Диссертация (1145329), страница 17
Текст из файла (страница 17)
pRI WSEHOSOBYH ZNA^ENIQH INTENSIWNOSTI, NE RAWNYH Jp , KRIWIZNA SKA^KA KONE^NA. w ^ASTNOSTI,PRI J ! 1 (WYROVDENIE W SLABYJ RAZRYW), PRI J ! Jmax (PRQMOJ SKA^OK) I PRI J = J (M)ONA RAWNA!93При малых числах Маха величина кривизна скачка положительна и возрастает с ростоминтенсивности скачка на участке (1; Jp), стремясь при J → Jp к бесконечности. ИнтенсивностьJp (так называемая точка постоянного давления) находится из условия А14 = 0 и всегда соответствует дозвуковому течению за падающим скачком.
При J > Jp кривизна скачкаотрицательна, а абсолютные величины кривизны заметно меньше, чем при J > Jp, что хорошовидно на рисунке 2.15. При М<Ма в области значения J<Jp появляется минимум кривизны.Ма=((2-ε)(1-ε))1/2 = 1.483. Значение кривизны скачка в точке минимума падает до нуля при числеМаха Мb= 1.571 и интенсивности Jb= 1.242, а в дальнейшем становится отрицательным.
Причисле Маха Mс = (2(1 − ε)/(1 − 2ε))1/2 = 1.581 впервые становится отрицательной кривизнаскачка, вырождающегося в слабый разрыв. При M > Mс интенсивность скачка быстро растет идостигает значения Jd = 2.699 при Md = 1.787. Течение за скачком, прямолинейным вблизикромки сопла, становится дозвуковым. Области нерасчетности струи, соответствующие J=Jp,требуют к себе пристального внимания, т.к. малое возмущение струи, например, акустическойволной будет, будет вызывать скачкообразное изменение геометрии скачка уплотнения в целом,т.к. (как будет показано в следующем пункте) его форма существенно зависит от кривизны вначальной точке.2.6.3 Построение скачка уплотнения в затопленной струеВ затопленных перерасширенных и недорасширенных струях с умереннойнерасчетностью давление в сжатом слое за скачком уплотнения остается постоянным, т.е.] N̂1 = 0 .
Это условие позволяет найти кривизну скачка в любой его точке, если известен уголнаклона скачка и параметры течения перед ним. Впервые подобное решение былоопубликовано в работе В.Н.Ускова и П.В.Булата [189].Кривизна скачка уплотнения в равномерном потоке рассчитывается наиболее просто] Kσ =dσdσA δ= sin σ= − 14 .dwdxA15 y(2.66)Начальное условие для уравнения (2.66) формулируется в виде соотношения для угла наклонаскачка на кромке сопла] Ja =1 pHpH=== (1+ ε )M a2 sin 2 σ a − ε .n pa π (M a )p0Уравнение (2.66) с учетом начальных условий (2.67) может быть проинтегрировано(2.67)!94⎛ J − 1 ⎞ ⎛ 1+ ε J a ⎞]y=⎜ a ⎟ ⎜⎝ J − 1 ⎠ ⎝ 1+ ε J ⎟⎠23−4 ε2εJm − Ja.Jm − J(2.68)Аналогичное параметрическое уравнение для x(J) может быть получено аналитически прицелых к=(3-2ε)/2ε, в частности для воздуха (к=8, γ=7/5), но выражение получается громоздким.Были проведены расчеты формы падающего скачка уплотнения в перерасширенных струях,истекающих из профилированных сопел (рисунок 2.16-2.18).]Рисунок 2.16 - Скачок уплотнения в перерасширенной струе, истекающей изпрофилированного сопла.
Ма=2.]Рисунок 2.17 - Скачок уплотнения в перерасширенной струе, истекающей изпрофилированного сопла. Ма=2.5.!95Рисунок 2.18 - Скачок уплотнения в перерасширенной струе, истекающей изпрофилированного сопла. Ма=3.Результаты сравнивались с данными, полученными методом характеристик (отмечены нарисунках символами) и WENO-методом 4-ого порядка.
