Диссертация (1145326), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Функционал Z[p] определялся как функционал на полях pj (~1, τ ). Эти поля образуют коммутативноекольцо функций F (0) для моделей с внутренними динамическими алгебрами Ли и антикоммутативное кольцо для моделей с супералгебрами Ли. Кольцо F (0) определяет постоянный пучок функций. Для обощения диаграммной техники на модели на топологическинетривиальных многообразиях необходимо заменить в уравнениях (2.10) пучок функцийF (0) на пучок функций F (F (0) ⊂ F ) на многообразии и заменить переменные на решеткеконтинуальными переменными многообразия, pj (~1, τ ) → pj (~r, τ ).
Тогда, суммирование покристаллической решетке заменится интегрированием по континуальным переменным ирегулярный функционал R[p] (2.8) алгебры A может быть записан в видеR[p] =∞ X ZXn=0 j1 ,...,jn VZ Z1 Z1···· · · Yjn ,...,j1 (~r1 , . . . , ~rm ; τ1 , . .
. , τm )V00×pj1 (~r1 , τ1 ) . . . pjn (~rn , τn ) d~r1 . . . d~rn dτ1 . . . dτn ,где pj (~r, τ ) ∈ F . Аналогичный переход должен быть сделан для функционалов W [p] иZ[p], определяемых, соответственно, соотношениями (2.14) и (2.27).При описании моделей на топологически нетривиальных многообразиях потребуем,чтобы в уравнениях (2.10) по аналогии с полями pj (~r, τ ) внешние поля bi и взаимодействияVik также принадлежали к пучку колец функций F.
Обощенные уравнения (2.10) могутне иметь решений или иметь одно и более решений. Решения функциональных урвнений(2.10) существуют только в том случае, если когомологии Спенсера тривиальны [21–23].Это условие может накладывать ограничения на величины полей bi и взаимодействий Vikквантовой системы на многообразии. Сингулярности многозначных решений определяются ацикличностью δ-комплекса Спенсера.Переход к топологически нетривиальным многообразиям приводит к существованиюдополнительных степеней свободы и к дополнительным квантовым возмущениям.
Корот84кая точная последовательность пучков колец функций на многообразии Mij0 → F (0) → F → F /F (0) → 0,где i – вложение, j – эпиморфизм на фактор-пучок F/F (0) , индуцирует точную последовательность групп когомологий [33, 34]j∗iδ∗∗0 → H 0 (M, F (0) ) →H 0 (M, F) → H 0 (M, F/F (0) ) →δj∗iδ∗∗∗→H 1 (M, F (0) ) →H 1 (M, F) → H 1 (M, F/F (0) ) →...(2.34)Учитывая изоморфизм когомологий на дифференцируемых многообразиях, когомологии H ∗ (M, F (0) ), H ∗ (M, F), H ∗ (M, F/F (0) ) могут быть отождествлены с когомологиями деРама с коэффициентами в соответствующем пучке [34]. Дополнительные степени свободыопределяются когомологиями H ∗ (M, F/F (0) ) в последовательности (2.34).
Если когомологии H ∗ (M, F/F (0) ) на многообразии M нетривиальны, поля pj (~r, τ ) в уравнениях (2.10)заменяются полями pj,J (~r, τ ), где J – мультииндекс, задаваемый когомологическими классами, соответствующими элементам групп H ∗ (M, F/F (0) ). Это приводит к существованиюдополнительных возмущений.Например, в случае если квантовая система задана на римановой поверхности, можновзять пучок отличных от нуля мероморфных функций M∗ на поверхности M и подпучокненулевых голоморфных функций O∗ , соответственно, в качестве пучков F и F (0) . Тогда,дополнительныестепенисвободыопределяютсягруппойдивизоровDiv(M ) = H 0 (M, M∗ /O∗ ) [33, 35] и соответствуют вихревым возбуждениям.2.5Приближение самосогласованного поля и введениематрицы эффективных функций Грина и взаимодействий (P-матрицы)2.5.1Самосогласованное полеПриближение самосогласованного поля эквивалентно перегруппировке членов в гамильтониане H0 в (2.2).
