Диссертация (1145326), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Так как каждая сумма по ~q, qz пропорциональна Va /Rint,где Rint – радиус взаимодействия между спинами, то диаграммы, содержащие n петель,дают поправки к функциям Грина Gµν в уравнении (3.7) и к P-матрице в уравнении (2.39),3 n3пропорциональные (Va /Rint) [7, 8]. Для Va /Rint¿ 1 однопетлевые диаграммы дают наи-больший вклад в Gµν и P. Они соответствуют трех-магнонным процессам, индуцируемымMDI. Обменное взаимодействие в силу его изотропности не вносит поправок в однопетлевом приближении. Поправки к спинволновому спектру и релаксация определяются однопетлевыми собственно-энергетическими вставками в P-матрицу (3.37).
Аналитическиевыражения собственно-энергетических диаграмм задают собственно-энергетическую матрицу Σ̂ = kΣAB k. Затухание возбуждений определяется мнимой частью полюса сформи(Σ)рованной матрицы P (Σ) = kPAB k с однопетлевыми вставками при аналитическом продолжении (2.32). Матрица P (Σ) связана с P (1) -матрицей уравнением Дайсона(Σ)PAB (j, j 0 , ~q, q~0 , ωm )=(1)PAB (j, j 0 , ~q, q~0 , ωm )1+ 2VaX Z Z(Σ)PAC (j, j1 , ~q, ~q1 , ωm )×j1 ,j2 ,C,D(1)×ΣCD (j1 , j2 , ~q1 , ~q2 , ωm )PDB (j2 , j 0 , ~q2 , q~0 , ωm ) d2 ~q1 d2 ~q2 .(3.41)Множитель Va−2 в уравнении (3.41) появляется в результате перехода от решеточных переменных ~1 к непрерывным переменным ~r.121Мы будем рассматривать релаксацию длинноволновых спиновых волн при низких температурах в нормально намагниченной ферромагнитной пленке. Поскольку производные[n]функции Бриллюэна BS (p) (3.5) стремятся к 0 экспоненциально с уменьшением температуры, то диаграммы, содержащие блоки с изолированными частями, могут быть опущены [7].
Отсюда следует, что ненулевые элементы Σ̂-матрицы описываются однопетлевымидиаграммами с двумя c-вершинами (Рис. 3.7)Σ(1−)(1−) Σ(1−)(1+)0.........00 Σ(1+)(1−) Σ(1+)(1+) 00000000Σ̂ = ········· ··· ··· ···..000.00...00000..Σ(2z)(1−) Σ(2z)(1+) 0.00Σ(1−)(2z)Σ(1+)(2z)0···00.Σ(2z)(2z)Если в рассматриваемом частотном диапазоне дисперсионная кривая спинволновоймоды j не пересекается с дисперсионными кривыми других мод, то из уравнения (3.41)следует, что полюс матрицы P (Σ) определяется уравнениемXdet[1 −Σ̄CD (j, j, ~q, ωm )F (j) P̄DB (j, ~q, ωm )]|iωm →ω+iε sign ω = 0,(3.42)Dгде регулярная часть Σ̄CD связана с ΣCD соотношением ΣCD (j, j 0 , ~q, q~0 , ωm ) =Σ̄CD (j, j 0 , ~q, ωm )Va δ(~q − q~0 ).
F (j) , P̄DB задаются соотношениями (3.37). Осуществляя полиномиальное разложение детерминанта (3.42) относительно Σ̄CD , отбрасывая в разложениивысшие порядки и удерживая линейные члены по Σ̄CD , получаем, что для длинноволновых спиновых волн члены с Σ̄(1+)(1−) , которые определяются диаграммами Рис. 3.7a, даютосновной вклад в полюсную сингулярность P (Σ) -матрицы. В этом случае уравнение (3.42)упрощается1 − Σ̄(1+)(1−) (j, j, ~q, ωm )F (j) P̄(1−)(1+) (j, ~q, ωm )]|iωm →ω+iε sign ω = 0Подставляя F (j) , P̄(1−)(1+) в соответствии с (3.37), находим соотношение между обратным временем затухания спиновой волны δω (j) и мнимой частью Σ̄(1+)(1−)δω (j) (~q) =2B(p)VaIm Σ̄(1+)(1−) (j, j, ~q, ωm )|iωm →ω+iε sign ω~βАналитические выражения для диаграмм элементов Σ̄(1+)(1−) собственно-энергетическойматрицы определяются правилами диаграммной техники (2.31)1 XΣ̄(1+)(1−) (j, j, ~q, ωm ) =4B(p) n,i,k122ZF (i) F (k) ×Рис.
