Диссертация (1145326), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Один пропагатор входит и один выходит из f -вершины.Входящий и выходящий пропагаторы имеют одинаковые корни, αm = αj . ВершинныйP mCij bi (~1). Вследствие треугольной формы присоединенногофактор равен vf (j; m|−) =iпредставления (2.15) и условия m 6= j в соотношении (2.20), индекс m выходящего пропагатора из f -вершины меньше индекса j входящего пропагатора, m < j. Для случаев c-,d-, f -вершин, необходимо провести суммирование по индексам выходящих пропагаторови индексам ближайших вершин. Другими словами, должно быть проведено суммированиепо m, где m – общий индекс вершины v(. . .
; m| . . .), пропагатора с корнем αm выходящегоиз этой вершины и входящего в следующую вершину v(m, . . . ; l|k) и вершины v(m, . . . ; l|k)(Рис. 2.1b). В случае b-вершины с фактором vb (j; m|i) суммирование должно быть про(H)изведено по общему индексу m вершины и одного из индексов коэффициента Γjn ,...,j1 ,определяемого соотношением (2.24).После определения вершин мы можем сформулировать закон сохранения корней в(field)может быть ассоциирован с дифференцированием W [p] по полямвершине.
Корень αi(in)(out)pi (~1, τ ). Корням αj пропагаторов, входящих в вершину, и корню αm выходящего пропагатора припишем, соответственно, знаки ’+’ и ’−’. Тогда, принимая во внимание свойствокорневого разложения алгебры Ли [30–32][σ (α) , σ (β) ] ∈ Lα+β ,из соотношения (2.20) получим закон сохранения корней в вершине(field)αi+X(in)αjj79(out)− αl= 0.(2.26)(field)Для e-вершин соотношение (2.26) тривиально.
Для f -вершин корень αiдолжен бытьопущен.3. Блоки. В результате первого этапа – выражения функциональных производныхW [p] в (2.14) через производные от Картановских полей, базирующегося на соотношении(2.20), мы получаем диаграмму, состоящую из n изолированных частей. Этими частямиявляются e-вершины, одиночные пропагаторы и множество пропагаторов, соединенныхчерез c-, d-, f -вершины. Число изолированных частей n равно числу дифференцирований W [p] по Картановским полям или, что эквивалентно, числу индексов коэффициента(H)Γj ,...,j (~1) в (2.24). Объединим эти части в блок (Рис.
2.1c). В соответствии с (2.24) припиn1(H)шем фактор Γjn ,...,j1 (~1) блоку, состоящему из n частей. В блоке все части имеют одинаковые пространственные переменные. Каждая часть, состоящая из пропагаторов, связанных(H)между собой, кончается b-вершиной. Индексы jk фактора Γj ,...,j (~1) соответствуют индекn1сам i e-вершин ve (−; −|i) и индексам m b-вершин vb (j; m|i). В случае b-вершин необходимотакже провести суммирование по m.4. Линии взаимодействия.
Возвращаясь к функционалу Z[p] (2.12), можно заме(0)тить, что операция δ/δpi (~1, τ ) Vij (~1−~10 ) δ/δpj (~10 , τ ) добавляет линии взаимодействия Iij (~1−~10 , τ − τ 0 ) = Vij (~1 − ~10 )δ(τ − τ 0 ), связывая пары вершин (Рис. 2.1d). Корни αi(field) , αj(field) ,ассоциированные, соответственно, с полями pi и pj , могут быть соотнесены концам ли(0)нии взаимодействия Iij . Таким образом, сохраняется закон сохранения корней в вершине(2.26).Принимая во внимание определения пропагаторов, вершин, блоков и линий взаимодействия, мы можем вычислить коэффициенты Γjn ,...,j1 в (2.14) и коэффициентыQjn ,...,j1 (~1, . .
