Диссертация (1145329), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Наиболееизвестным из таких уравнений является уравнение Ван-дер-Ваальса [161 ]‑] p=ρ RT− Aρ 2 ,1− Bρ(2.28)в котором эмпирическая константа A учитывает взаимное притяжение молекул, а константа Bучитывает тот факт, что молекулы занимают в пространстве некоторый ненулевой объем.Бертло в 1899 году модернизировал это уравнение для очень высоких температур [162]‑] p=ρ RTAρ 2.−1− BρT(2.29)Уравнение (2.29) позволяет получить выражение для удельной теплоемкости при постоянномобъеме⎛ ∂U ⎞=c ,]⎜⎝ ∂T ⎟⎠ v V(2.30)в котором термические и калорические эффекты несовершенства газа разделены.
Для этогопродифференцируем по температуре уравнение Джоуля-Томсона [163], в результате получим]‑∂ ⎛ ∂U ⎞∂ ⎛ ⎛ ∂p⎞=T−⎜⎟∂T ⎝ ∂υ ⎠ ∂T ⎜⎝ ⎜⎝ ∂T ⎟⎠ P⎞p⎟ .⎠(2.31)!82Меняя в (2.31) порядок производных, с учетом (2.30), можно получить выражение⎛ ∂2 p ⎞⎛ ∂c ⎞]⎜ V ⎟ =T ⎜ 2⎟ ,⎝ ∂υ ⎠ T⎝ ∂T ⎠ P(2.32)проинтегрировав которое с учетом, окончательно получим] cV =2cρ+ c' .T2(2.33)Первый член выражения (2.33) определяет зависимость удельной теплоемкости от плотностипри больших давлениях.
Второй член с' в (2.33) выражения представляет собой эмпирическуюконстанту, определяющая силу взаимодействия молекул, которая от плотности не зависит, номожет зависеть от температуры. С физической точки зрения появление этой константы означаетто, что в многоатомных газах атомы в молекулах могут совершать колебания и это будет даватьдополнительный вклад в уровень внутренней энергии.При нормальных температурах этот эффект можно не учитывать. Для температур,значительно отличающихся от комнатных, считая колебания атомов гармоническими, а газдвухатомным, можно записать уравнение⎡⎤θ2⎢⎥T⎛θ⎞e⎥,] c' = cVi ⎢1+ (γ i − 1) ⎜ ⎟2θ⎝T⎠ ⎛⎢⎥⎞1− e T ⎥⎢⎣⎝⎠ ⎦(2.34)где сVi - удельная теплоемкость при постоянном давлении в идеальном газе, а θ-энергетическаяпостоянная, равная 3056.4К. Для получения теплоемкости при постоянном давлении,используем выражение связи двух теплоемкостей:2⎛∂p ⎞⎝ ∂T ⎠ V] c p = cV − T.⎛∂p ⎞⎝ ∂v ⎠ T(2.35)Учитывая, что в идеальном газе cV=cP - R, получим⎡⎧⎡2 − Bρcρ⎢⎪⎢θ+2T⎛⎞γ − 1 ⎪⎛ θ ⎞⎢e2cρ ⎢1− Bρ 2RT 2+1+] c p = c pi ⎢1+ ⎜ i ⎟ ⎨⎜ ⎟2θ12cργ⎝T⎠ ⎛RT 2 ⎢⎢ ⎝ i ⎠⎪−⎢1− e T ⎞2⎝⎠RT 2⎪⎢⎢⎣ (1− Bρ )⎩⎣⎤ ⎫⎤⎥ ⎪⎥⎥ ⎪⎥⎥ ⎬⎥ .⎥ ⎪⎥⎥⎦ ⎪⎭ ⎥⎦(2.36)!83Поделив (2.36) на (2.35) для случая умеренных давлений, когда коэффициенты B и c можносчитать величинами второго порядка малости, получим выражение для зависимости показателяадиабаты от температуры2⎡γ i − 1 ⎢⎛ θ ⎞eθ T] γ (T ) = 1+1+ (γ i − 1) ⎢⎜⎝ T ⎟⎠ 1− eθ T⎣()⎤⎥.2⎥⎦(2.37)Для каждого типа газов выражение (2.37) имеет свой предел при T→∞.
