Диссертация (1145326), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Уравнения для(λ)(λ)функций h+ и h− разделяются и собственные значения определяются нулевыми значениями детерминанта (для определенности мы написали детерминант D(+) для уравнений(λ)с функциями h+ )D(+) = G(0) (1) . . . G(0) (N )×× det 0−V (0) (32)(G(0)−1 (3) − V (0) (33)).........············(G(0)−1 (1) − V (0) (11))−V(0)(21)−V (0) (12)(0)−1(G(2) − V(0)0(22))(exch)где V (0) kj), G(0) (k) – сокращенное обозначение V+−−V(0)(23),(0)(~q, kz −jz , ωm )|q~=0 и G−+ (k, k, ωm ) прианалитическом продолжении iωm → ω + iεsignω, соответственно.
(k, j) – индексы слоев.110Учитывая, что спины внешних слоев (k = 1, N ) взаимодействуют с одним внутреннимслоем, спины внутренних слоев – с двумя слоями, и вводя в детерминате D(+) переменнуюдля внутренних слоевx=G(0)−1 (k) − V (0) (kk)~=[ω − γ(H + H (m) )] − 2(0)−V (jk)B(p)Id(k 6= 1, N,j = k ± 1),получим, что спектр спинволнового резонанса определяется корнями полинома¯¯¯ (x + 1) 1¯¯¯1x¯¯01¯¯¯RN (x) = ¯00¯¯ ······¯¯¯00¯¯¯000010x11x............0000··· ··· ··· ···..00.x..00.1¯¯¯¯¯¯0¯¯0¯¯¯0¯¯· · · ¯¯¯¯1¯¯(x + 1) ¯= (x + 1)2 PN −2 (x) − 2(x + 1)PN −3 (x) + PN −4 (x) = 00(N ≥ 2),где P−2 (x) = −1, P−1 (x) = 0, P0 (x) = 1, PN (x) = xPN −1 (x) − PN −2 (x).
Полином RN (x)имеет N корнейx(n) = −2 cos³ πn ´,Nгде n = 0, 1, . . . , N − 1. Принимая во внимание форму корней x(n) , можно ввести попереч(n)ный волновой вектор qz= πn/N d. Тогда спектр спинволнового резонанса запишется ввиде2B(p)Id[1 − cos(qz(n) d)].(3.20)~Для первой моды (n = 0) спины слоев изменяют свою ориентацию синфазно. Для высшейω (n) = γ(H + H (m) ) +моды (n = N − 1) спины соседних слоев изменяют орентацию в противофазе и энергияспинволнового резонанса имеет наибольшую величину.
Рис.3.4 представляет спектр спинволнового резонанса в структуре с N = 40 слоями. При малых значениях поперечноговолнового вектора частоты спинволнового резонанса имеют квадратичную зависимость(n)от qz .111h(w(n)- w(0) )/2B(p)Id2.01.61.2dDId(n)1- cos(q z d)0.80.40.00.01.0(n)2.0q z d = n/N3.0Рис. 3.4: Спектр спинволнового резонанса ω (n) (n = 0, 1, . . . , N − 1) в структуре с N = 40(n)слоями. qz– поперечный волновой вектор, d – расстояние между слоями, Id – обменноевзаимодействие между спинами слоев.3.4Спиновые возбуждения в толстых магнитных пленках3.4.1Обобщенные уравнения Ландау-Лифшица, уравнения длямагнитостатического потенциала и дисперсионные соотношенияУравнения (3.8), (3.13) описывают спиновые возбуждения.
Решение этих уравненийдля магнитных образцов больших размеров и N -слойных магнитных пленок с N À 1 становится затруднительным из-за большого порядка детерминантов уравнений (3.8), (3.13).Для преодоления этой трудности и нахождения спинволнового спектра в этих образцах мывыведем уравнения Ландау-Лифшица [20, 36, 63, 109]. Дисперсионные соотношения спинволновых возбуждений определяются полюсами P-матрицы, совпадающими с полюсамиматрицы G (3.7). В связи этим, дисперсионные соотношения могут быть получены из собственных значений уравнения (3.8).
Так как взаимодействие между спинами является суммой обменного взаимодействия и MDI, мы можем найти собственные значения и функцииуравнения (3.8) путем двухступенчатой процедуры. На первом этапе произведем сумми(1)рование диаграмм, учитывая обменное взаимодействие, и найдем матрицу G (1) = kGµν kG (1) = G (0) + G (0) V (ex) G (1) .(3.21)На втором этапе произведем суммирование диаграмм с линиями магнитного дипольного взаимодействия.