3.7: Собственно-энергетические диаграммы ΣAB в однопетлевом приближении принизких температурах. Вторая и третья диаграммы в (d) необходимы для проведения частичного суммирования и замены в первой диаграмме затравочных пропагаторов на эффективные функции Грина.123×[P̄(1−)(1+) (i, −~q1 , −ωn )P̄(2z)(2z) (k, ~q − ~q1 , ωm − ωn )++1P̄(1−)(2z) (i, ~q1 , ωn )P̄(2z)(1+) (k, ~q − ~q1 , ωm − ωn )]N̄ 2 (j, ~q; i, ~q1 ; k, ~q − ~q1 ) d2 q1 ,8B(p)где множитель N̄ возникает в ϕ-представлении (3.32) от совпадения пространственныхпременных несвязных частей в блокахN̄ (j, ~q; i, ~q1 ; k, ~q − ~q1 ) =Ξjik =X(j)Ξjik(j)(i)2πVa [f (~q)f (~q1 )f (k) (~q(i)(j),(k)sin(qz + σi qz + σk qz )d(i)(k)qz + σi qz + σk qzσi ,σk =±1− ~q1 )]1/2cos[π(j + σi i + σk k − 3)/2].Суммируя по частотам ωn и осуществляя аналитическое продолжение, для β~ω (p) ¿ 1(p = j, i, k) получаем окончательное выражение затухания спинволновой моды jXZΞ2jikδω (j) (~q)Va∆ (~q) ==×ω (j)16πβ~f (j) i,k,s f (i) f (k) ω (i)2 ω (k)2 |v (i) − v (k) |(j)´³(k)(k)(i) (i)(k)Ω(i) ηzzη−+ ++ Ω + 2η−+ − ω+ω× Ω +´¸¡ (i)¢ ¡ (k)¢ ³ (i) (k)1(i) (k)(i)(k)+Ω +ωΩ −ωη+z η−z + η−z η+z δ(~q1 − ~q (s) ) d2 q1 ,16B(p)h³(i)(i)2η−+(i)´(k) (k)Ω(k) ηzzη−+(3.43)где ~q (s) – решение уравненияω (j) (~q) = ω (i) (~q (s) ) − ω (k) (~q − ~q (s) );(3.44)v (i) = v (i) (~q1 ), v (k) = v (k) (~q − ~q1 ) – групповые скорости i- и k-мод, задаваемые соотношением(i)(i)(i)(3.35), соответственно, при волновых векторах ~q1 и ~q − ~q1 .
Значения qz , q0 , ω (i) , Ω(i) , ηµν ,(k)(k)(k)f (i) вычислены при волновом векторе ~q1 , а значения qz , q0 , ω (k) , Ω(k) , ηµν , f (k) – приволновом векторе ~q − ~q1 .Выражение (3.43) описывает релаксацию длинноволновой j-моды спиновой волны, вызванную неупругим рассеянием на термически возбужденных спинволновых модах. Релаксация осуществляется через процесс слияния j-моды с k-модой и образования i-моды.Процесс слияния вызывается MDI и сопровождается переходами между термически возбужденными i и k-модами (Рис.
3.5). Численный расчет дает, что процесс слияния с термически возбужденными спинволновыми модами с малыми индексами более эффективен.Из явной формы Ξjik следует, что процесс слияния имеет место, если сумма индексовмод j + i + k является нечетным числом. Слияние трех мод, вызываемое MDI, является доминирующим релаксационным механизмом в чистом YIG, Li0.5 Fe2.5 O4 , CdCr2 Se4 ,EuO [42, 43, 54–59]. Затухание ∆(j) растет прямо пропорционально температуре. Линейнаятемпературная зависимость ∆(j) характерна для всех трех-магнонных процессов слияния124и независит от формы образца. Это находится в согласии с линейной температурной зависимостью ∆H, наблюдаемой в YIG и Li0.5 Fe2.5 O4 [55, 57].Из соотношения (3.43) следует, что затухание может рассматриваться как сумма парP(j)(j)циальных членов: ∆(j) = i,k ∆(i,k) .