Члены с взаимодействием Vij добавляются к полям bj (~1)(s)Hb → Hb =Xbj (~1)σj (~1) +Vij (~1 − ~10 )hhσi (~1)ii0 σj (~10 ) =~1,~10i,j~1,jгде Bj (~1) = bj (~1) +XPi,~10XBj (~1)σj (~1).(2.35)~1,jVij (~10 − ~1)hhσi (~10 )ii0 . В рамках диаграммной техники, определяе-мой (2.28), (2.31), перегруппировка в гамильтониане H0 соответствует суммированию всех85диаграмм, которые могут быть разрезаны на две части по линии взаимодействия. Одна из частей не должна иметь внешних вершин (так называемые, "однохвостки"). Таккак в приближении самосогласованного поля квантовая система находится в термодинамическом равновесии, множество наблюдаемых переменных состоит из r коммутирующихоператоров σj (~1) с hhσj (~1)ii0 6= 0. В общем случае, множество коммутирующих операторовзадает новую подалгебру Картана, которая сопряжена со старой подалгеброй Картана доприменения приближения самосогласованного поля.
После перехода к новой подалгебреКартана диаграммное разложение дается соотношениями (2.28), (2.31), в которых сделаназамена bj (~1) → Bj (~1).2.5.2Матрица эффективных функций Грина и взаимодействий,квазичастичные возбужденияДля описания квазичастичных возбуждений в частотном представлении введем матрицу эффективных функций Грина и взаимодействий (P-матрицу), P = kPJN (~1, ~10 , ωm )k[19, 20, 36]. Составим P-матрицу из аналитических выражений связных диаграмм с двумявнешними вершинами.
Этими вершинами являются начальные и конечные точки пропагаторов, одиночные вершины e или окончания линий взаимодействия. Таким образом,мультииндексы J = (wj), N = (wn) являются двойными, где j, n – индексы полей pj , pnв производной второго порядка функционала Z в соотношении (2.11) или индексы линийвзаимодействия. Индекс w указывает, что J, N принадлежат пропагатору или e-вершине(w = 1) или линии взаимодействия (w = 2). Нулевое приближение P (0) P-матрицы опре(0)деляется матрицей затравочных взаимодействий I (0) = kIjn (~1 − ~10 , ωm )k (2.30) и матрицейзатравочных двухкоординатных функций Грина в приближении самосогласованного по(0)ля G (0) = kGjn (~1, ~10 , ωm )k = kδ 2 W/δpj δpn k (Рис. 2.3a), задаваемой на кристаллическойрешеткеÃP (0) =(0)(0)(0)(0)kP(1j)(1n) k kP(1j)(2n) k!Ã=kP(2j)(1n) k kP(2j)(2n) k(0)!kGjn k00kIjn k.(0)(2.36)Если индексы j, n принадлежат некартановским полям, то согласно (2.29) и (2.31) затравочные функции Грина выражаются через факторы b-вершин, пропагаторы и блочныефакторы:(0)Gjn (~1, ~10 , ωm ) = Dj (~1, ωm )X(H)vb (j; k|n)Γk (~1)δ~1~10 ,(2.37)kгде пропагатор Dj (~1, ωm ) дается формулой (2.29) с fj (~1) =Prl=1(H)αj (σl)Bl (~1).
