Диссертация (1145326), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Результаты главы2 используются в главе 3 при исследовании магнитных свойств и спинволновых возбуждений спиновых структур, описываемых моделью Гейзенберга. Модель Гейзенберга имеетвнутреннюю динамику с группой Ли Spin(3). Диаграммная техника, основанная на разложении функций Грина, является одним из эффективных теоретических методов, применяемых для исследования сильно взаимодействующих систем. Диаграммное разложениеявляется мощным методом для получения разнообразной информации о системах взаимодействующих частиц в квантовой теории поля и в статистической физике. Используядиаграммную технику, можно найти спектры квазичастичных возбуждений, вычислитьвероятности переходов, определить температурные зависимости термодинамических потенциалов, найти параметры релаксации возбуждений.

Диаграммная техника для квантовых систем, развитая во 2 главе, основана на разложении производящего функционала длятемпературных функций Грина и определяется через дифференциальные функциональные уравнения. На уровне частиц квантовые системы описываются операторами, которыепринадлежат некоторой алгебре или супералгебре Ли. Операторы являются генератораминепрерывных преобразований соответствующих групп Ли, которые определяют внутреннюю динамику квантовой системы.Для построения диаграммной техники мы перейдем от операторов квантовой системык дифференциальным операторам над некоторой коммутативной алгеброй регулярныхфункционалов. Учитывая получившееся дифференциальное представление, будет построена диаграммная техника, основанная на разложении производящего функционала длятемпературных функций Грина [19, 20].

Производящий функционал задается дифференциальными функциональными уравнениями. Эти уравнения получены в разделе 2.2 из66эволюционных операторных уравнений путем замены операторов алгебры Ли дифференциальными операторами над коммутативной алгеброй функционалов. Решения дифференциальных функциональных уравнений найдены в разделе 2.3 в форме рядов, которым соответствуют диаграммные разложения. Данный метод построения диаграммныхразложений является более общим, чем методы, использующие теорему Вика и разложение функциональных интегралов [7–9, 12–15]. Полученное диаграммное построение, основанное на дифференциальных функциональных уравнениях, дает возможность описатьквантовые системы на топологически нетривиальных дифференцируемых многообразияхи исследовать дифференциальные функциональные уравнения с помощью когомологийи методами вторичного дифференциального исчисления [21–24].

Для реализации этого вразделе 2.4 мы обобщим дифференциальные функциональные уравнения и диаграммныеразложения на случай функционалов, определенных на пучке колец функций на топологически нетривиальных многообразиях. Топологическая нетривиальность многообразийнакладывает ограничения на форму взаимодействий между частицами и приводит к существованию дополнительных квантовых возбуждений.Преимуществом развитой диаграммной техники является возможность нахожденияэффективных кластерных аппроксимаций для моделей с сильными локальными взаимодействиями.

Это может быть реализовано путем перехода в гамильтониане от одночастичных операторов к композиционным операторам, описывающим кластер частиц. Композиционные операторы принадлежат универсальной обертывающей алгебре, базис которойпостроен из одночастичных операторов. Замена операторов приводит к замене алгебр Ли.Первичная алгебра Ли L(0) , описывающая внутреннюю динамику квантовой системы, замещается алгеброй Ли L(1) , которая включает L(0) в качестве подалгебры: L(0) ⊂ L(1) .В разделе 2.5 будет рассмотрено приближение самосогласованного поля и определена матрица эффективных функций Грина и взаимодействий (P-матрица) посредствомсуммирования рядов, состоящих из затравочных взаимодействий и затравочных функций Грина. Квазичастичные возбуждения квантовой системы определяются полюсами Pматрицы.Некоторые частные случаи диаграммных разложений для моделей с различной внутренней Ли-групповой динамикой рассмотрены в разделах 2.6 - 2.7.

Для случая алгебры(супералгебры), составленной из операторов рождения-уничтожения, диаграммные разложения сводятся к диаграммам Феймана для Бозе (Ферми) квантовых систем (раздел 2.6).В разделе 2.7 рассмотрена диаграммная техника и возбуждения для спиновой системыс одноосной анизотропией. Внутренняя динамика этой модели сложнее внутренней динамики модели Гейзенберга и описывается алгеброй Ли gl(3) (или, опуская центр алгебры,алгеброй Ли sl(3)).672.2Вывод функциональных уравненийРассмотрим модель с внутренней Ли-групповой динамикой на кристаллической решетке, описываемую гамильтонианомH = H0 + H0 ,(2.1)гдеH0 = Hb + HV =Xbj (~1)σj (~1) +XVij (~1 − ~10 )σi (~1)σj (~10 ),(2.2)~1,~10i,j~1,j~1 ≡ ~rn1 , ~10 ≡ ~rn10 - упрощенное обозначение узла кристаллической решетки, bj (~1) - внешниеполя, Vij (~1 − ~10 ) - взаимодействие. Операторы σj (~1) характеризуют различные свойстваквантовых систем и могут быть операторами энергии определенного уровня, спиновымиоператорами, операторами числа частиц, операторами электрического дипольного момента и т.п.