Таким образом, получим уравнение для матрицы эффективных функ112ций Грина G в зависимости от матрицы G (1)G = G (1) + GV (dip) G (1) .(3.22)Решение уравнения (3.7), которое определяет матрицу G, эквивалентно решению уравнений (3.21), (3.22). После проделанного двухступенчатого суммирования уравнение (3.8)(λ)(λ)на собственные функции pµ = hµ запишется в более удобной форме~h(λ)µ (1, ωm ) −X(dip) ~(λ) ~00~0 ~00Vµρ(1 − 1~0 , ωm )G(1)ρσ (1 , 1 , ωm )hσ (1 , ωm ) = 0.(3.23)ρ,σ1~0 1~00Решение уравнений (3.21), (3.23) дает дисперсионные соотношения спинволновых возбуждений. Эти уравнения могут быть преобразованы к обобщенным уравнениям ЛандауЛифшица и к уравнению для магнитостатического потенциала.Преобразуем матричное уравнение (3.21) к уравнениям, описывающим малые вариации плотности магнитного момента (или изменения намагниченности) mν [20, 36].
Дляосуществления этого преобразования перейдем к запаздывающим функциям Грина. Изменения намагничености mν под действием магнитного поля hν = h̄ν MDI V (dip) даютсязапаздывающими функциями Грина, которые определяются аналитически продолженными значениями матрицы G (1) [40]¯¯X¯β(gµ)B(1)mν (~1, ω) =Gνρ (~1, 1~0 , ωm )¯¯Va¯ρ,1~02h̄ρ (1~0 , ω).(3.24)iωm →ω−iεАналитическое продолжение iωm → ω −iε определяет запаздывающие функции Грина.h̄ρ (~1, ω) – поле магнитного диполь-дипольного взаимодействия, действующего на спины.Умножая матричное уравнение (3.21) на G (0)−1 слева и на h̄ρ справа, после выполнения аналитического продолжения iωm → ω − iε с учетом соотношения (3.24) получаем матричноеуравнение (3.21) в форме системы уравненийXν,1~0[G(0)−1(~1, 1~0 , ω)ρνβ(gµB )2 ~00~~~− βIρν (1 − 1 )]mν (1 , ω) =h̄ρ (1, ω).Va(3.25)Мы предполагаем, что обменное взаимодействие изотропно, 2I−+ = 2I+− = Izz = I.После этого предположения уравнения (3.25) приобретут формуʱ m± (~1, ω) = 2γM (~1)h̄∓ (~1, ω)Êz mz (~1, ω) =B [1] (p)γM (~1)h̄z (~1, ω),B(p)(3.26)(3.27)где γ = gµB /~ – гиромагнитное отношение; M (~1) = gµB B(p)/Va – плотность магнитногомомента в низкотемпературном приближении.
Будем говорить, что операторы ʱ , Êz :113ʱ m± (~1, ω) = [γ(H(~1) + H (m) (~1)) ± ω]m± (~1, ω)+XXB(p) B(p) +I(~1 − 1~0 ) m± (~1, ω) −I(~1 − 1~0 )m± (1~0 , ω)~~001~1~B [1] (p) X ~ ~0~~Êz mz (1, ω) = ωmz (1, ω) −I(1 − 1 )mz (1~0 , ω)~01~являются операторами Ландау-Лифшица. Поле H (m) (~1) (3.6) зависит от плотности магнитного момента M (~1). При переходе к Фурье-образу обменного взаимодействия по реше¯ ~k) = P~ I(~1) exp(−i~k~1) операторы Ландау-Лифшица приобретутточным переменным I(1видʱ m± (~1, ω) = [γ(H(~1) + H (m) (~1)) ± ω]m± (~1, ω)+ZB(p) X¯ − I(¯ ~k)] exp[i~k(~1 − 1~0 )]m± (1~0 , ω) d3 k+[I(0)~Vb 01~VbB [1] (p) XÊz mz (~1, ω) = ωmz (~1, ω) −~Vb01~Z¯ ~k) exp[i~k(~1 − 1~0 )]mz (1~0 , ω) d3 k,I(Vbгде Vb = (2π)3 /Va – объем первой зоны Бриллюэна. При ограничении разложения Фурье¯ ~k) = I(0)¯ − wk 2 , оператор ʱ будетобраза обменного взаимодействия первыми членами, I(иметь формуʱ m± (~1, ω) = [γ(H(~1) + H (m) (~1)) ± ω]m± (~1, ω)+Z4πγαM (~1) X+k 2 exp[i~k(~1 − 1~0 )]m± (1~0 , ω) d3 k,Vb01~Vb2где α = wVa /4π(gµB ) – широко известная константа обменного взаимодействия.
