Диссертация (1145329), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Не совсем ясно, насколько обоснованным являетсяприменение условий динамической совместности, основанных на адиабате Рэнкина-Гюгониодля расчета параметров за скачком в реальном вязком и теплопроводном газе. Как вообще могутзарождаться газодинамические разрывы и возникающие из них ударно-волновые структуры, вочто и при каких условиях они могут трансформироваться.Классическая теория не позволяет предсказывать направления перестроек УВС приизменении параметра, не дает методов отбора правильных решений, когда их может бытьнесколько.
Полностью или не до конца изучены некоторые явления, например, фокусцентрированной волны сжатия. Незавершенными являются разделы, посвященныедифференциальным свойствам разрывов, свойствам оптимальности и областям существованияУВС различного типа. Несмотря на накопленный большой объем экспериментальнойинформации остается открытым вопрос о критерии переходов между МИ и РИ в условияхгистерезиса. Решению перечисленных выше задач посвящены последующие главы работы.✹ !69Глава 2 Одиночные газодинамические разрывы2.1 Ударная волна с позиции теории особенностей гладких отображенийПусть в начальный момент времени t0 вдоль оси x движется одномерная волна (рисунок2.1), состоящая из частиц, которые не взаимодействуют друг с другом, и имеется начальноераспределение скорости этих частиц u(x).
Движение каждой частицы подчиняется законуНьютона, а движение их всех вместе как сплошной среды - уравнениям Эйлера (см.п.1.2). Вкаждой точке на оси x, в которой определена своя скорость u, имеют место собственныеусловия вдоль характеристики. Условия на характеристиках определяют изменение скорости uкаждой точки внутри волны с течением времени. Тогда, по мере распространения волны вдольоси x, профиль скорости (распределение u(x) внутри волны) будет деформироваться.]Рисунок 2.1 - Появление неоднозначности в решении.В некоторый момент времени (t2 на рисунке 2.1) отображение u(x) перестает бытьграфиком функции, т.е.
имеются значения х, которым соответствует несколько значений u. Есливвести новую координату - время t, то трансформация профиля скорости u(x) будет описыватьсяповерхностью в трехмерном пространстве (рисунок 2.2). Область неоднозначности на рисунке2.1 представлена на рисунке 2.2 сборкой трехмерной поверхности, т.е. в отображениипоявляется особенность.
Появляется она в момент времени t=t1, когда происходитопрокидывание профиля скорости (рисунок 2.1 в центре, t=t1). На поверхности этомусоответствует точка сборки, помеченная на рисунке 2.2 кружком. В этой критической точкеповерхность вырожденная, т.е. производная обращается в бесконечность. С течением времениt>t1, критическая точка распадается на две точки, которые описывают на трехмернойповерхности кривую, изображенную на рисунке 2.2 сплошной линией.
Во всех точках этойкривой производные обращаются в бесконечность и кривая образует критическое множество.!70\Рисунок 2.2 - Сборка профиля скорости и появление ударной волны.Проекция критического множества на плоскость x-t образует каустику (в данном случаеполукубическую параболу). Если мы имеем дело с разреженными средами, как в примере сраспределением галактик в космическом пространстве (см. п.1.2), каустика будет представлятьсобой геометрическое место с наибольшей плотностью частиц.
Поскольку в реальнойдействительности свободное проникновение частиц идеального газа друг сквозь друганевозможно, то, начиная с момента t=t1, всегда имеет место взаимодействие частиц, и вдополнение к уравнениям Эйлера необходимо вводить некоторую модель взаимодействиячастиц. В теории ударных волн принято заменять область неоднозначности разрывом первогорода (рисунок 2.3). На этом рисунке разрыв имитирует ударную волну, перемещающуюся в!пространстве в соответствии с законом x=s(t) с мгновенной скоростью V] .