Поля bj (~1), соответствующие этим операторам σj (~1), есть величины энергий,магнитных полей, химических потенциалов, электрических полей. Операторы σj (~1) удовлетворяют коммутационным соотношениям[σi (~1), σj (~10 )] =XCijm σm (~1)δ~1~10(2.3)mи определяют алгебру (супералгебру) Ли L на узле ~1. Алгебра (супералгебра) Ли L задаетвнутреннюю Ли-групповую динамику квантовой системы. Если L является супералгебройЛи, то скобка определяется соотношением[σi (~1), σj (~10 )] = σi (~1)σj (~10 ) − κij σj (~10 )σi (~1),где коэффициент κij = (−1)deg σi ·deg σj зависит от четности deg σi (~1), deg σj (~10 ) операторовσi (~1), σj (~10 ). Если оператор σk является четной грассмановой переменной, то значениечетности deg σk = 0, если σk - нечетная грассмановая переменная, то значение deg σk = 1.Мы будем предполагать, что операторы σk (~1) и соответствующие поля bk (~1) в (2.2) имеют одинаковые четности, deg σk (~1) = deg bk (~1), и гамильтонианы Hb , HV , H0 являютсячетными грассмановыми переменными, deg Hb = deg HV = deg H0 = 0.

Мы также будемпредполагать, что квантовая система, описываемая гамильтонианом H0 , находится в термодинамическом равновесии и характеризуется температурой T . В термодинамическом(c)равновесии множество r коммутирующих операторов {σj (~1)}, которое является подмно(c)жеством {σj (~1)}, задает набор наблюдаемых переменных. Множество {σj (~1)} определяетнабор отличных от нуля статистически средних величин hhσj (~1)ii0 , где hh. .

.ii0 обозначаетусреднение с гамильтонианом H0 . В термодинамическом равновесии внешние поля bj (~1),(c)соответствующие операторам {σj (~1)}, могут принимать произвольные значения.68Необходимо отметить, что билинейная форма гамильтониана H0 с билинейным взаимодействием в определении (2.2) является общей. Если гамильтониан взаимодействияимеет видHV =XVi1 ...in j1 ...jk (~1 − ~10 )ai1 (~1) .

. . ain (~1)aj1 (~10 ) . . . ajk (~10 ),~1,~10i1 ,...,in ,j1 ...,jkто переход к билинейной форме реализуется подстановкой составных операторов σi (~1) =ai1 (~1) . . . ain (~1), σj (~10 ) = aj1 (~10 ) . . . ajk (~10 ) вместо операторов ai . Множество операторов {σi (~1)}генерирует алгебру Ли L(1) , отличную от первичной алгебры Ли L(0) , базис которой сформирован операторами ai . Частным случаем такого перехода является переход от моделисильно взаимодействующей электронной Ферми системы к модели Хаббарда [10–15].ГамильтонианH0 =Xpj (~1)σj (~1)(2.4)~1,jописывает взаимодействие с вспомогательными полями pj (~1).

Мы предполагаем, что в гамильтониане H0 четности операторов и вспомогательных полей равны: deg σj (~1) = deg pj (~1).В случае моделей с внутренними динамическими алгебрами Ли, множество полей p ={pj (~1)} образует коммутативное функциональное кольцо. Для моделей с супералгебрамиЛи поля p образуют антикоммутативное кольцо.По гамильтониану (2.1) мы можем определить производящий функционалZ[p] = Sp exp[−βH(p)],(2.5)где β = 1/kT , k - постоянная Больцмана.

Для анализа температурных зависимостей квантовой системы мы должны вывести дифференциальные уравнения для производящегофункционала. Эти уравнения могут быть найдены из эволюционных операторных уравнений∂ σ̂j (~1, τ )= [H, σ̂j (~1, τ )]∂τ(τ ∈ [0, β])(2.6)путем усреднения с оператором exp[−βH(p)], где σ̂j (~1, τ ) = exp(τ H)σj (~1) exp(−τ H) - операторы в эвклидовом представлении Гейзенберга. Без потери общности мы можем включитьконстанту β в определение внешних полей bj , взаимодействия Vij и вспомогательных полейpj в соотношениях (2.2), (2.4) и изменить диапазон значений τ в уравнениях (2.6). Другими словами, осуществим масштабное преобразование: −βbj → bj , −βVij → Vij , −βpj → pj ,τ → βτ . В новых переменных производящий функционал и операторы в эвклидовом представлении Гейзенберга имеют вид Z[p] = Sp exp[H(p)] и σ̂j (~1, τ ) = exp(−τ H)σj (~1) exp(τ H),соответственно, где τ ∈ [0, 1].69Для того, чтобы вывести дифференциальные уравнения для производящего функционала, выявим зависимость от p в соотношении (2.5) и найдем явную форму этой зависимости.

Для этих целей перейдем от операторов в эвклидовом представлении Гейзенберга коператорам в представлении взаимодействия σj (~1, τ ) = exp(−τ H0 )σj (~1) exp(τ H0 ). В представлении взаимодействия гамильтониан H0 рассматривается как возмущение. Переход отоператоров в эвклидовом представлении Гейзенберга к операторам σj (~1, τ ) в представлении взаимодействия определяется оператором эволюции U (τ ) [27]σ̂j (~1, τ ) = U −1 (τ )σj (~1, τ )U (τ ).Оператор эволюции дает зависимость от p в формеZτU (τ ) = exp(−τ H0 ) exp(τ H) = T exp H0 (τ 0 ) dτ 0  ,0где H0 (τ ) = exp(−τ H0 )H0 exp(τ H0 ) - гамильтониан (2.4) с вспомогательными полями p впредставлении взаимодействия; T - оператор упорядочивания по времени. Если временныепеременные τ операторов совпадают, тоT{A, B} = 1/2[AB + (−1)deg A·deg B BA].Дифференцирование оператора эволюции U (1) при τ = 1 относительно полей p даетδδU (1) = T σj1 (~1, τ1 ) .

Характеристики

Список файлов диссертации