Например, приγi=1.4 зависимость γ(Τ) стремится к 1.286.На рисунке 2.26 приведено сравнение показателя адиабаты для двухатомного газа,вычисленного с помощью уравнения (2.42), с экспериментальными данными и линейнойаппроксимацией.!Рисунок 2.9 - Сравнение зависимости показателя адиабаты от температуры с линейнымприближением и экспериментальными данными (красные треугольники - [ 164], синиеквадраты - [165]).‑‑!84Видно, что разработанная методика расчета обеспечивает удовлетворительное совпадениес результатами эксперимента. Линейная же аппроксимация может рассматриваться только вкачестве первого приближения.График также наглядно демонстрируют, что показатель адиабаты нельзя считатьпостоянным уже на нижнем температурном пределе воспламенения большинства топливновоздушных смесей.
Таким образом, калорическое несовершенство газа необходимо обязательноучитывать при изучении детонационных процессов.2.4.4 Соотношения на скачке уплотнения для калорически несовершенного газаЗакономерен вопрос - можно ли использовать известные условия динамическойсовместности на скачке уплотнения, выведенные из законов сохранения в рамках идеальногосовершенного газа, для расчета интерференции скачков в несовершенном газе. Время,необходимое для установления термодинамического равновесия в газе за волной, может бытьоценено из анализа скоростей протекания химических реакций. В тех случаях, когда ширинарелаксационного слоя считается весьма малой по сравнению с характерным линейныммасштабом области течения, этот слой вместе с предшествующей ударной волной можнозаменить одним разрывом.В этой модели газ перед скачком находится в "замороженном" состоянии, а за скачком - вравновесном состоянии.
В окрестности точки интерференции разрывов, в силу малого временипребывания частиц газа между приходящими и исходящими разрывами, можно не учитыватьфизико-химические превращения за приходящими разрывами, и производить расчет течения вэтой области по формулам совершенного газа. Вне малой окрестности точки интерференциитечение считается равновесным, и параметры за скачком уплотнения определяются на основесоотношений,!2 = !p − p , ] υ = υ! , ] i + υ 2 / 2 = !i + υ! 2 / 2 ,! , ] ρυ 2 − ρυ] ρυ n = ρυnnnnttn(2.38)связывающих параметры на фронте ударной волны (в формулах (2.38) и далее "крышкой"обозначены параметры за скачком уплотнения).
Это позволяет записать уравнение энергии(уравнение ударной адиабаты) в виде] !i − i =1p(J − 1)(1+ E) .2ρ(2.39)!85В совершенном газе показатель адиабаты и молекулярный вес - постоянны, величины p, ρ, Tсвязаны уравнением состояния Менделеева-Клапейрона, и энтальпия (i) прямопропорциональна температуре , т.е.]i =γ p !γ !p; ]i =.γ −1 ργ − 1 ρ!(2.40)Из (2.39) с учетом калорического уравнения (2.40) вытекает уравнение ударной адиабатыРэнкина-Гюгонио.