. , ~n, τ1 , . . . , τn ) в диаграммном разложении Z[p] (2.12)11∞XX Z ZZ[p] =· · · Qjn ,...,j1 (~1, . . . , ~n, τ1 , . . . , τn )pj1 (~1, τ1 ) . . . pjn (~n, τn ) dτ1 . . . dτn ,n=0~1,...,~nj1 ,...,jn0(2.27)0где коэффициенты Qjn ,...,j1 пропорциональны температурным функциям Грина без вакуумных петель (2.11).
Для этого вычисления нарисуем n внешних вершин, соответствующих полям pj в разложении (2.27) и 2s внутренних вершин, соединенных линиями взаи(0)модействия Ijk jk 0 . Линии взаимодействия не связаны с внешними вершинами. После этого,в соответствии с операторным упорядочением (2.22), нарисуем линии пропагаторов, начинающихся с вершин с максимальным значением порядка полей pj (или, операторов σj ).Сумма корней операторов, соответствующих вершинам, соединенных пропагаторами, равPна нулю, i αi = 0. Это множество вершин, соединенных пропагаторами, является частьюблока.
Оно кончается b-вершиной. Временные переменные, соответствующие начальными конечным точкам пропагаторов и линий взаимодействия, сходящихся в вершине, совпадают. Пространственные переменные линий взаимодействия и пропагаторов должны80--+S-SS-+S+SzS+SSS--+SS+SzSS--S+SzS+zSSSzS-S+S-+SSРис. 2.2: Диаграммы с тремя внешними и двумя внутренними вершинами для моделиГейзенберга с упорядочиванием спиновых операторов S −  S z  S + .совпадать внутри блока.
Пример конструирования диаграмм представлен на Рис. 2.2 длямодели Гейзенберга с гамильтонианомH0 = −gµBX~1Hz (~1)S z (~1) −1 X ~ ~0 z ~ z ~0J(1 − 1 )[S (1)S (1 ) + S − (~1)S + (~10 )],2 ~1,~10~16=~10где g, µB , Hz (~1) – фактор Ланде, магнетон Бора и внешнее магнитное поле, соответственно.
Мы используем упорядочивание спиновых операторов S −  S z  S + . Диаграммысодержат три внешние и две внутренние вершины.Принимая во внимание изложенный выше принцип конструирования диаграмм, соотношение (2.12) и метод нахождения коэффициентов Γjn ,...,j1 в (2.14) посредством двухступенчатой процедуры, мы определим коэффициенты Qjn ,...,j1 в диаграммном разложении.Каждая диаграмма однозначно соответствует аналитическому выражению8111Y X Z Z (0)Ps(0)Qjn ,...,j1 (~1, . . .
, ~n, τ1 , . . . , τn ) =· · · Ij1 j1 0 (~1 − ~10 , τ1 − τ1 0 ) . . . Ijs js 0 (~s − ~s0 , τs − τs 0 )s! L ~1,...,~s~10 ...~s0{i,j,m}×Y0YDjl (~1L , τl − τl 0 )0(H)vµ ({jr }; mr |ir ) ΓJL (~iL ) dτ1 . . . dτM ,(2.28)µ∈vertexlгде Ps – число топологически эквивалентных диаграмм. Интегрирование осуществляетсяпо M = 2s + mf временным переменным τ , где mf – число f -вершин. JL = (j1 , . . .
, jkL )(H)– мультииндекс блока L, состоящего из kL частей. Блочный фактор ΓJL определяетсяQQиндексами b- и e-вершин. Произведения L и µ∈vertex vµ ({jr }; mr |ir ) выполняются, соответственно, над всеми блоками и вершинами диаграммы. Индексы линий взаимодействияи пропагаторов выбираются из множества {i, j, m} = {i1 , . . .
