Диссертация (1145326), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Мы будем полагать, что обменное(0)(0)(0)взаимодействие изотропно, 2I−+ = 2I+− = Izz = I (0) . Тогда, если переменное магнитное поле hν (~r, ω) действует на спины, уравнения Ландау-Лифшица в локальном базисе(x0 , y 0 , z 0 ) дадут соотношения между малыми изменениями плотности магнитного момен166zz’Hq(c)HSy’OyyfxAx’Рис. 4.8: Переход от локального базиса (x0 , y 0 , z 0 ) к глобальному базису (x, y, z). Ось OAлежит в плоскости xOy.та, mν (~r, ω) = gµB δhhSν (~r, ω)ii/Va , и полем hν (~r, ω)m± (~r, ω) = 2γ ʱ−1 M (~r)h∓ (~r, ω)mz (~r, ω) = γ Êz−1(4.27)B [1] (p)M (~r)hz (~r, ω),B(p)(4.28)где h± = 1/2(hx ∓ ihy ), ω – частота, δhhSν (~r, ω)ii – вариация статистически среднего спинаhhSν (~r)ii и γ = gµB /~ – гиромагнитное отношение.
ʱ , Êz – операторы Ландау-Лифшица,которые, в общем случае, являются псевдодифференциальными [41]. ФункцииB(p) = SBS (Sp)∂BS (Sp)B [1] (p) = S∂p(c)выражаются через функцию Бриллюэна BS для спина S. p = βgµB Hz (~r), β = 1/kT , k –постоянная Больцмана, T – температура. При низких температурах производная функцииБриллюэна B [1] (p) стремится к 0 и изменение намагниченности mz в уравнении (4.28)становится пренебрежимо малым.
Операторы Ландау-Лифшица имеют видʱ m± (~r, ω) = [γH (mag) (~r) ± ω]m± (~r, ω)Z4πγαM (~r) Xk 2 exp[i~k(~r − ~r 0 )]m± (~r 0 , ω) d3 k+VbVb0(4.29)~rÊz mz (~r, ω) = ωmz (~r, ω),167(4.30)~ +H~ (dip) | – сумма внешнего магнитного поля и дипольного магнитного поля,где H (mag) = |H~ r), Vb = (2π)3 /Va , α = wVa /4π(gµB )2 – обменная константа и wдействующего на спин S(~– коэффициент в разложении Фурье обменного взаимодействия вблизи локального миниP (0)мума энергии: I˜(0) (~k) =I (~r) exp(−i~k~r) = I˜(0) (0) − wk 2 .
Уравнение Ландау-Лифшица~r(4.28) рассматривается в линейном приближении относительно B [1] (p)/B(p), вследствиечего, в операторе Êz (4.30) мы оставили основной член ω и опустили член, пропорциональный B [1] (p). Для упрощения обозначений будем записывать уравнения Ландау-Лифшица(4.27), (4.28) в локальном базисе в формеmν (~r, ω) = χ̂(loc)r, ω),νµ hµ (~(loc)где χ̂(loc) = kχ̂νµ k – псевдодифференциальный тензорный оператор.
Если длина спиновой волны λ много больше расстояния между частицами, то операторы Ландау-Лифшицаʱ , переходят из псевдодифференциальной формы в дифференциальную. В этом случае,после преобразования Фурье по ω и перехода к временной переменной t уравнение (4.27)принимает обычный дифференциальный вид уравнений Ландау-Лифшица [42], линеаризованная форма которого получается из∂(M~iz + m)~= γ[{(H (mag) + 4παM ∆)~iz + ~h} × (M~iz + m)],~∂tгде ~iz – единичный вектор по оси z 0 .
