Дополняя приведенные соотношения уравнением состояния газа, можно получитьв удобном виде соотношения основных газодинамических переменных до и после волны илиразрыва!262] M 2 2 = M − (1− E)(J + 1) ,EJ(1.16)соотношение температур:T2= EJ ,T(1.17)a2= EJ ,a(1.18)]соотношение скоростей звука:]соотношение коэффициента восстановления полного давления:−1p] I 0 = 02 = (E γ J )γ −1 ,p01(1.19)соотношение плотностей:]ρ2 1= .ρ1 E(1.20)В формулах (1.16-1.20) индекс 2 означает параметры за волной или разрывом, индекс 1 - доволны или разрыва, индекс 1 часто не пишут, тогда обозначение переменной без индексаозначает параметр перед волной.
Записанные в таком виде соотношения (1.16-1.20)справедливы для любых типов волн: простых, ударных и детонационных. Если вместо E всоотношения (1.16-1.20) подставить уравнения адиабаты Лапласа-Пуассона (1.13), то получимсоотношения для простых и центрированных изоэнтропических волн. Если подставитьадиабату Рэнкина - Гюгонио (1.14), то получим уравнения для ударных волн. Все переменныеза скачком в уравнениях (1.16-1.20) монотонно изменяются в зависимости от интенсивностискачка J. Соотношения (1.16-1.20) называются условиями динамической совместности вформе обобщенной адиабаты [53].‑В законченном виде УДС появились далеко не сразу.Сформулированных Стоксомусловий (1.6) было недостаточно, чтобы определить два неизвестных параметра потока заразрывом и скорость распространения самого разрыва.
Первой попыткой замкнуть написаннуюСтоксом систему уравнений стала опубликованная в 1860 году работа Римана [54 ]. В этой‑работе автор предположил, что при переходе через нормальный разрыв энтропия постоянна, идополнил систему Стокса (1.6) третьим уравнением. Объяснить возникающее при этомпредположении изменение энергии при переходе через разрыв Риман не смог. Независимо отРимана Рэнкин в 1869–1870 годах [55 , 56, 57] получил третье уравнение, дополняющее систему‑‑‑!27(1.6), в другом виде. Он установил связь между параметрами по сторонам ударной волны,рассмотрев непрерывно меняющиеся внутри неё состояния среды, в которой происходитравновесный теплообмен. Для замыкания системы уравнений Стокс ввел предположение, чтосуммарное количество теплоты, полученное средой, должно быть равно нулю. Используясоотношения равновесной термодинамики и формулы Стокса, Рэнкин получил выражения дляскорости распространения нормального разрыва по неподвижной средеpP⎫⎧] a 2 = S ⎨(γ + 1) + (γ − 1) ⎬ ,22⎭⎩(1.21)(обозначения - как в оригинале, не путать со скоростью звука "а") и скорости потока за ним] u = ( p − P)Sa(1.22)через известные давление P до разрыва и за ним p, а также известный удельный объем доразрыва S для совершенного газа (обозначения, даны, как в оригинале, сейчас удельный объемобозначают V).
Наиболее важным результатом Рэнкина является утверждение, что нормальныеразрывы всегда распространяются относительно неподвижной среды со сверхзвуковойскоростью, в то время как относительно среды за разрывом их скорость распространения всегдадозвуковая. Способ получения УДС на ударной волне, примененный Рэнкиным, приводит квыполнению всех законов сохранения, но он учитывает теплопроводность газа, а его вязкостьюпренебрегает, что не слишком обосновано, т.к.
вязкость и теплопроводность взаимосвязаны.Гюгонио получил условие на нормальном разрыве более строго, чем Рэнкин, как следствиезакона сохранения энергии, минуя рассмотрение состояния газа «внутри» ударной волны [58;‑1889]. Это условие совпадает с полученным ранее условием Рэнкина, но для его выводаГюгонио не потребовалось дополнительных предположений.
