Диссертация (1145326), страница 17
Текст из файла (страница 17)
. . σjn (~n, τn ) exp ···δpjn (~n, τn )δpj1 (~1, τ1 )Z1H0 (τ ) dτ 0hi= U (1)T σ̂j1 (~1, τ1 ) . . . σ̂jn (~n, τn ) .(2.7)Так как дифференциальные операторы являются некоммутативными, то к полям pjдобавлены временные переменные τj . Переменные τj могут рассматриваться как Фенмановские параметры порядка [201].
На основании этого мы будем писать временные переменные в полях pj во всех последующих уравнениях. Временные переменные могутбыть опущены только в том случае, если алгебра Ли L коммутативна. Этот случай будетрассматриваться в разделе 2.2.2, где подалгебра Картана представлена как независимаяалгебра Ли.Произведение операторов в соотношении (2.7) принадлежит к универсальной обертывающей алгебре U(L) [29]. Соотношение (2.7) дает возможность представить T-упорядоченное произведение операторов σ̂j , принадлежащее U(L), дифференциальными операторами над алгеброй функционалов. Мы определим эту функциональную алгебру каккоммутативную алгебру A регулярных функционалов R ∈ A над кольцом F (0) функций70pj (~1, τ ).
Регулярные функционалы R ∈ A могут быть записаны в виде степенных рядовотносительно полей pj (~1, τ ) ∈ F (0)∞ X X Z1 Z1XR[p] =· · · Yjn ,...,j1 (~1, . . . , m;~ τ1 , . . . , τ m )n=0 j1 ,...,jn ~1,...,~n00×pj1 (~1, τ1 ) . . . pjn (~n, τn ) dτ1 . . . dτn ,(2.8)где m ≥ n, Yjn ,...,j1 (~1, . . .
, m;~ τ1 , . . . , τm ) - функции от m пространственных и m временных переменных. Так как индексы jn . . . , j1 рассматриваются как матричные индексы вовсех последующих соотношениях (например, в уравнениях Дайсона), в функциях Yjn ,...,j1использован их обратный порядок. Функции Yjn ,...,j1 (~1, . . . , m;~ τ1 , . . . , τm ) принадлежат кN(0)гладкой оболочке тензорного произведения m колецm Fm . В (2.8) мы потребуем конечность значений интегралов и сходимость рядов. Сложение A ⊕ A → A, умножениеA ⊗ A → A, A ⊗ F (0) → A и дифференцирование на F (0) -алгебре A можно определитьследующим образом.
Сложение и умножение в алгебре A определяются, соответственно,почленным сложением и умножением рядов. В соответствии с [21–23], дифференцированиеявляется частным случаем F (0) -гомоморфизма. Дифференцирование регулярных функционалов R[p] относительно поля pi (~i, τi ) сводится к исключению поля pi (~i, τi ) и к пропускусоответствующих суммы и интеграла относительно переменных ~i, τi в степенном ряде (2.8)∞XδR[p]=δpi (~i, τi )X11X Z Z· · · Yjn ,...,j1 (~1, .
. . , m;~ τ1 , . . . , τm )n=0 j1 ,...,î,...,jn ~ ~1,...,î,...,~n0×nYk=i+10κik pj1 (~1, τ1 ) . . . p̂i (~i, τi ) . . . pjn (~n, τn ) dτ1 . . . dτˆi . . . dτn ,{z}|(2.9)n−1где знак ˆ означает, что данная переменная должна быть опущена. Суммирование по индексам j1 , . . . , î, . .
. , jn в соотношении (2.9) проводится по всем множествам {î, j2 , . . . , jn },. . ., {j1 , . . . , jn−1 , î}. Так как вспомогательные поля pj (~1, τ ) могут быть грассмановыми переменными, то для определенности мы будем считать дифференцирование правым. ЧленQn~k=i+1 κik появляется от перестановки полей pj (1, τ ) во время дифференцирования.После усреднения с оператором exp(H) соотношение (2.7) может быть использованодля представления уравнений (2.6) в форме дифференциальных функциональных уравнений. Принимая во внимание явную форму гамильтониана H, определенную выражениями (2.1), (2.2), (2.4), коммутационные соотношения (2.3) и соотношение (2.7), заменимоператоры σ̂j в эвклидовом представлении Гейзенберга в (2.6) дифференциальными операторами и получим дифференциальные функциональные уравненияXδZ[p]∂ δZ[p][bi (~1) + pi (~1, τ )]Cijm=~∂τ δpj (1, τ )δpm (~1, τ )i,m71+XmCnj[Vin (~10− ~1) + κin Vni (~1 − ~10 )]i,n,m,~10δ 2 Z[p].δpi (~10 , τ )δpm (~1, τ )(2.10)В общем случае, решения функциональных уравнений (2.10) принадлежат модулю надалгеброй A.
Помимо определения функциональных уравнений (2.10), соотношение (2.7)может быть использовано для вывода следующего утверждения – функционал Z[p] генерирует температурные функции Грина без вакуумных петель [27]Gjn ...j1 (~1, . . . , ~n, τ1 , . . . , τn ) ≡ hhTσ̂j1 (~1, τ1 ) . . . σ̂jn (~n, τn )ii¯¯nδZ[p]¯,= Z −1¯~δpj1 (1, τ1 ) . . . δpjn (~n, τn ) ¯p→0(2.11)где hh. . .ii обозначает усреднение или взятие следа Sp, вычисленное с операторомexp(H)/Sp exp(H). Во избежания неопределенностей будем полагать, что в (2.11) первымдифференцированием является δ/δpjn (~n, τn ) и последним – δ/δpj1 (~1, τ1 ).2.3Диаграммные разложенияНайдем решение уравнений (2.10) в форме степенных рядов для функционала Z[p]относительно взаимодействия Vij и полей p.