Граничные условия для дифференциального видауравнений Ландау-Лифшица получаются из требования существования обратного оператора ʱ−1 или, что эквивалентно, требования ортогональности решений к пространствусобственных функций оператора ʱ с нулевыми собственными значениями, Ker ʱ [36].Для нахождения тензора магнитной восприимчивости мы должны произвести преобразование от локального базиса (x0 , y 0 , z 0 ) к глобальному базису (x, y, z) (Рис. 4.8) и усреднить(loc)псевдодифференциальный тензорный оператор χ̂νµ по углам θ, ψ, φ.
Усреднение производится по малому объему δV неупорядоченной системы. Объем δV À Va должен содержатьдостаточно большое количество спинов, но его размер должен быть существенно меньшеобъема образца. Матрица перехода U между базисами (x0 , y 0 , z 0 ) и (x, y, z) выражаетсячерез углы Эйлера θ, ψ и φ [119]. Без потери общности, угол Эйлера φ мы можем положить равным 0. Тогда, в глобальном базисе (x, y, z) усредненный тензорный оператор(av)(av)χ̂ij , который определяет соотношение между mi и hj , mi (~r, ω) = χ̂ij hj (~r, ω), имеет видZπ Z2π(av)χ̂ijUiν−1 χ̂(loc)νµ Uµj f (θ)ρ(ψ) sin θ dθ dψ,=0(4.31)0где индексы i, j принадлежат (x, y, z), индексы ν, µ принадлежат (x0 , y 0 , z 0 ) и f (θ), ρ(ψ)являются функциями распределения в объеме δV .
Распределения нормализованы соотношениями168Zπf (θ) sin θ dθ = 10Z2πρ(ψ) dψ = 1.0Мы будем полагать, что угол ψ является случайной переменной с распределением ρ(ψ) =(2π)−1 . В этом случае, принимая во внимание уравнения (4.27), (4.28) с операторамиЛандау-Лифшица (4.29), (4.30) и известную зависимость матрицы перехода U от угловЭйлера [119]cos ψsin ψ0U =−cosθsinψcosθcosψsinθsin θ sin ψ − sin θ cos ψ cos θи интегрируя по ψ в соотношении (4.31), получим усредненный тензорный оператор –тензор магнитной восприимчивости неупорядоченной системыχ̂(av) = F ξ + DηGζ0−GζF ξ + Dη0002F η + D(1 − 2η),(4.32)где1F = γ(Ê+−1 + Ê−−1 )M (~r)2iG = γ(Ê+−1 − Ê−−1 )M (~r)2D = γ Êz−1B [1] (p)M (~r)B(p)и параметры спиновой разориентации1ξ=2Zπf (θ)(1 + cos2 θ) sin θ dθ0η =1−ξZπζ=f (θ) cos θ sin θ dθ.0При ферромагнитном упорядочивании параметры порядка ζ = ξ = 1, при полной разориентации спинов ζ = 0, ξ = 2/3.
Полюса тензора магнитной восприимчивости χ̂(av)определяют дисперсионные соотношения спиновых волн с длиной волны λ À (δV )1/3 . В169этих дисперсионных соотношениях не учитываются переменные магнитные поля, которыеокружают спиновую систему и существенно изменяют дисперсионные характеристики.Учет переменных полей будет произведен в следующем разделе.
Следует заметить, что вприближении ЭФГВ среднее значение плотности магнитного момента дается выражениемM (av) (~r) = M (~r)ζ,(4.33)где в функции плотности момента M (av) (~r) вектор ~r является центром малого объемаусреднения δV . При полной разориентации спинов параметры порядка ζ = 0, ξ = 2/3 и,следовательно, M (av) (~r) = 0. В то же время тензор магнитной восприимчивости χ̂(av) (4.32)принимает диагональный вид и не стремится к нулю.Следует заметить, что тензор магнитной восприимчивости χ̂(av) (4.32) и плотностьмагнитного момента M (av) (4.33) получены усреднением по бесконечному числу спинов.Конечность объема ячейки усреднения δV приводит к погрешности рассматриваемогометода, определяя условия его применимости.