Ударная волна,!перемещаясь, увлекает за собой газ, поэтому u2>u1. Соотношения V , u2 и u1 определеныусловиями динамической совместности на газодинамическом разрыве, являющимисяследствием законов сохранения. Следовательно, вертикальная линия, соответствующая x=s(t),не может быть проведена произвольно (более подробно этот вопрос рассмотрен далее в п.2.2).]а)б)Рисунок 2.3 - Опрокидывание фронта волны (а) и газодинамический разрыв (б).!71Разрыву соответствует вертикальный кусок плоскости, вставленный в трехмернуюповерхность, который проецируется в луч, называемый множеством Максвелла (рисунок 2.4а). Концевой точке множества Максвелла соответствует точка зарождения ударной волны.Отсюда следует важный вывод - однажды возникнув, разрыв не может исчезнуть.Описанный только что принцип переключения с одного участка поверхности на другойназывается принципом Максвелла.
Однако, он не единственный, существует и другой принцип максимального промедления (рисунок 2.4-б).]]а)б)1 - верхний лист поверхности сборки, 2 - нижний лист поверхности сборки, 3 - линиякритического множества на вернем листе, 4 - линия критического множества на нижнем листе,5 - область регулярных значений, 6 - каустика.Рисунок 2.4 - Иллюстрация принципа Максвелла (а) и принципа максимальногопромедления (б).2.2 Законы сохранения на разрыве, возникающем в простой волнеВернемся к примеру из п.2.1 с одномерной простой волной невзаимодействующих друг сдругом частиц, в котором было продемонстрировано зарождение разрыва внутри такой волны.Если записать уравнения свободного движения отдельной частицы (принцип Лагранжа) в видесистемы]dxdu= u,= 0,dtdt(2.1)!72то, перейдя к уравнениям в частных производных для сплошной среды (принцип Эйлера),получим уравнение простой волны]∂u∂u+u= 0.∂t∂x(2.2)В задаче с начальными условиями, когда в момент времени t=t0 задано распределение u=u0(x),решение (2.2) можно найти, интегрируя систему (2.1) при помощи метода характеристик (см.
п.1.2 и 2.1). В рассматриваемом случае метод характеристик заключается в построении прямыхлиний (линий характеристик) на плоскости x-t, угол наклона которых равен u на этой линии(условия на характеристиках). Если распределение таково, что характеристики пересекаются, тос течением времени в простой волне образуется разрыв, но возможно, конечно, и реальноеопрокидывание фронта, например, при образовании барашка на гребне морской волны.
Взадачах газо- и гидродинамики фактором, препятствующим опрокидыванию, являетсядиссипация. Она приводит к образованию ударной волны, для описания которой частоиспользуют уравнение Бюргерса с исчезающей вязкостью ε.]∂u∂u∂2 u+u=ε 2 .∂t∂x∂x(2.3)При ε→0 оно стремится к уравнению Эйлера в областях плавного изменения параметров(рисунок - 2.5).]]а)б)Рисунок 2.5 - Замена уравнения Эйлера (а) с нулевой вязкостью ε=0 уравнением Бюргерса(б) с исчезающей вязкостью ε→0.В области резкого изменения скорости u, т.е. в пределах фронта ударной волны, уравнениеБюргерса является уравнением, подобным уравнению теплопроводности (об этом подробнее - вп.2.3). Ширина фронта ударной волны тем меньше, чем меньше коэффициент вязкости ε,поэтому представляется логичным в пределе ε→0 воспользоваться решением уравненияпростой волны (2.1-2.2), исключив неоднозначность введением бесконечно быстрого измененияпрофиля скорости, т.е.
разрыва (рисунок 2.4-б).!73Рассмотрим, как определить место расположения разрыва в области неоднозначности.Пусть в начальный момент времени u=0 везде, кроме простой волны, тогда преобразовавуравнение 2.3 в вид∂u ∂ ⎛ u 2 ⎞+= 0,]∂t ∂x ⎜⎝ 2 ⎟⎠(2.4)и проинтегрировав (2.4) по x, получим∞]dS= 0, S = ∫ u(x)dx ,dt−∞(2.5)т.е. площадь, ограниченная профилем u(x) должна быть одной и той же в любой моментвремени.