В идеальном калорически несовершенном газе показатель адиабаты зависитот температуры γ✱=γ✱(T), но калорическое уравнение (2.39) остается справедливым, чтопозволяет записать его в квазисовершенной форме.]i =γ* p ˆγˆ P̂, ]i = *.γ * −1 ργˆ* − 1 ρ̂(2.41)В (2.41) переменный показатель адиабаты помечен "✱", чтобы отличать его от постоянногопоказателя адиабаты идеального совершенного газа. Тогда уравнение ударной адиабаты приметвид]1+ ε̂ *1+ ε *JE −= (J − 1)(1+ E) .ε̂ *ε*(2.42)Можно ввести понятие эффективного показателя адиабаты γe, такого, что при γ✱=γe,уравнение ударной адиабаты (2.42) можно записать в квазисовершенной форме] E = (1+ ε e J ) / (J + ε e ) .(2.43)Сравнивая (2.43) с (2.42), получим выражение для эффективного показателя адиабаты γeε e / ε * = 1− (ε * − ε̂ * )(1+ ε̂ * / J ) / (ε * J − ε̂ * / J )ε̂ * .(2.44)Дополнительно можно ввести эффективное число Маха такое, чтоu2û 22M̂ =]M =p, ] ep̂ .γeγeρρ̂2e(2.45)Эффективные и местные числа Маха связаны очевидным соотношением22] γ M = γ eM e .Подставляя γe, Me в условия динамической совместности на скачке(2.46)!86] ûn2 / un = 1−p(J − 1)(1+ E) ,ρu 2] sin 2 σ =] tgβ = tgσ [1+(2.47)J −1 p,1− E ρ u 2(2.48)E(1+ tg 2σ )]−1 ,1− E(2.49)которые следуют из законов сохранения (2.38), нетрудно убедиться, что они имеют точно такойже вид, как и для идеального совершенного газа.
Так, основные уравнения косого скачкауплотнения могут быть записаны в виде аналогичном случаю идеального совершенного газа] J = (1+ ε e )M e2 sin 2 σ − ε e ,(2.50)1/2⎡ M e2 − (1− Ee )(J + 1) ⎤] M̂ e = ⎢⎥ .Ee J⎣⎦(2.51)Таким образом, для расчета интерференции скачков уплотнения можно использоватьизвестные условия динамической совместности (2.47-2.48) и основные соотношения для косогоскачка уплотнения (2.50-2.51), полученные в рамках модели идеального совершенного газа.Показатель адиабаты при этом считается переменным.В случае калорически несовершенного, но термически совершенного газа, показательадиабаты вычисляется итерациями при помощи соотношения (2.37).
Если же газ еще итермически несовершенный, то показатель адиабаты определяется из уравнения состояния длятермически несовершенного газа.2.4.5 Влияние калорического несовершенства газа на форму ударной полярыЗадачи об интерференции газодинамических разрывов часто удобно решать, рассматриваяпересечение ударных поляр, поэтому важно знать, как будет меняться форма поляры сизменением температуры, если газ калорически несовершенный.На рисунках 2.10 и 2.11 приведены ударные поляры для чисел Маха М=2.5 и М=3.5,построенные для различных температур перед скачком. Видно, что максимальнаяинтенсивность скачка от температуры зависит сравнительно слабо, а вот предельный уголразворота потока на скачке - довольно существенно.!87]Рисунок 2.10 - Ударная поляра для калорически несовершенного двухатомного газа.]Рисунок 2.11 - Ударная поляра для калорически несовершенного двухатомного газа.На рисунке 2.12 приведена зависимость предельного угла разворота на скачке приразличных температурах и числах Маха перед скачком.
Черная кривая соответствует Т=300К,синяя - Т=500К, красная - 1500К. Видно, что с ростом М кривые, соответствующие Т=500К иТ=1500К сближаются, стремясь к некоторой ассимптотической кривой, следовательно можноиспользовать ассимптотическое значение показателя адиабаты γ=1.286, что избавляет отнеобходимости вычислять его итерациями.!88!Рисунок 2.12 - Зависимость предельного угла разворота потока на скачке от числа Маха итемпературы перед скачком.2.5 Задачи отыскания оптимальных свойств одиночных разрывовМожно сформулировать несколько задач для отыскания оптимальных свойств одиночныхгазодинамических разрывов, соответствующих заданным критериям оптимальности.2.5.1 Минимальное давление запуска соплаПри запуске сопла внутри него образуется пусковая ударная волна (ПУВ), на которойсверхзвуковой поток тормозится до дозвуковой скорости.
По мере увеличения полного давленияПУВ перемещается ближе к срезу сопла. Полное давление, при котором ПУВ достигает срезасопла, называется давлением запуска сопла. При дальнейшем увеличении полного давления сосреза сопла истекает перерасширенная сверхзвуковая струя, а на кромке сопла образуется косойскачок уплотнения, который падает на ось (плоскость) симметрии. Чем меньше полноедавление запуска сопла, тем меньше потери.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
