Диссертация (1145329), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Создание физикоматематических моделей, описывающих УВП – предмет исследований. Представления о волнахкак средстве распространения звука были известны еще в античной Греции. Построениематематических моделей этих волн началось с работ Пуассона, было продолжено Риманом ипривело в середине XIX века, благодаря стараниям Стокса, Рэнкина, Гюгонио и других ученыхэтого и следующих столетий, к моделям ударных волн.!20Ударно-волновыми процессами [ 35 ] называются процессы преобразования‑газодинамической системы, имеющей параметры ] f , в систему с параметрами ] f̂ .] f → f̂(1.1)В уравнении (1.1) ] f и ] f̂ – множества газодинамических переменных до и после УВП.
Этимножества включают кинематические, термодинамические и теплофизические переменные,характеризующие параметры потока газа:- кинематические (] u − скорость,] w − ускорение),- термодинамические (] p − давление, ] ρ − плотность, ] T − температура),- ] f0 - соответствующие параметры торможения,] = p / ρ γ – инвариант Лапласа- а также изменение энтропии ] ΔS = Cv ln ϑ / ϑ , где ϑПуассона,- изменение ] h и ] h0 - энтальпии и полной энтальпии,- а также теплофизических параметров (теплоемкости ср и cV, показатель адиабаты γ,вязкости ν и пр.), которые могут изменяться в ходе УВП.Интенсивность УВП, как правило, характеризуется отношением статических давлений] J = p1 / p после УВП и до УВП.
Часто также используется обозначение ] J = p̂ / p , где ] p̂ −давление после УВП. Значения ] J c > 1 характеризуют уплотнение потока, а величины ] J r < 1 –его расширение (разряжение). Здесь и далее символ "с" означает сжатие (compression), а "r" разрежение (rarefaction).Газодинамические разрывы [36] представляют собой некоторую идеализацию области с‑резким изменением параметров f, заменяя её бесконечно тонкой поверхностью, на которойгазодинамические переменные изменяются скачком.
Газодинамические разрывы возникаюттолько в сверхзвуковых потоках, когда число Маха ] M = u a > 1 , где a-скорость звука)Сильные и слабые разрывы. ГДР в сверхзвуковых течениях бывают нулевого порядкаФ0, которые называются сильными разрывами. Это центр волны разрежения/сжатия [37, 38],скачок уплотнения и поверхность скольжения, на которых терпят разрыв газодинамическиепараметры течения (давление p, полное давление p0, скорость u, угол наклона вектора скоростиϑ). Разрывы первого порядка Ф1 называются слабыми разрывами (разрывные характеристики,слабые тангенциальные разрывы), на которых терпят разрыв первые производныегазодинамических переменных [39].
Можно определить особенности (разрывы) Фiпорядка.любого!21Отличие волн от разрывов заключается в том, что волны имеют конечнуюпротяженность и занимают область плавного изменения газодинамических переменных отзначений ] f до ] f̂ , заключенную между передним и задним фронтами волны. Разрыв имеетнулевую протяженность. Волны и разрывы некоторых типов (но не всех) являются УВП.Ударные волны (] D )относятся к газодинамическим разрывам [ 40], они могут‑зарождаться внутри исходного потока с известными параметрами, либо вноситься в потокизвне.
Моделью ударных волн ](D) является поверхность математического разрыва первогорода, при переходе через которую газодинамические переменные терпят разрыв ][ f ] = f̂ − f ≠ 0 .Частным случаем ] D –волн (ударных волн) являются стоячие в исходном сверхзвуковом потокеударные волны, когда скорость волны ] D = 0 . Такие стоячие волны часто называют скачкамиуплотнения (] σ ) .