В результате, УДС на ударнойволне получили названия условия Рэнкина-Гюгонио.1.4 Косой скачок уплотнения и ударные полярыПодробный анализ газодинамических волн (изоэнтропических волн разрежения и сжатия)и косых скачков уплотнения, возникающих в плоских стационарных течениях невязкогонетеплопроводного совершенного газа, был опубликован в 1908 году Т. Майером [ 59].
В этой же‑работе определены параметры косого скачка уплотнения, образующегося при обтеканииплоского острого угла. Эта задача является важной для практики, т.к. обтекание наклоннойпреграды - одна из часто встречающихся причин появления скачка уплотнения в потоке газа.!28Начиная с этой работы Майера, в качестве основного параметра, характеризующего скачокуплотнения, рассматривают его интенсивность - отношение статических давлений ] J = p2 / p1по его сторонам.В современном виде УДС на скачках уплотнения были сформулированы В.Н.Усковым в1980 г. В дальнейшем они были развиты на случай одномерных бегущих волн [60; 2000 г.], а‑также косых бегущих ударных волн.Способы "определения" косого скачка.
Угол наклона скачка σ, его интенсивность J иугол отклонения потока на скачке β (рисунок 1.2-a) при заданных параметрах течения передскачком (M1, p1, p01, ρ) взаимно однозначно связаны между собой.!!a)!б)в)индексы: 1 - параметры до скачка, 2 - параметры за скачком, M - число Маха, p - давление, P0 полное давление, β - угол разворота потока, σ - угол наклона скачка уплотнения.Рисунок 1.2 - Определение косого скачка уплотнения при помощи угла наклона (а), угларазворота потока (б) и интенсивности (в).Задание любого из этих трех параметров позволяет вычислить два других. Если известен,например, угол разворота потока на скачке β, как на рисунке 1.2-б, когда он равен углу клина,на который натекает сверхзвуковой поток, то можно найти интенсивность и угол наклонаобразующегося косого скачка. Если известна интенсивность J, например, как вперерасширенной струе (рисунок 1.2-в), когда она равняется отношению давлений вокружающей среде к давлению на срезе сверхзвукового сопла (точка А, рисунок 1.2-в), томожно найти угол наклона скачка σ и угол разворота потока β (угол наклона границы струи вточке А) на скачке.
В задачах, когда скачок является результатом интерференции другихразрывов, чаще всего известен его угол наклона σ (рисунок 1.2-а), по которому можновычислить интенсивность и угол разворота потока β.Скачок принято задавать его интенсивностью J, но можно ввести и другой универсальныйпараметр - степень сжатия Е. Степень сжатия потока в ударно-волновом процессе принято!29характеризовать отношением плотностей E=ρ1/ρ2, которые в отсутствие внешнего подвода тепланазываются адиабатой. Если Ε<1, то имеет место расширение потока, если Ε>1, то сжатие.На скачке уплотнения степень сжатия Е однозначно связана с интенсивностью Jуравнением ударной адиабаты Рэнкина - Гюгонио (1.14).
Покажем, как выводится уравнениеЕ=Е(J). Давление р, температура T и плотность ρ связаны уравнением состояния МенделееваКлайперона]p8340= const =,ρTµ(1.23)которое для идеального газа (молекулярный вес и показатель адиабаты постоянны, энтальпия iпропорциональна температуре T) может быть переписано в виде:]i =γ p.γ −1 ρ(1.24)На скачке уплотнения уравнение энергии можно записать в виде уравнения ударной адиабатыРэнкина-Гюгонио] i2 − i1 =1p(J − 1)(1+ E) .2ρ(1.25)Тогда из (1.23) и (1.25) получим связь между степенью сжатия Е и интенсивностью J, которая вточности совпадает с уравнением (1.14)]E =1+ ε J.J +ε(1.26)Напомним, что величина ] ε = (γ − 1) / (γ + 1) представляет собой предел E при J→∞. Видно, чтона скачке он конечен, т.е. плотность не может возрастать бесконечно.Ударная поляра. Если рассмотреть проекцию импульса на нормаль к поверхностискачка, то, введя в уравнения (1.10-1.13) число Маха M=u/a и местную скорость звука] a 2 = γ p / ρ , после несложных преобразований, с учетом (1.25, 1.26) можно получить выражениедля интенсивности косого скачка уплотнения как функцию его угла наклона] Jσ = (1+ ε )M 2 sin 2 σ − ε ,(1.27)а также связь между углами поворота потока β и наклона скачка σ] tg β =M 2 sin 2 σ − 11M 2 − ( M 2 sin 2 σ − 1)1− εctgσ .(1.28)!30Уравнения (1.26-1.28) определяют при заданном М ударную поляру lnJ-β, (рисунок 1.3-1.6для разных γ, при М=2-5.).
