Диссертация (1145326), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Суммирование в (4.2) проводитсяпо одночастичным состояниям p, уровням λ и спину электрона ν =↑, ↓. Уравнение, опре(p)(p)деляющее волновую функцию ϕλ ≡ |p, λi и спектр энергий ε̄λ одночастичного состоянияp, в свою очередь определяется гамильтонианом одночастичного состояния H(p)(p)(p)(H(p) − ε̄λ )ϕλ = 0.(4.3)Члены(0)Hd = −gµB HXS~1z ,(4.4)~1(int)Hd=−1 X ~ ~0 z zI(1 − 1 )(S~1 S1~0 + S~1− S1+~0 )20(4.5)~16=1~описывают взаимодействие спинов S d-системы с внешним магнитным полем H и обменное взаимодействие между спинами гранулы.
g и µB являются, соответственно, факторомЛанде и магнетоном Бора. Суммирование в (4.4), (4.5) проводится по всем узлам кристаллической решетки гранулы ~1, 1~0 .Hsd = −XZJ(~r − ~1){ψ↑+ (~r)ψ↓ (~r)S~1− + ψ↓+ (~r)ψ↑ (~r)S~1+ + (ψ↑+ (~r)ψ↑ (~r) − ψ↓+ (~r)ψ↓ (~r))S~1z } d3~r~1– гамильтониан взаимодействия s- и d-систем. ψν (~r) =P(p)(p)r)aλνp,λ ϕλ (~(4.6)– вторично кванто-ванная волновая функция электрона в s-системе. Суммирование и интегрирование в (4.6)проводятся, соответственно, по узлам кристаллической решетки гранулы ~1 и положениямэлектрона ~r в матрице.Для нахождения энергий и затухания спиновых возбуждений гранулы введем в рассмотрение температурные гриновские функции для электронов матрицы и спинов гранулы145+rτ )ψν 0 (r~0 τ 0 )σ(β)i0Gνν 0 (~rτ ; r~0 τ 0 ) = hσ(β)i−10 hTψν (~αα0 ~αα00Kdd(1τ ; 1~0 τ 0 ) = hσ(β)i−10 hTS~1 (τ )S1~0 (τ )σ(β)i0αα0 ~α+ ~0 0 α0~0 0Kds(1τ ; r~0 τ 0 ) = hσ(β)i−10 hTS~1 (τ )ψ (r τ )s ψ(r τ )σ(β)i0(4.7)0+αα0rτ )sα ψ(~rτ )S1α~0 (τ 0 )σ(β)i0Ksd(~rτ ; 1~0 τ 0 ) = hσ(β)i−10 hTψ (~0+αα0rτ )sα ψ(~rτ )ψ + (r~0 τ 0 )sα ψ(r~0 τ 0 )σ(β)i0(~rτ ; r~0 τ 0 ) = hσ(β)i−1Kss0 hTψ (~R β (int)где σ(β) = T exp { 0 [Hd (τ ) + Hsd (τ )] dτ } – температурная матрица рассеяния, T - опе-ратор упорядочивания по времени, β = 1/kT , T – температура.
Все операторы в (4.7) взя(0)(0)(0)(0)ты в представлении взаимодействия, т.е. A(τ ) = exp[(Hs + Hd )τ ]A exp[−(Hs + Hd )τ ].В функциях Грина Kds , Ksd , Kss sα является векторным оператором, составленным изматриц Паули, иµψ(~rτ ) =ψ↑ (~rτ )ψ↓ (~rτ )¶.Индексы ν, ν 0 = {↑, ↓} нумеруют спин электрона матрицы.
Индексы α, α0 = {+, −, z} являются индексами спиновых операторов, описывающих спины гранулы. Статистическое(0)(0)усреднение в h. . .i0 определяется гамильтонианом Hs + Hd .Диаграммная техника для функций Грина (4.7) описана в [7] и является частным случаем диаграммной техники, развитой в главе 2. Рассмотрим приближения диаграммного−+. В приближении самосогласованного поля вразложения для функций Грина Gνν 0 и Kdd(p)(0)представлении собственных функций ϕλ гамильтониана Hs после преобразования Фурьепо переменным τ − τ 0 электронная функция Грина будет равна(0)Gp,p0 ,λ,λ0 ,νν 0 (ωn ) =δpp0 δλλ0 δνν 0β(i~ωn −(p)ελ,ν )(0)≡ Gp,λ,ν (ωn )δpp0 δλλ0 δνν 0(4.8)где ~ωn = (2n + 1)π/β, n – целое число,(p)ελ,νZX1(p)(p)∗(p)= ε̄λ ∓ gµB H +hS~1z i0 ϕλ (~r)J(~r − ~1)ϕλ (~r) d3~r2(4.9)~1(p)ε̄λ в (4.9) есть энергия электрона, определяемая уравнением (4.3) и отсчитанная от уровняФерми в отсутствии обменного взаимодействия.