Тогда условие 2.5 выполняется и при введении разрыва (рисунок 2.5-б), для чегообласти по сторонам разрыва, заштрихованные на рисунке 2.3-а, должны быть равны.Мы только что пришли к достаточно глубокому выводу - множество Максвелла на рисунке2.4-а делит каустику (6 на рисунке 2.8-б) строго пополам. В теории особенностейгарантируется, что любая каустика волнового фронта подходящей заменой переменных(диффеоморфизмом) может быть выпрямлена и сделана симметричной (рисунок 2.6) и еёмножество Максвелла делит её строго пополам.]Рисунок 2.6 - Выпрямление каустики волнового фронта.Дадим этому факту качественное объяснение. На рисунке 2.7 изображена поверхностькатастрофы сборки (а), изображающая процесс образования ударной волны внутри простойволны.Прямыми линиями показаны характеристики.
Для образования разрыва проекциихарактеристик на нижнюю плоскость параметров должны пересекаться на некоторой линии. Нотаких линий может быть множество внутри области каустики.!74]]а)б)1, 2 - поверхности складок, 3 - поверхность "быстрого" движения, dp - точка "ласточкин хвост",pl - линии сборок, - - - множество Максвелла.Рисунок 2.7 - Двухмерное многообразие катастрофы сборки (а) семейства потенциальныхфункций F=F(x,a,b), зависящих от двух параметров a и b, в трехмерном пространстве x-ab, соответствующее множеству критических точек семейства функций F, и поверхность(б), определяемая значениями функций F=F(x,a,b) в этих критических точках.Если вычислить значения семейства функций, зависящих от параметров, множествокритических значений которого изображено на рисунке 2.7-а, в точках, принадлежащих этомумножеству, то получится поверхность, приведенная на рисунке 2.7-б.
Линия самопересеченияэтой поверхности образует собой множество Максвелла, которое и задает положение разрывавнутри волны (рисунок 2.7-б).Рассмотрим выполнение законов сохранения на разрыве и выполнение граничныхусловий. В рассмотренном выше примере простой волны, единственная переменная, длякоторой можно составить граничные условия, является скорость u. Перейдем в системукоординат, движущуюся вместе с разрывом со скоростью D, при помощи преобразованияt] x ′ = x − ∫ D(τ )dτ .(2.6)0Тогда уравнение (2.6) запишется в виде]∂u∂u ∂ ⎛ u 2 ⎞−D + ⎜ ⎟ = 0.∂t∂x ∂x ⎝ 2 ⎠(2.7)Устремим точку x1 к разрыву справа, а x2 - слева, проинтегрируем уравнение (2.7) и получим!75⎛ u2 u2 ⎞u +u] −D(u2 − u1 ) + ⎜ 2 − 1 ⎟ = 0 или ] D = 1 2 .2⎝ 2 2⎠(2.8)Таким образом, если в начальных условиях задан разрыв скорости, то скоростьраспространения данного разрыва определена уравнением (2.8).
Вообще, на разрыве можетбыть сформулирован закон сохранения для произвольной сохраняющейся величины в видеуравнения]∂P ∂Q+= 0,∂t ∂x(2.9)где P - плотность этой величины, Q - поток величины. Тогда для каждого закона сохранения(2.9) можно сформулировать граничные условиях на разрыве в виде -D[P]+[Q]=0, в частности,это могут быть УДС на одномерной ударной волне, приведенные в п.1.3.Таким образом, выполненный анализ условий сохранения на волне, а такжегеометриче ский анализ, выполненный методами теории Уитни, показали, чтогазодинамическому разрыву в идеальном газе соответствует множество Максвелла, котороеделит область неоднозначности решения уравнений Эйлера строго пополам.2.3 Уравнение Бюргерса как модель ударной волны в среде с исчезающей вязкостьюи связь с "функцией минимума"Для начала, заметим, что уравнение Бюргерса (2.3) может быть записано в виде законасохранения (2.9)]∂u ∂ ⎛ u 2∂u ⎞+ ⎜ − ε ⎟ = 0,∂t ∂x ⎝ 2∂x ⎠(2.10)т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