За характерную форму ударные поляры называют такжесердевидными кривыми. Видно, что для каждого числа Маха имеется максимальнаяинтенсивность скачка] J m = (1+ ε )M 2 − ε ,(1.29)с использованием которой угол β можно выразить следующим образом] tgβ =Jm − J(1− ε )(J − 1).J + ε (J m + ε ) − (1− ε )(J − 1)(1.30)Если скачок задан интенсивностью J, то для вычисления угла β удобнее использовать (1.30),если углом наклона σ, то - (1.28).
Если скачок задан углом разворота потока β, то удобнеерешать уравнения (1.27-1.30) численно, хотя существует неявное решение в виде кубическогоуравнения относительно J, связывающее J-β. Для каждого β получается два решения дляскачков: со сверхзвуковым течением за ним и с дозвуковым.γ=1.4!Рисунок 1.3 - Ударная поляра при γ=1.4, число Маха изменяется от М=2 (самая маленькаяполяра) до М=5 (самая большая поляра) с шагом 0.2.!31!Рисунок 1.4 - Ударная поляра при γ=1.1, число Маха изменяется от 2 до 5 с шагом 0.2.!Рисунок 1.5 - Ударная поляра при γ=1.25, число Маха изменяется от 2 до 5 с шагом 0.2.!32]Рисунок 1.6 - Ударная поляра при γ=1.67, число Маха изменяется от 2 до 5 с шагом 0.2.Первые количественные экспериментальные результаты, которые можно было бысравнить с теорией, получены Вьелем в 1899 году [61].
Он проводил измерения скорости‑распространения ударной волны в трубе после разрыва мембраны (прообраз современнойударной трубы). Стодола в 1903 году [62 ] изучал течения внутри сопла на режиме с пусковым‑скачком уплотнения внутри него. Эти исследования позволили получить экспериментальноеподтверждение теории Стокса, Римана, Рэнкина и Гюгонио для одиночного разрыва.Исследования поляр. Проведенное В.Н.Усковым исследование сердцевидных кривыхпозволило установить их важные свойства: наличие огибающей, предельных углов отклоненияпотока на разрыве, "звуковых" точек, соответствующих разрывам, числа Маха за которымиравны единице.
Можно отметить, что наличие огибающей важно в задачах сверхзвуковойаэродинамики [63; 2014 г.], т.к. соответствует экстремумам давления на сторонах тела, летящего‑с заданным углом атаки, но с переменной скоростью [64]. Получены результаты для‑оптимальных (в смысле достижения экстремума некоторого параметра) одномерных бегущих[65; 2000] и двухмерных косых ударных волн [66 ; 2006 г.].‑‑!33Звуковая точка на поляре.
Часто возникает практически значимая задача затормозитьпоток до скорости меньше скорости звука, поэтому полезно уметь по заданному числу Мнабегающего потока вычислять интенсивность скачка, за которым М=1222] J S = M − 1 + ⎛ M − 1⎞ + ε M 2 − 1 + 1 .⎜⎝ 2 ⎟⎠2()(1.31)Актуальной является и обратная задача - вычисление по заданной интенсивности скачка числаМаха набегающего потока, при котором течение за скачком становится звуковым2] M S = 1+ J − 1 .J +ε(1.32)Передельный угол разворота потока.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