Каждый член ряда соответствует диаграмме, вследствие чего это разложение в виде ряда известно как диаграммное разложение.Для того, чтобы найти диаграммное разложение, заменим функционал Z[p] функционалом W [p]. W [p] является производящим функционалом для связных функций Грина безвзаимодействия Vij и определяется как [27]Z[p] = exp 1XZ~1,~10i,j0δδVij (~1 − ~10 ) exp W [p] dτ.0~~δpi (1, τ )δpj (1 , τ )(2.12)Заменяя Z[p] функционалом W [p] в уравнениях (2.10), получим уравнения для W [p]без членов Vij . Эти уравнения определены на одном узле кристаллической решетки"#X jXδW [p]∂δW [p]Cij ui (~1, τ )−=Cijm ui (~1, τ ),∂τδpj (~1, τ )δpm (~1, τ )i(2.13)i,m(6=j)где ui (~1, τ ) = bi (~1) + pi (~1, τ ).Диаграммное разложение для W [p] имеет форму степенных рядов относительно полейp11∞XX Z Z· · · Γjn ,...,j1 (~1, τ1 .
. . τn )pj1 (~1, τ1 ) . . . pjn (~1, τn ) dτ1 . . . dτn .W [p] =n=0~1j1 ,...,jn0072(2.14)Коэффициенты Γjn ,...,j1 (~1, τ1 . . . τn ) выражаются через производные от W [p] относительнополей p в пределе p = 0¯¯nδW[p]¯Γjn ,...,j1 (~1, τ1 . .
. τn ) =.¯δpj1 (~1, τ1 ) . . . δpjn (~1, τn ) ¯p→0В общем случае, коэффициенты Γjn ,...,j1 (~1, τ1 . . . τn ) являются обобщенными функциями. Если Γjn ,...,j1 (~1, τ1 . . . τn ) гладкие функции, удовлетворяющие требованиям сходимостиряда и конечности значений интеграла в (2.14), тогда функционал W [p] принадлежит алгебре A. В противном случае, W [p] принадлежит A-модулю.
Для того, чтобы найти этикоэффициенты, выделим подалгебру Картана H в алгебре Ли L. Хотя, в общем виде,подалгебра Картана является нильпотентной, мы будем полагать, что H коммутативна с(H)размерностью dim H = r и имеет базис {σj (~1)} [30–32]. Для квантовых систем в термодинамическом равновесии с гамильтонианом (2.2) подалгебра Картана H образована(H)множеством операторов наблюдаемых переменных. Внешние поля bj (~1) ≡ bj (~1) и производные δW [p]/δpj (~1, τ ), соответствующие этим наблюдаемым переменным, в общем случае,имеют отличные от нуля значения. Будем говорить, что вспомогательные поля pj (~1, τ ),(H)(H)∈ H, являются Картановскими полями pj (~1, τ ).
Вспо(H)могательные поля отличные от pj (~1, τ ) будем обозначать через p̄j (~1, τ ). Таким образом,соответствующие операторам σjкольцо F (0) (p) может быть разложено в прямую сумму F (0) (p) = F (0) (p(H) ) ⊕ F (0) (p̄).Определив подалгебру Картана, произведем корневое разложение алгебры Ли L относительно подалгебры H: L = ⊕α Lα , H = L0 [30–32]. Корни α являются 1-формами,принадлежащими сопряженному пространству H ∗ и задают корневую систему ∆ = {α ∈H ∗ |Lα 6= 0}. Если L – супералгебра, то L = L0̄ ⊕L1̄ , где deg L0̄ = 0 и deg L1̄ = 1, и корневаясистема имеет вид ∆0 ∪ ∆1 [32]. ∆0 является корневой системой алгебры L0̄ , а ∆1 – системой весов представления алгебры L0̄ на L0̄ -модуле L1̄ . Соответственно, ∆0 называетсясистемой четных корней, а ∆1 – системой нечетных корней.
Так как подалгебра H комму(H)тативна, то присоединенное представление ad(σi(α))σk(H)≡ [σi(α)(α), σk ] на пространствах Lα(α)(σk ∈ Lα ) имеет треугольную форму и мы можем выбрать базис σj , удовлетворяющийусловиям(H))σ1(H))σ2ad(σiad(σi(α)(α)1σ1= Ci1(α)21σ2σ1 + Ci2= Ci2...(H)ad(σi )σn(α)(α)(α)=nX(2.15)(α)jCinσj ,j=1n1для дангде диагональные коэффициенты Cijj не зависят от индекса j, т.е. Ci1= .
. . = Cinного корневого пространства Lα . Корни α и диагональные коэффициенты Cijjαα , определен73(H)ные коммутационными соотношениями (2.3), связаны между собой выражением α(σiCijjαα ,)=где индекс jα соответствует корню α [30,31]. Мы будем рассматривать случай алгебрL, для которых для каждого корня αk существует отрицательный корень −αk .Найдем коэффициенты Γjn ,...,j1 в соотношении (2.14) посредством двухступенчатой процедуры. На первом этапе используем рекуррентное соотношение и исключим производныепо некартановским полям – выразим производные W по полям p̄i (~1, τ ) через производные(H)W относительно Картановских полей pj (~1, τ ).
После этого перейдем к пределу p̄ → 0.(H)На втором этапе вычислим производные W относительно Картановских полей pj (~1, τ ) в(H)пределе pj2.3.1→ 0.Выражение функциональных производных через производные относительно Картановских полейПроизводные W относительно полей p̄i (~1, τ ), соответствующие операторам σj ∈/ H, могут быть найдены посредством рекуррентной процедуры, следующей из уравнения 2.13).Пусть σj является базисным вектором (2.15) с корнем αj 6= 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
