Диссертация (1145326), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Параметр λ может быть дискретным или непрерывным. Учитывая вышеизложенное, получим уравнение, описывающее квазичастичныевозбуждения¯¯¯(λ) ~(0) ~(0)(λ)0000pj (1, ωm ) −Ijk (1 − ~1 , ωm )Gki (~1 , ~1 , ωm )pi (~1 , ωm )¯¯¯~10 ,k,iX= 0.(2.40)iωm →ω+iεsignω2.6Сведение диаграммных разложений к Фейнмановским диаграммам для Бозе и Ферми системДля Бозе и Ферми систем внутренняя динамика проста и задается, соответственно,группой и супергруппой Гейзенберга-Вейля. Соответствующая группе (супергруппе) алгебра (супералгебра) Гейзенберга порождена генераторами {I, a(~1), a+ (~1), ε(~1) = a+ (~1)a(~1)}с ненулевыми коммутационными соотношениями[a(~1), a+ (~1)] = I[ε(~1), a(~1)] = −a(~1)(2.41)[ε(~1), a+ (~1)] = a+ (~1).Другие коммутационные соотношения тривиальны.
a+ , a, I являются операторами рождения, уничтожения и тождественным оператором. Подалгебра Картана H натянута навектора I, ε(~1): H = Span{I, ε(~1)}. Гамильтониан (2.1), описывающий взаимодействующиеБозе и Ферми системы, имеет видH=XXV (~1 − ~10 )ε(~1)ε(~10 ), (2.42)[(pI + N (~1))I + (pε + E(~1))ε(~1) + p− a(~1) + p+ a+ (~1)] +~1,~10(~16=~10 )~1где N (~1), E(~1) – внешние поля, сопряженные операторам I и ε(~1). Уравнения (2.13) дляфункционала W [p] определяются коммутационными соотношениями (2.41) и гамильтонианом (2.42) и записываются в форме·¸∂δW [p]δW [p]± (pε (~1, τ ) + E(~1))= ∓p± (~1, τ )~∂τδp∓ (1, τ )δpI (~1, τ )89∂ δW [p]δW [p]δW [p]= p− (~1, τ )− p+ (~1, τ )∂τ δpε (~1, τ )δp− (~1, τ )δp+ (~1, τ )(2.43)∂ δW [p]= 0.∂τ δpI (~1, τ )Корневые пространства La , La+ одномерны, поэтому, в диаграммном разложении отсутствуют f -вершины. В данной модели существует только один пропагатор (2.25):δ 2 W [p]/δp− (~1, τ )δp+ (~1, τ )|p→0 = D(~1, τ − τ 0 ).
В частотном представлении (2.29) он записывается в виде1 − (−1)n+1 κaaD(~1, ωn ) =,2[iωn − E(~1)](2.44)где κaa = 1 для Бозе систем и κaa = −1 для Ферми систем. Учитывая, что корень пропагатора есть αa+ с αa+ (I) = 0 и форма взаимодействия дается гамильтонианом (2.42),из закона сохранения корней в вершинах следует отсутствие d-вершин в диаграммномразложении.Рассмотрим блок, содержащий пропагаторы (2.44). Из первого уравнения (2.43) следует, что блок с одной изолированной частью соответствует дифференцированиюδW [p]/δpI (~1, τ ). Из третьего уравнения (2.43) можно заключить, что производные W [p]по pI (~1, τ ) высших порядков равны нулю. Следовательно, если блок содержит пропагаторы, то этот блок имеет только одну связную изолированную часть. В этом случае обозначение блока может быть опущено. Таким образом, для модели с гамильтонианом (2.42)диаграммы содержат следующие части:(a) Пропагаторы без обозначения блоков.
Пропагаторы связаны посредством c-вершинс vc (a+ ; a+ |ε) = 1. a- и b-вершины являются внешними с va (−; a+ |a+ ) = vb (a+ ; I|a) = 1(Рис. 2.4a).(b)Блокисnизолированнымиe-вершинами,соответствующиепроизводнымδ n W/δpε . . . δpε |p→0 (Рис. 2.4b).Блоки с изолированными e-вершинами могут быть трансформированы в пропагаторные петли. Этот переход основан на соотношении ε(~1) = a+ (~1)a(~1). Благодаря ему, в производных δ n W/δpε . . . δpε |p→0 дифференцирование δ/δpε (~1, τ ) можно заменить дифференцированием δ 2 /δpa+ (~1, τ )δpa (~1, τ ).
Результат замены соответствует пропагаторным петлямс c-вершинами в диаграммах. Если диаграмма содержит m пропагаторных петель, то ееаналитическое выражение должно быть умножено на коэффициент κmaa . После этого перехода диаграммное разложение принимает форму обычных Фейнмановских диаграмм.90(a)D(1,wn)aD(1,wk)cD(1,wp)ccI(0)(1-1’,wm)bI(0)(1-1’,ws)(b)ecI(0)(1-1’,wm)I(0)(1-1’,wm)cccРис. 2.4: (a) Пропагаторы, связанные через c-вершины, с внешними a- и b-вершинами. (b)Блоки с изолированными e-вершинами и переход от блочной формы к пропагаторнымпетлям.912.7Спиновая модель с одноионной одноосной анизотропиейВ качестве примера применения развитой диаграммной техники к моделям с болеесложной Ли-групповой динамикой рассмотрим спиновый ансамбль с одноионной одноосной анизотропией, описываемый гамильтонианомH0 = −gµBX1 X ~ ~0 z ~ z ~0[S z (~1)Hz (~1) + (S z )2 (~1)Ha (~1)] −J(1 − 1 )[S (1)S (1 ) + S − (~1)S + (~10 )],2 0~1~1,~1(2.45)где Hz (~1) – внешнее магнитное поле, Ha (~1) – поле анизотропии.