Расчеты завершались в момент, когдатечение за скачком уплотнения становилось дозвуковым. Считалось, что в этот моментпроисходит образование диска Маха. Видно, что совпадение геометрии скачка, полученной поописанной выше методике и методом характеристик идеальное.Коническое сопло. В случае конического сопла поток перед скачком аппроксимируется течением от точечного источника. Линии тока перед скачком в этом случае представляют собойпрямые линии, а неизобаричность течения вдоль линий тока определяется выражением] N1 =2γ M 2,S (M 2 − 1)(2.69)где расстояние от центра источника связано с числом Маха выражением((⎧ M 2 1+ ε M 2 − 1()⎪ a]S = ⎨⎪ M 2 1+ ε ( M a2 − 1)⎩))⎫⎪1 ⎬ sin ϑ a .2⎪⎭12(2.70)Постоянство давления вдоль линий тока в сжатом слое перерасширенной струи позволяетопределить кривизну скачка в любой его точке] Kσ =dσ( A N + A14 / y ) .sin σ = − 11 1dSA15(2.71)!96Коэффициенты A11, A14, A15, как и прежде, являются функциями числа Маха и угла наклонавектора скорости перед скачком, а также интенсивности самого скачка в рассматриваемойточке.
Поскольку в случае конического сопла скачок может содержать точки перегиба, т.е.функция Kσ(y) не является априори монотонной, то уравнение (2.71) удобно интегрировать вполярных координатах, связанных с центром источника, используя в качестве независимойпеременной угол наклона вектора скорости ϑ. В результате для нахождения формы скачканеобходимо проинтегрировать ниже следующую систему уравнений в пределах ϑ⊂{ϑа,0}dM=dϑ{( J m (M ) + ε )( J m (M ) − J ( M ))12} r(M ),1⎧ J(M ) + ε ⎫ 2dJ2]= 2S (M )(1+ ε )M Kσ (ϑ , M , J ) ⎨⎬ ,dϑ⎩ J m (M ) + ε ⎭r(M ) =(M4 1+ ε ( M − 1)2)−(2.72)1.2MНа рисунках 2.19 - 2.21 приведены результаты расчета скачка при различных числах Маха, нерасчетностях и показателях адиабаты.
Видно, что чем меньше нерасчетность струи, тем большекривизна скачка. Увеличение числа Маха при прочих равных условиях уменьшает кривизнускачка. Увеличение показателя адиабата также уменьшает кривизну скачка. Нулевой кривизнескачка соответствует интенсивность Jq, удовлетворяющая уравнению] A11 N1 + A14δ= 0.y(2.73)]Рисунок 2.19 - Скачок в перерасширенной струе, истекающей из конического сопла.!97]]Рисунок 2.19 (продолжение) - Скачок уплотнения в перерасширенной струе, истекающейиз конического сопла.]Рисунок 2.20 - Зависимость формы скачка от Ma.!98]Рисунок 2.21 - Зависимость формы скачка от показателя адиабаты.2.7 Кривизна тангенциального разрыва и линий токаИзвестное значение Кσ дает возможность с помощью ДУДС найти Кτ⎡⎛ A − A25 A11 ⎞A25 ⎤] Kτ = N 2 = c2 ⎢⎜ 21(2.74)N+A−⎥.24⎟⎠ 1A15A15 ⎦⎣⎝Рассмотрим характер поведения Кτ на примере границы перерасширенной сверхзвуковойструи.