Погрешность δ дается отношением сред~ ) ячейки δVнего квадратичного отклонения вектора плотности магнитного момента σ(Mк плотности магнитного момента, определяемой усреднением по атомному объему M , исостоит из суммы продольного Mz и поперечного M⊥ отклонений. Эти отклонения выражаются через квадратичные отклонения углов θ и ψ: Mz ∝ σ(cos θ) и M⊥ ∝ σ(sin θ)σ(sin ψ)и приводят к~)σ(M1= [σ 2 (cos θ) + σ 2 (sin θ)σ 2 (sin ψ)]1/2 ,NMNгде N – количество спинов в ячейке δV . При N → ∞ вследствие закона больших чиселδ=погрешность δ → 0 [120]. Учитывая, что квадратичное отклонение случайной величины Aвыражается через дисперсиюσ(A) = D(A)1/2Zπ Z2π=[(A2 − hhAii2 )g(θ, ψ) sin θ dθ dψ]1/2 ,00получаем окончательное выражение δ через параметры порядка спиновой ориентации(ξ − ζ 2 )1/2.NВ частном случае ферромагнитного порядка δ = 0 и рассматриваемая модель применимаδ=для спиновых волн со сколь угодно малой длиной волны.1704.3.3Спиновые волны в нормально намагниченных пленках с магнитным беспорядкомДля выявления влияния разупорядоченности спинов магнитных наночастиц на дисперсионные кривые длинноволновых спиновых волн рассмотрим спиновые волны в нормальнонамагниченных пленках.
Рассмотрим случай, когда длина спиновой волны больше объемаусреднения λ À (δV )1/3 , спиновая волна является магнитостатической и магнитный беспорядок обусловлен неколлинеарностью спинов. В нормально намагниченной пленке размаг~ (dip) (~r) (4.26) равноничивающее поле равно −4πM (av)~n [42] и дипольное магнитное поле H~ 0(a) (~r) − 4πM (av)~n, где ~n – нормаль к пленке.
В магнитостатическом приближении переHменное магнитное поле hν спиновой волны является магнитостатическим, т.е. выражаетсячерез магнитостатический потенциал ϕ: hν = −∇ν ϕ. Уравнение для магнитостатическойспиновой волны имеет вид (глава 2)(av)∆ϕ(~r, ω) + 4π∇i χ̂ij ∇j ϕ(~r, ω) = 0.(4.34)~ ортогонально поверхности пленки и волВ нормально намагниченных пленках поле Hновой вектор ~q лежит в плоскости xOy (Рис.
4.9a). Мы будем полагать, что ~q k Ox. Дляоднородной по толщине d пленки решение уравнения (4.34) будем искать в форме A1 exp(|q|z),ϕ(x, y, z, ω) = exp(iqx)A2 exp(iQz) + A3 exp(−iQz), A exp(−|q|z),4z<00<z<d(4.35)z>dгде Q – поперечный волновой вектор, q = 2π/λ – продольный волновой вектор спиновой волны.
Магнитостатический потенциал ϕ(~r, ω) и нормальная компонента переменноймагнитной индукции должны быть непрерывны на границах. Это дает граничные условияϕ(~r, ω)|+∂ = ϕ(~r, ω)|−∂¯¯r, ω)¯−∂(1 + 4π χ̂(av)r, ω)¯+∂ = (1 + 4π χ̂(av)zz )∇z ϕ(~zz )∇z ϕ(~(4.36)где ∂ – обозначение границ при z = 0 и z = d.Прямые объемные спиновые волныСшивая ϕ(~r, ω) в соответствии с граничными условиями (4.36), мы можем выразитькоэффициенты A1 , A3 , A4 в решении (4.35) через коэффициент A2A3 =ip̄Q − |q|A2ip̄Q + |q|171a.Volume spinwaveszLongitudinalspin wavesHqjjdOxyb.yVolume spinwavesSurface spinwavesHjqqjdOxzРис.