Скачков и ударных волн разрежения не бывает. Ударные волны,образующиеся в результате химических реакций горения и взрыва, называютсядетонационными волнами.Реальная ширина ударной волны, как показал Прандтль [41], соизмерима с длиной λ‑свободного пробега молекул и может быть довольно большой в разреженных газах. В плотныхсредах она незначительна и модель математического разрыва нулевой протяженности вполнеадекватна. Первым сумел получить фотографию ударной волны в 1889 г. Эрнст Мах [42 ].‑Изоэнтропические волны представляют собой звуковые (акустические) поля, а такжепростые волны Римана ] (R) в нестационарных движениях газа и волны Прандтля-Майера ] (ω ) всверхзвуковых стационарных плоских потоках. Принято разделять волны разряжения ] Rr и ] ω r ,в которых отношение статических давлений ] J r ≡ p̂ / p < 1 и волны уплотнения (сжатия) ] Rc , ]ω cи ] D , в которых ] J c > 1 .
Здесь, как и раньше, символ "с" означает сжатие, а "r" - разрежение.Тангенциальные ] τ и контактные ] K (энтропийные) разрывы не пересекаются линиямитока. В тангенциальном разрыве вектор скорости коллинеарен плоскости разрыва, а вконтактном нет. Через ] τ и ] K газ не перетекает, эти разрывы разделяют движущиеся потокигазов с различными термодинамическими переменными, за исключением статическихдавлений.
Таким образом, тангенциальные и контактные разрывы не являются УВП.!221.2 Развитие представлений о природе газодинамических разрывовДифференциальные уравнения относительно плотности ρ]и потенциала скорости φ,описывающие одномерные не стационарные движения невязкого совершенногоизотермического газа, впервые были представлены в 1788 году в книге Лагранжа [43],‑обозначения - как в оригинале текста Лагранжа:ρ ∂ϕ 1 ⎛ ∂ϕ ⎞++ ⎜ ⎟ =0;D ∂t 2 ⎝ ∂x ⎠2] a 2 ln](1.2)∂ρ∂ 2 ϕ ∂ ρ ∂ϕ+ρ 2 += 0.∂t∂x∂x ∂x(1.3)В системе (1.2-1.3) a — скорость звука, D — плотность первоначально невозмущеннойсреды (сегодня плотность принято обозначать символом ρ, а Dобозначает скоростьраспространения волны). Для связи между давлением, плотностью и скоростью звука Лагранжиспользовал соотношение, ранее предложенное Ньютоном:] p = a 2 ρ .В 1808 году Пуассон [44] получил одномерное уравнение, описывающее движение‑идеального газа, в виде плоской волны:]∂ϕ∂ϕ ⎞ ⎤⎡⎛= F ⎢x + t ⎜ a − ⎟ ⎥ ,⎝∂x∂x ⎠ ⎦⎣(1.4)где F — некоторая произвольная функция, определяемая начальными и/или граничнымиусловиями.
В 1848 году Стокс [45] обратил внимание на то, что решения этих уравнений‑остаются непрерывными только в течение ограниченного промежутка времени.Интересно, что именно в такой постановке задача изучения движения идеального газа,содержащего разрывы, рассматривалась в конце 20-ого века научной школой советскогоматематика В.И.Арнольда [46; 1976 г.].‑Уравнение Пуассона описывает поле скоростей свободно движущихся по прямой частиц.Закон свободного движения частицы имеет вид x=φ(t)=x0+ut, где u –скорость частицы. Функцияφ удовлетворяет уравнению Ньютона.
По определению dφ/dt =u(t,φ). Продифференцировавпоследнее соотношение по t, приходим к уравнению, получившему название уравнения Эйлера]u∂u ∂u+= 0.∂x ∂t(1.5)!23Таким образом, описание движения при помощи уравнения Эйлера (1.5) для полягазодинамических переменных и при помощи уравнения Ньютона для частиц эквивалентны.Известно, что квазилинейные дифференциальные уравнения в частных производных решаютсяс помощью построения характеристик. Характеристики уравнения Эйлера эквивалентны законуНьютона для движущейся частицы [ 47] и задачу о распространении волны можно решить путем‑построения характеристик, вдоль которых движутся материальные частицы. На рисунке 1.1показано, как решается уравнение Эйлера с помощью характеристик в одномерном случае.]]а)б)Рисунок 1.1 - Решение уравнения Эйлера с помощью характеристик (а) и появление разрывав решении (б).На плоскости y-x задана начальная функция y=u0(x)t=0.