Будем предполагать, чтоабсолютное значение спина равно 1, |S| = 1. g и µB – фактор Ланде и магнетон Бора,соответственно.Произведем переход от алгебры Ли L(0) = {S + , S − , S z } к алгебре Ли L(1) , образованнойсоставными операторами S µ (~1)S ν (~1). Этот переход позволит нам учесть анизотропию внулевом приближении. Алгебра L(1) изоморфна алгебре gl(3) 3 × 3-матриц и описываетквадрупольную спиновую динамику [78, 79].
Оператор (S z )2 содержится в алгебре L(1) иалгебра L(0) является подалгеброй L(1) : L(0) ⊂ L(1) . Матрицыj0Eij = i ···0...01 ··· ... 0формируют базис алгебры gl(3). Спиновые операторы, через которые записывается гамильтониан H0 (2.45), выражаются через матрицы EijS z = E11 − E33S z2 = E11 + E33S + = E12 + E23S − = E21 + E32 .Алгебра L(1) = gl(3) может быть разложена в прямую сумму L(1) = SpanI ⊕ sl(3),где sl(3) – полупростая алгебра Ли, изоморфная алгебре матриц с нулевым следом и I– тождественный оператор. Подалгебра Картана H алгебры gl(3) может быть выбра(1)на как подалгебра, натянутая на диагональные операторы h(1) = khij k = E11 − E33 ,(2)(3)h(2) = khij k = E11 − E22 и h(3) = khij k = E11 + E22 + E33 .
Оператор (S z )2 выражаетсячерез операторы h(k) , (S z )2 = −h(1) /3 + 2h(2) /3 + 2h(3) /3. Корни αij алгебры Ли gl(3) яв(k)(k)ляются линейными формами, удовлетворяющие условию αij (h(k) ) = hii − hjj . Корневые92пространства, соответствующие формам αij , есть одномерные пространства Eαij = cEij(c ∈ C). Это приводит к отсутствию f -вершин. Для определения пропагаторов (2.29) выберем операторное упорядочение (2.22) в видеE12 Â E32 Â E13 Â H Â E31 Â E23 Â E21 ,где корни α12 , α32 , α13 соответствуют старшим операторам E12 , E32 , E13 . Тогда в частотномпредставлении три старших корня αjk определяют три пропагатораD(jk) (~1, ωn ) =1,iωn − fjk (~1)(2.46)Pгде ωn = 2πn; fjk (~1) = 3l=1 αjk (h(l) )bl (~1); (jk) – двойной индекс, равный 12, 32 и 13; b1 (~1) =−gµB [Hz (~1) − Ha (~1)/3], b2 (~1) = −2gµB Ha (~1)/3, b3 (~1) = −2gµB Ha (~1)/3 – внешние поляв гамильтониане (2.2), соответствующие операторам h(1) , h(2) , h(3) подалгебры Картана.Принимая во внимание явную форму полей bl (~1) и масштабное преобразование −βbl → bl ,совершенное в 2.1, можем написать энергии fjk (~1) в (2.46) в видеf12 (~1) = βgµB [Hz (~1) + Ha (~1)]f32 (~1) = βgµB [−Hz (~1) + Ha (~1)](2.47)f13 (~1) = 2βgµB Hz (~1).Функционал W [p(H) ] (2.23) перепишется в формеW [p(H) ] =XXln Sp exp{ [uj (~1)h(j) ]}j~1=Xln[exp(u1 (~1) + u2 (~1) + u3 (~1)) + exp(−u2 (~1) + u3 (~1)) + exp(−u1 (~1) + u3 (~1))],(2.48)~1(H)(H)где uj (~1) = −β[bj (~1) + pj (~1)], pj (~1) – бесконечно малые вспомогательные поля.
В приближении самосогласованного поля (2.35) магнитное поле Hz (~1) перенормируетсяHz(s) (~1) = Hz (~1) +XJ(~1 − ~10 )hhS z (~10 )ii0 .~10(s)Перенормировка Hz (~1) → Hz (~1) приводит к изменениям внешних полей b1 (~1) и энергийfjk (~1) (2.47). В приближении самосогласованного поля ненулевые затравочные функцииГрина (2.37) с индексами (jk), соответствующие недиагональным операторам Ejk , принимают формуexp(βgµB Hz ) − exp(−βgµB Ha )(0)G(12)(21) (~1, ~1, ωn ) =F [iωn − f12 (~1)]93(0)G(32)(23) (~1, ~1, ωn ) =exp(−βgµB Hz ) − exp(−βgµB Ha )F [iωn − f32 (~1)](2.49)exp(βgµB Hz ) − exp(−βgµB Hz )(0)G(13)(31) (~1, ~1, ωn ) =,F [iωn − f13 (~1)]где F = exp(βgµB Hz )+exp(−βgµB Hz )+exp(−βgµB Ha ). Затравочные функции Грина с индексами, соответствующими диагональным операторам h(k) (k = 1, 2, 3), являются функ(0)циями G(jj)(ii) (~1, ~1, ωn ) = [δ 2 W/δbi (~1)δbj (~1)] · δn0 .
Для индексов i, j = 1,2 функции Грина(0)(0)G(jj)(ii) отличны от нуля. Если один из индексов i или j равен 3, то G(jj)(ii) = 0. Затра(0)вочные функции Грина Gи затравочные взаимодействия J(~1 − ~10 ) задают матрицу(ij)(kn)эффективных функций Грина и взаимодействий P (1) (2.39). Дисперсионные соотношения квазичастичных возбуждений (2.40) определяются полюсами P (1) -матрицы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