4.9: (a). Распределение магнитостатического потенциала ϕ(~r, ω) по профилю распространяющихся прямых объемных и продольных спиновых волн в нормально намагниченной пленке. (b). Распределение магнитостатического потенциала ϕ(~r, ω) объемных спиновых волн и поверхностных волн, распространяющихся в противоположных направленияхв касательно намагниченной пленке.172A1 = A2 + A3(4.37)A4 = A2 exp[(|q| + iQ)d] + A3 exp[(|q| − iQ)d],гдеq 2 (1 − 3η)(1 + t)p̄ =q 2 ξ + 2Q2 η4πγB [1] (p)M.t=ωB(p)Кроме соотношений на коэффициенты(4.37), граничные условия определяют связь междуQиq2 ctg Qd =p̄Q|q|−.|q|p̄Q(4.38)Уравнение (4.38) имеет бесконечное множество решений Q(j) (j = 1, 2, 3, .
. .) и определяет спинволновые моды. Дисперсионные соотношения спиновых волн находятся путемподстановки решения (4.35) при 0 < z < d в уравнение (4.34)µω(j)2(~q) = Ω(j)(j)Ωq 2 ξ + 2Q(j)2 η+ ΩM 2q (1 + tη) + Q(j)2 [1 + (1 − 2η)t]¶,(4.39)~ +H~ 0 − 4πM (av)~n|.где Ω(j) = γ(H (mag) + 4παM (Q(j)2 + q 2 )), ΩM = 4πγM , H (mag) = |H(a)Для случая ферромагнитной пленки с параметрами порядка ξ = 1 и η = 0 cпинволновыемоды, определенные решением (4.35) с соотношениями (4.37) и (4.38) и обладающие дисперсионной зависимостью (4.39), носят название прямых объемных магнитостатическихволн (FVMSW – forward volume magnetostatic waves [42, 67–69]).Продольные спиновые волныКроме прямых объемных магнитостатических мод в нормально намагниченной пленкес магнитным беспорядком существуют дополнительные моды, которые появляются только(av)в неупорядоченных структурах.
Этим модам соответствуют решения с 1 + 4π χ̂zz=0иq = 0 в (4.35), (4.36). Коэффициенты A1 , A3 , A4 в решении (4.35) определяются черезкоэффициент A2A1 = 2A2 ,A3 = A2 ,A4 = 2(−1)j A2 .где j = 1, 2, 3, . . . – номер моды. Продольный волновой вектор принимает значения Q(j) =πj/d. Дисперсионные зависимости дополнительных мод имеют вид173H1(c)a.H2(c)ds1ds2S1S212dVb.min(S1+S2)max(S1+S2)S1S2S2S1dVdV~1 и S~2 в разных точках 1 и 2 объема δV .
(b) ИзмененияРис. 4.10: (a) Вращения спинов Sсуммарного значения спина объема δV .µ(j)2ωlong (~q)=Ω(j)(j)Ω2η+ ΩM1 + (1 − 2η)t¶,(4.40)(av)Этим модам соответствуют колебания намагниченности mz (~r, ω) = −χ̂zz ∇z ϕ(~r, ω) =~ в связи с чем, дополни(4π)−1 ∇z ϕ(~r, ω) по направлению внешнего магнитного поля H,тельные моды с дисперсионной зависимостью (4.40) можно назвать продольными модами.Причиной существования продольных спинволновых мод является присутствие в (4.32)zz-компоненты χ̂(av) , которая равна 2F η + D(1 − 2η) и отлична от нуля вследствие неупорядоченности спиновых ориентаций в объеме δV и вследствие входящего в D и проистекающего из уравнения (4.28) не равного нулю при конечных температурах значенияпроизводной функции Бриллюэна B [1] (p).Существование продольных колебаний намагниченности можно рассмотреть с другойточки зрения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