Уравнения характеристик t’=1,y’=0, x’=y. Если отложить от этой кривой горизонтальные линии, то вдоль каждой из нихчастицы будут двигаться со своей постоянной скоростью. Тогда в некоторые моменты времениt=t1, t2 … tn форма профиля скорости u(x) будет меняться.В некоторый момент времени (t2) отображение u(x) перестает быть графиком функции, т.е.имеются значения х, которым соответствует несколько значений u.В этой областинужновводить некоторую модель взаимодействия частиц. Например, в модели образования вселенной,предложенной Я.Б.Зельдовичем [48], учитывается расширение вселенной и гравитационное‑взаимодействие.В рассматриваемом нами примере сверхзвукового течения идеального газа необходимоввести модель неупругого столкновения частиц. Тогда в месте этого столкновения будетобразовываться ударная волна - разрыв параметров движения частиц (рисунок 1.1-б).
Врешении появляются разрывы, т.к. уравнение поля Эйлера перестает однозначно описыватьраспределение газодинамических переменных. Стокс в упомянутом выше труде первым ввелпонятие разрыва (discontinuity) и получил два условия для плотности ] ρ и скорости газа u посторонам разрыва, следующие из законов сохранения массы и количества движения:!24!] ρ1u1 − ρ 2u2 = ( ρ1 − ρ 2 )V ;!] ( ρ1u1 − ρ 2u2 )V − ( ρ1u12 − ρ 2u22 ) = a 2 ( ρ1 − ρ 2 ) .(1.6)!В (1.6) ] V — скорость распространения разрыва (обозначение - как в оригинале текста Стокса,сегодня скорость разрыва принято обозначать D), индексом "2" обозначены параметры заразрывом, индексом "1" — параметры до разрыва.Такие разрывы, на которых газодинамические параметры меняются скачком, впоследствииназвали сильными. Стокс отметил, что скачкообразное изменение параметров на разрывахявляется результатом пренебрежения вязкостью и теплопроводностью среды.Простейшей моделью неупругого столкновения частиц является уравнение Бюргерса [49;‑1936 г.], которое описывает газодинамическое поле в гладких областях пространства, ивзаимодействие частиц газа внутри ударной волны]∂u∂u∂2 u+u=ε 2 .∂t∂x∂x(1.7)При малой вязкости ε уравнение (1.7) приближает уравнение Эйлера в областях плавногоизменения параметров.Ирншоу [50; 1858 г.], [ 51; 1860 г.] рассмотрел одномерные нестационарные течения газа,‑‑как изотермические, так и адиабатические.
Им были получены решения в виде плоской волны,в которой с течением времени образуются области резкого изменения параметров, которые он,как и Стокс, назвал разрывами. Важную роль в анализе газодинамических разрывов,сверхзвуковых движений газа играет скорость распространения возмущений - скорость звука а.Ирншоу ввел следующую связь между давлением, плотностью и скоростью звука:] a = kµ , ] µ = p / ρ ,(1.8)где k — отношение удельной теплоемкости газа при постоянном давлении к удельнойтеплоемкости при постоянном объеме. Сегодня для обозначения показателя адиабатыиспользуется ] γ .1.3 Условия динамической совместности на разрывах и волнахСоотношения переменных ] f̂и ]fпо разные стороны газодинамических разрывовполучили название условий динамической совместимости [52 ].
УДС на стационарных разрывах‑представляют собой балансы удельных потоков!25- вещества] [ ρ un ] = ρ̂ ûn − ρ un = 0 ,(1.9)- нормальной компоненты импульса] ⎡⎣ p + ρ un2 ⎤⎦ = 0 ,(1.10)- тангенциальной компоненты импульса] [ ρ unuτ ] = 0 ,(1.11)] [ ρ un h0 ] = 0 ,(1.12)- энергиигде ] un и ] uτ проекции вектора скорости на направления нормальное к плоскости разрыва ипараллельное ей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