Парциальные члены ∆(i,k) определяются переходамиi − k между i- и k-модами. Переход происходит, если уравнение (3.44) имеет по крайнеймере одно решение ~q (s) для данного ~q. На Рис. 3.8 представлены частотные зависимости(1)коэффициента затухания ∆(1) и парциальные члены ∆(i,k) , дающие наибольший вклад в∆(1) . Вычисления проделаны для нормально намагниченной пленки YIG толщиной D =0.8 µm при H = 3000 Oe. Можно заметить, что пики на частотной зависимости ∆(1) происходят от особых точек парциальных членов. К примеру, для перехода 16-8 (i = 16, k = 8)частота ω (1) /2π в диапазоне [3537.5 - 3647.4 MHz) меньше, чем (ω (i) (~q (s) )−ω (k) (~q −~q (s) ))/2πдля любых ~q (s) , уравнение (3.44) не имеет решений и перехода не происходит. При частотеω (1) /2π = 3647.4 MHz уравнение (3.44) имеет одно решение |~q (s) | = 29.66/D и переход 16-8начинает давать вклад в ∆(1) .
На частотах ω (1) /2π > 3647.4 MHz уравнение (3.44) имеетдва решения и осуществляются два перехода между модами 16 и 8.Проанализируем изменения коэффициента затухания (3.43) в зависимости от изменений толщины пленки, приложенного магнитного поля H и индекса моды j. Расчетывыполнены для пленки YIG с намагниченностью 4πM = 1750 Oe, константой обменноговзаимодействия α = 3.2·10−12 cm2 при температуре T = 300 K. В процессах слияния будутучтены 120 термически возбужденных спинволновых мод.1.
Затухание спинволновых мод в зависимости от толщины.Вычисления проведены для первой спинволновой моды (j=1), распространяющейся впленке YIG, нормально намагниченной полем H = 3000 Oe. Как видно из исследованиячастотных зависимостей коэффициента затухания ∆(1) при разных толщинах D, затуханиеуменьшается с увеличением толщины пленки (Рис. 3.9). При D → ∞ затухание ∆(1) стремится к 0. С увеличением толщины D плотность дисперсионных кривых мод на плоскости(ω, q) увеличивается и частотные интервалы между кривыми уменьшаются (Рис.
3.5). Этоприводит к увеличению плотности пиков на частотной зависимости затухания при больших толщинах D. Одновременно с этим для толстых пленок уменьшается высота пиков ичастотные зависимости затухания сглаживаются.2. Затухание спинволновых мод в зависимости от приложенного магнитногополя.Рис. 3.10 показывает затухание ∆(1) первой спинволновой моды в зависимости от продольного волнового вектора q, нормализованного на толщину пленки D.
В данном случаезависимость от q является более удобной, чем частотная зависимость, так как в соответствии с (3.34) частота ω (j) зависит от магнитного поля H и, следовательно, область определения частотных зависимостей различна при разных полях. В то же время, областьопределения зависимостей затухания от q совпадает. Частота ω (j) может быть легко вы1251E-3(1)19-1316-61E-418-121E-516-224-2016-815-3,(1)(1)(i-k)15-51E-615-115-723-191E-722-1817-111E-836003800FrequencyРис. 3.8: Коэффициент затухания ∆(1) =P(1)/2(1)i,k4000(MHz)(1)∆(i,k) и парциальные члены ∆(i,k) для пер-вой спинволновой моды, распространяющейся в нормально намагниченной пленке YIGтолщиной D = 0.8 µm с намагниченностью 4πM = 1750 Oe, константой обменного вза(1)имодействия α = 3.2·10−12 cm2 при H = 3000 Oe, T = 300 K. Парциальные члены ∆(i,k)определяются переходами i − k между i- и k-модами.1261E-3(1)1 m1E-4351E-536003800Fequency(1)/24000(MHz)Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