Верхний знак берется для ν =↑, а нижний– для ν =↓. s − d-обменное взаимодействие расщепляет электронный уровень на два.146Спиновая функция Грина после преобразования Фурье по τ − τ 0 в приближении самосогласованного поля имеет вид ( [7] и глава 2)(0)−+Kdd(~1, 1~0 , ωn ) = K (0) (~1, ωn )δ~11~0(4.10)гдеKy = β[gµB H +X(0)(~1, ωn ) =2hS~1z i0;y − iβ~ωnZI(~1 −1~0 )hS1z~0 i0J(~r − ~1)h(ψ↑+ (~r)ψ↑ (~r) − ψ↓+ (~r)ψ↓ (~r))i0 d3~r].+1~0Величина y пропорциональна сумме магнитного поля и величине молекулярного поля,действующего на спин в узле ~1 со стороны других спинов гранулы и электронов матрицы,~ωn = 2nπ/β, hS~1z i0 = SBS (Sy), BS – функция Бриллюэна для спина S.Приближение самосогласованного поля (4.8), (4.10) для функций Грина является нулевым приближением разложения по обратному радиусу обменного взаимодействия.
Этимзатравочным функциям Грина сопоставляются направленные линии (Рис. 4.2a). Следующие приближения для функций Грина получаются из уравнения Дайсона, которое дляспиновых функций (4.7)ÃK̂αα0=0ααKds0ααKssααKddααKsd0!0имеет вид000K̂ αα = Σ̂αα + Σ̂αα V̂ K̂ ααгдеÃV̂ =Vdd VdsVsd Vss!Ã=β0(4.11)− 1~0 ) J(~1 − ~r)J(~r − ~1)01 ~I(12!;J(~1 − ~r) = J(~r − ~1);Ãαα0Σ̂=0αα0 ~~0 0~ ~0 0Σααdd (1τ ; 1 τ ) Σds (1τ ; r τ )00Σααrτ ; 1~0 τ 0 ) Σααrτ ; r~0 τ 0 )ss (~sd (~!есть собственная энергетическая часть, которая описывается диаграммами, не разреза0емыми по линии взаимодействия.
В соответствии с индексами диаграммы Σ̂αα имеютвнешние спиновые вершины d-системы или внешние электронные вершины s-системы. По00внутренним переменным ~1, ~r рядом стоящих матриц Σ̂αα , V̂ , K̂ αα в (4.11) предполагается,соответственно, суммирование и интегрирование.147(0)a. Gp,l,( ) (wn) =()(0) -+Kdd (1,1’,wn) =bJ(p,l,1) =p,lbI(1-1’) =111’11’(0) - +b. Sdd (1,1’,wn) =11’(1) - +Sss (p,p’,l,l’,wn) =c.(1) - +p’,l’=Kdd (1,1’,wn)+p,l++Рис.
4.2: (a) Затравочные функции Грина и линии взаимодействия. (b) Собственноэнергетическиедиаграммы,отвечающиевведениюспиновыхволниспин-поляризационных возбуждений. (c) Уравнение, описывающее спиновые возбуждения.148Для получения приближения первого порядка по обратному радиусу обменного взаимодействия в Σ̂ необходимо взять диаграммы, содержащие не более одной петли ( [7] иглава 2). Ограничимся безпетлевыми диаграммами в Σ̂ по взаимодействию I и однопетлевыми диаграммами по обменному взаимодействию J. Эти приближения отвечают введению спиновых волн в грануле и коллективным возбуждениям спина гранулы и электроновматрицы (спин-поляризационным возбуждениям). Для α = −, α0 = + соответствующиезатравочные линии взаимодействия и собственно-энергетические диаграммы показаны на(p)(Рис.
4.2a,b) в представлении собственных функций ϕλ (~r) уравнения (4.3). s−d-обменное(p)взаимодействие в представлении ϕλ (~r) взято в приближенииZ(p)∗(p)ϕλ (~r)J(~r − ~1)ϕλ (~r) d3~rJ(p, λ, ~1) =При этом мы пренебрегаем переходами между уровнями (p, λ) и (p0 , λ0 ), которые s − dобменноевзаимодействиеможетR (p0 )∗(p)ϕλ0 (~r)J(~r − ~1)ϕλ (~r) d3~r с λ 6= λ0 , p 6= p0 .индуцироватьблагодарячленамУравнение Дайсона (4.11) в выбранном приближении для α = −, α0 = + запишется ввиде(1)−+Kdd(0)−+= Σdd(0)−++ Σdd(1)−+Ksd(1)−+Kds(0)−+= Σdd(1)−+Vdd Kdd(0)−++ Σdd(1)−+Vds Ksd(1)−+= Σ(1)−+Vsd Kddss(1)−+Vdd Kds(0)−++ Σdd(4.12)(1)−+Vds Kss(1)−+(1)−+Kss= Σ(1)−++ Σ(1)−+Vsd KdsssssПри отличном от нуля взаимодействии Vsd , Vds происходит поляризация спинов sсистемы со стороны d-системы и, наоборот, электроны s-системы влияют на спины dсистемы.