Еслимасштаб изменений намагниченности mν (~1, ω) и размер образца много больше постоянPной решетки a, то сумма по решеточным переменным ~1 в ʱ , Êz может быть замененаRинтегралом по объему образца Va−1 d3 r и операторы ʱ , Êz являются псевдодифференциальными операторами второго порядка [41].Уравнения (3.26), (3.27) имеют форму обобщенных уравнений Ландау-Лифшица [42,43]. Решения m± уравнений (3.26) описывают вращение магнитного момента. Они зависят от температуры, поскольку фактор β = 1/kT входит в аргумент функции БриллюэнаB(p), через которую выражается плотность магнитного момента M (~1).
Уравнение (3.27)описывает продольные изменения намагниченности, происходящие под влиянием поля h̄z .При низких температурах производная функции Бриллюэна B [1] (p) стремится к 0 и продольные изменения намагниченности mz становятся пренебрежимо малыми.114Из формы магнитного дипольного взаимодействия в (3.2) следует, что поле hν = h̄νв уравнениях (3.23), (3.24) является магнитостатическим, т.е. выражается через магнитостатический потенциал ϕ: h̄ν = −∇ν ϕ. Преобразуем уравнение (3.23) в уравнение длямагнитостатического потенциала ϕ(~r, ω).
Принимая во внимание формулу (3.24) и явную форму MDI в (3.2), выполняя дифференцирование ∇µ , аналитическое продолжениеiωm → ω − iε и суммирование в уравнении (3.23) по индексу µ, получим уравнение, выраженное в переменных ϕ, mν−∆ϕ(~r, ω) + 4π∇ν mν (~1, ω)|~1→~r = 0.(3.28)Уравнение (3.28) дает условия непрерывности нормальной составляющей индукции ~b =−∇ϕ + 4π m~ на границах пленки(~b, ~n)|+∂V = (~b, ~n)|−∂V ,(3.29)где ~n – нормаль к границе ∂V , +∂V и −∂V обозначают разные стороны границы. Таким образом, приходим к выводу, что с учетом уравнений Ландау-Лифшица (3.26), (3.27),дисперсионные соотношения спинволновых возбуждений даются собственными значениями уравнения (3.28).Рассмотрим спиновую систему при низких температурах.
В этом случае диаграммы,содержащие блоки с изолированными частями, могут быть опущены, так как производ[n]ные функции Бриллюэна BS (p) в (3.5) стремятся к 0 экспоненциально с понижениемтемпературы и вклад этих диаграмм в эффективные функции Грина становится незначительным. Вследствие этого, из уравнения (3.27) получаем, что mz → 0 и это уравнениеможно опустить. В этом случае для нахождения дисперсионных соотношений спинволновых возбуждений мы должны решить уравнения (3.26), (3.28). Уравнения (3.26) являются псевдодифференциальными и их разрешимость определяется существованием параметриксов ʱ−1 для операторов Ландау-Лифшица ʱ (~r, ω) [41].
Параметриксами являются обратные псевдодифференциальные операторы по модулю бесконечно сглаживающегооператора (порядка −∞) и могут быть определены методами символического исчисления.Параметриксы ʱ−1 существуют на функциональном пространстве N , ортогональном нулевым собственным векторам операторов ʱ или собственным пространствам Ker ʱ =P j (0)j(0)j(0)jr, ω), где m± (~r, ω) – решения уравнений ʱ (~r, ω)m± (~r, ω) = 0. Отбрасываj C± m± (~(0)jние нулевых собственных решений m± эквивалентно требованию, что m± (~1, ω) = 0 всоотношении (3.24) при нулевых значениях магнитного поля h± (~1, ω), т.е. не существуютспиновые возбуждения с m± (~1, ω) 6= 0 и h± (~1, ω) = 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