При аппроксимации течения в сопле течением от источника величина N1 определяетсяформулами (2.69-2.70). Результаты расчетов кривизны границы на кромке сопла по формулам(2.69) и (2.74) показывают, что при больших числах Маха (Ма>2.5) знаки кривизн Кσ и Кτсовпадают. При меньших Ма зависимости функций кривизн от нерасчетности могут менятьзнак и иметь разрыв. В работах [189, 219] приведены графики зависимости кривизны границы искачка уплотнения на кромке сопла в перерасширенной струе. Они имеют разрывы второгорода, подобные разрывам в зависимости Кσ(n), см. рисунок 2.14. Разрыв графика Кτ(n) лежит вобласти нерасчетностей, соответствующих отрывному режиму течения внутри сопла.
Приотрывном истечении реальное отношение давлений внутри сопла в точке отрыва и насвободной границе струи соответствует нерасчетности струи 0.8-0.95. Таким образом, вреальности разрывные решения не реализуются, и зависимость Кτ(n) гладкая.Центр волны разрежения также является газодинамическим разрывом. Течение вокрестности кромки сопла в недорасширенной струе сложнее случая перерасширенной струи.Центрированная волна имеет два фронта (передний и задний), являющиеся разрывнымихарактеристиками.
На кромке сопла без потери общности можно считать, что угол наклонавектора скорости и число Маха внутри волны зависят только от полярного угла , как и в!99плоской волне Прандтля-Майера (см. рисунок 2.22). Однако, при вычислении кривизныграницы осесимметричность, очевидно, необходимо учитывать. Это следует из выражения 2.74,с которым должно совпадать решение для кривизны недорасширенной струи при n=1.]Рисунок 2.22 - Разрывная характеристика в волне Прандтля-Майера.Для нахождения кривизны границы можно воспользоваться теоремой об Uχ - функции (п.1.10), которая гласит, что ] U χ =∂(ω + χϑ ) не терпит разрыва на разрывной характеристике.
С∂sдругой стороны, внутри волны Прандтля - Майера Uχ - функция зависит только от числа Маха,т.к. в течении от источника она определяется формулой (2.69), а значит, можно найти еёзначение за последней разрывной характеристикой волны разрежения, подставив в (2.69)М=МН. Поскольку кривизна линий тока в течении от источника и градиент давления на границеструи равны нулю, то из исходя из этих условий, В.Н.Усковым получено выражение длякривизны границы недорасширенной струидля случая безвихревого течения перед волнойразрежения, которое приведено в его докторской диссертации1+ δ sin ϑ] Kτ =y cos α H⎛ 1+ ε ctgα a ⎞sin α a sin α H ⎜⎝ 1+ ε ctgα H ⎟⎠−2(1+δ ) ε.(2.75)При наличии завихренности, например, пограничного слоя на стенке сопла, решение длякривизны границы недорасширенной струи на кромке сопла сложнее]V (zH ) − Φ(zH , δ ,ζ ) = V (za ) − Φ(za , δ ,ζ ),2U − fδ (z) − fζ (z)∂V (z) =,U = U χ = (ω + χϑ ),1/ε2∂ssin z cos z (1+ ε ctg z )Φ(zH , δ ,ζ ) =fδ (z) =1Cζ−δIδ +Iζ , Cζ = ζ a sin α a cos ε za ,2y ε2γ εsin ϑ tgαN sin 2 α, fζ (z) = 3, z = arctg( ε ctgα )yγ(2.76)!100Из (2.76) следует, что завихренность течения перед волной разрежения (например,вследствие наличия пограничного слоя на стенке сопла) сильно увеличивает кривизну границы.В последнем уравнении α - угол Маха, константа cp определяется неравномерностями теченияперед волной сжатия (формула 2.74), для равномерного течения внутри сопла она равна 0,индекс "а" означает, что параметры взяты перед волной, индекс "н" - параметры за волной.Интеграл Iζ (отвечающий за учет завихренность потока перед волной разрежения) для случая,когда показатель изоэнтропы γ=1.4, имеет аналитическое решение⎛ sin 2 z ⎞] Iζ (z) = 2 sin z ⎜ 1−.5 ⎟⎠⎝(2.77)Интеграл, учитывающий осесимметричность течения, записывается в виде двухинтегралов которые не удается выразить через элементарные функции (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