, j1 , . . . , m1 , . . .} так, чтобы онисовпадали с соответствующими вершинными индексами и выполнялся закон сохранениякорней в вершине (2.26).2.3.4Диаграммные разложения в частотном представленииЧастотное представление диаграммного разложения более удобно для вычислений.Для осуществления этого перехода определим Фурье-образы пропагаторов (2.25) и линийвзаимодействия1Dj (~1, ωn ) =2Z1Dj (~1, τ ) exp(−iωn τ ) dτ =−1[1 − (−1)n+1 κjj ]2[iωn − fj (~1)](2.29)(0)Ijk (~1 − ~10 , ωn ) = Vjk (~1 − ~10 ),(2.30)где ωn = πn (n = 0, ±1, . . .) – Мацубаровская частота, fj (~1) =Prl=1(H)αj (σl)bl (~1). Аналити-ческое выражение коэффициентов Qjn ,...,j1 (2.28) в частотном представлении запишется ввидеPs Y X X (0) ~ ~ 0(0)Qjn ,...,j1 (~1, .
. . , ~n, ωn1 , . . . , ωnn ) =Ij1 j1 0 (1 − 1 , ωm1 ) . . . Ijs js 0 (~s − ~s0 , ωmn )s! L m ~1,...,~si×гдеPmiYlDjl (~1L , ωml )Y~10 ...~s0{i,j,m}vµ ({jr }; mr |ir )µ∈vertexYvertexX(H)δ(ωml ) ΓJL (~iL ),lозначает суммирование по всем внутренним частотам. Член(2.31)QvertexPδ( l ωml )определяет закон сохранения частот в каждой вершине, т.е. сумма частот пропагаторов и82линий взаимодействия, которые входят и выходят из вершины, равна 0. e-вершины связаны с одной линией взаимодействия. В аналитическом выражении этому соответствуетфактор δ(ωm ) = δm0 .Спектральные зависимости возбуждений, времена релаксации и другие характеристики квантовых систем определяются полюсами двух-временных температурных функцийГрина (2.11) в частотном представлении при аналитическом продолженииiωm → ω + iε sign ωδm0 → (ω + iε sign ω)−12.3.5(ε → 0).(2.32)Диаграммные разложения для случая полупростых алгебрЛи и простых контрагредиентных супералгебр ЛиДля полупростых алгебр Ли диаграммные разложения могут быть упрощены.
Корневые пространства Lα являются одномерными. Это приводит к отсутствию f -вершин.Благодаря невырожденности формы Киллинга на L, каждому корню α соответствует корневой вектор hα ∈ H, определяемый соотношением [30, 31]α(σ (H) ) = (hα , σ (H) ),(2.33)где (. . . , . . .) – форма Киллинга. Векторы hα выражаются через нормированные операторыσ (α) , σ (−α) . Нормировка выбрана так, чтобы (σ (α) , σ (−α) ) = 1. Тогда, векторы hα могут бытьзаписаны в виде [30, 31]hα = [σ (α) , σ (−α) ]Подалгебра Картана H полностью определяется векторами hα . Форма Киллинга положительно определена на подалгебре Картана и индуцирует эвклидовую геометрию на H.Принимая во внимание взаимно-однозначное соответствие между корнями α и корневымивекторами hα , можем записать закон сохранения корней (2.26) в формеh(field)+αiX(out)= 0.h(in)αj − hαljВ случае алгебр Ли большой размерности такое представление закона сохранения корней может быть более полезным по сравнению с (2.26), так как мы можем использоватьэвклидовые свойства подалгебры H.Особенными случаями простых контрагредиентных супералгебр Ли являются A(m, n),B(m, n), C(n), D(m, n), D(2, 1; α), F (4), G(3) [32].
Для этих супералгебр корневые пространства Lα одномерны. Супералгебры имеют суперсимметричные билинейные невырожденные формы, которые инвариантны относительно автоморфизмов и могут быть83отличны от форм Киллинга. Существование этих форм дает нам возможность перейтик корневым векторам hα в соответствии с соотношением (2.33). Вышеназванные свойстваприводят к упрощению диаграммных разложений, аналогичному упрощению для полупростых алгебр Ли.2.4Обобщение диаграммной техники для квантовых систем на топологически нетривиальных многообразияхДифференциальные функциональные уравнения (2.10) были выведены для моделей сгамильтонианом (2.1) на топологически тривиальной кристаллической решетке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