Из (4.12) получаем интегральное уравнение для спиновой функции Грина, описывающее спиновые возбуждения гранулированной структуры (Рис. 4.2c)(1)−+Kdd(0)−+(~1, 1~0 , ωn ) = Σdd (~1, 1~0 , ωn ) +X(0)−+Σdd(~1, ~2, ωn )×~2,~3"#X1(1)−+× βI(~2 − ~3) + β 2J(p, λ, ~2)Σ(1)−+(p, p0 , λ, λ0 , ωn )J(p0 , λ0 , ~3) Kdd (~3, 1~0 , ωn ) (4.13)ss2p,p0 ,λ,λ0где(0)−+Σdd(0)−+(~1, ~2, ωn ) = Kdd (~1, ~2, ωn )149(p, p0 , λ, λ0 , ωn ) = −δpp0 δλλ0Σ(1)−+ssX(0)(0)Gp,λ,↓ (ωm )Gp,λ,↑ (ωm − ωn ) =m(p)= −δpp0 δλλ0(p)nF (ελ,↑ ) − nF (ελ,↓ )(p)(p)β(i~ωn − ελ,↓ + ελ,↑ )nF (x) = (ex + 1)−14.2.3Спинволновые возбуждения гранул и спин-поляризационные возбужденияИсследуем решения уравнения (4.13) для случая, когда обменное взаимодействие между спинами гранулы значительно больше обменного взаимодействия между спином гранулы и электронами матрицы I À J.
В этом случае спектр спиновых возбуждений разбивается на две части: спинволновые возбуждения гранул и коллективные возбужденияспина гранулы и электронов матрицы – спин-поляризационные возбуждения. При спинполяризационных возбуждениях вместе с изменением ориентации спина гранулы меняетсяполяризация близлежащих локализованных электронов матрицы.Спинволновые возбуждения гранулПренебрежем взаимодействием J и заменим суммирование по узлам кристаллическойрешетки гранулы интегрированием.
Тогда уравнение (4.13) после перехода в I(~r − r0 ) кФурье-образу по пространственным переменным примет вид интегрального уравнения(1)−+Kdd(~r, r~0 , ωn ) = K (0) (~r, ωn )δ(~r − r~0 ) + AKdd(1)−+(~r, r~0 , ωn )(4.14)где(1)−+AKdd (~r, r~0 , ωn )a(~r, r~00 , ~q, ωn ) =1=(2π)3ZZ(1)−+a(~r, r~00 , ~q, ωn ) exp [i~q(~r − r~00 )]Kdd (r~00 , r~0 , ωn ) d3 r~00 d3 ~q,1βK (0) (~r, ωn )I(~q)θ(~r)θ(r~00 ),2I(~q) – Фурье-образ взаимодействия I(~r − r~0 ),θ(~r) = 1 в объеме гранулы и θ(~r) = 0 вне гранулы. Так как обменное взаимодействие между спинами гранулы имеет малый радиус, в Фурье-образе можно ограничиться членамиразложения второго порядка по qI(~q) = I(0) − κq 2В этом приближении в уравнении (4.14) интегральный оператор A является псевдодифференциальным оператором второго порядка [41] и уравнение (4.14) сводится к краевой задаче.
Спектр спиновых волн определяется полюсами спиновой функции Грина при150аналитическом продолжении iωn → ω + iδ sign ω (δ → +0). Это эквивалентно решению задачи на собственные значения – нахождению функций распределения спиновых колебанийχ(~r, ~q) на грануле(1 − A)χ(~r, ~q) = 0.(4.15)В предположении, что средняя намагниченность в грануле одинакова по всему объему,hS~1z i0 = hS z i0 , уравнение (4.15) в объеме гранулы примет видz[−~ω + gµB H − κhS i03X∂ 2 /∂ri2 ]χ(r, ~q) = 0.i=1Собственные значения (4.15) определяют спектр энергий стоячих спиновых волн на гранулеεsw (~q) = gµB H + hS z i0 κq 2 ,(4.16)где q 2 ∝ (π~k/d)2 , d – размер гранулы, ~k = (k1 , k2 , k3 ) – целочисленный вектор (ki =0, 1, 2, . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