Для ин-дексов j, n Картановского типа затравочные функции Грина определяются блочными(0)(H)факторами (2.24): Gjn (~1, ~10 , ωm ) = Γjn (~1)δ~1~10 δm0 . Если один из индексов j, n принадлежит86(0)Картановскому типу, а другой индекс является некартановским, то функции Грина Gjnравны нулю.Следующее приближение P-матрицы, P (1) , получается посредством суммирования P (0) (0)матрицы (2.36) – суммирования всех цепей, состоящих из затравочных функций Грина Gjn(0)и затравочных линий взаимодействия Ijn (Рис. 2.3b,c,d). Эти цепи из пропагаторов и линий взаимодействия не имеют петлевых вставок.
Назовем это приближение приближениемэффективных функций Грина и взаимодействий (ЭФГВ). Аналитические выражения рассмотренных диаграмм могут быть записаны в соответствии с (2.31). Суммирование даетуравнение Дайсона(0)P (1) = kPJN (~1, ~10 , ωm )k +X(1)(0)kPJK (~1, ~2, ωm )k · kΞKL k · kPLN (~2, ~10 , ωm )k~2,K,L= P (0) + P (1) ΞP (0) ,(2.38)гдеÃΞ=0 EE 0!,E = kδjn k – диагональная матрица.Учитывая, что E − G (0) I (0) = G (0) (E − I (0) G (0) )G (0)−1 , найдем решение уравнения (2.38)Ã!(0)(0) (0) −1(0) (0) −1 (0) (0)G(E−IG)(E−GI)GIP (1) = P (0) (1 − ΞP (0) )−1 =(2.39)I (0) G (0) (E − I (0) G (0) )−1I (0) (E − G (0) I (0) )−1(1)(1)P (1) -матрица состоит из эффективных функций Грина G (1) = kGjn k = kP(1j)(1n) k = G (0) (E−(1)(1)I (0) G (0) )−1 , эффективных взаимодействий I (1) = kIjn k = kP(2j)(2n) k = I (0) (E − G (0) I (0) )−1 и(1)(1)перекрестных членов P(1j)(2n) , P(2j)(1n) .
На диаграммах эффективные функции Грина, эффективные взаимодействия и перекрестные члены обозначены, соответственно, как жирные прямые линии, пустые линии и комбинация из жирных и пустых линий. ПриближенияP-матрицы высших порядков, s, определяются суммированием диаграмм, содержащих sпетель.Введение P-матрицы приводит к желанию использовать в диаграммном разложенииэффективные функции Грина и взаимодействия. Замена затравочных функций Грина ивзаимодействий эффективными может быть до конца проведена только в случае Бозе иФерми систем с внутренней алгеброй (супералгеброй) Гейзенберга. В результате получаемдиаграммы Фейнмана с эффективными пропагаторами и линиями взаимодействия. Длямоделей с произвольными внутренними алгебрами Ли L полная замена не осуществима.Препятствием к этому является происходящая трансформация блочной структуры диаграмм.
Трансформация блоков приводит к существованию компенсирующих диаграмм, вкоторых сделаны частичные замены затравочных функций Грина и взаимодействий наэффективные.87(a)(0)Gjn=(b)j(1)=n(1)P(1j)(1n)= Gjn =j=njS+ng1jg2g1jg4=S+g1j(1)(1)P(2j)(2n)= Ijn =(d)jnj=nn+nj(1)jfn(1)P(1j)(2n)=P(2j)(1n)=nfS+g2(c)jng1g2nn+…=fg3g2g1...g4jS+ …+S++g1g2Sg1g2f=S=Sjjggjjggfng1fg2nnn(0)Рис. 2.3: (a) Определение затравочных двухкоординатных функций Грина Gjn . (b) Опре(1)(1)деление эффективных функций Грина P(1j)(1n) = Gjn через затравочные функции Грина(0)(1)(1)Gjn . (c) Определение эффективных линий взаимодействия P(2j)(2n) = Ijn .
(d) Определе(1)(1)ние перекрестных членов P(1j)(2n) , P(2j)(1n) . Суммирование по γ означает суммирование поиндексам и пространственным переменным пропагаторов, линий взамодействия и вершин,а суммирование по f – по индексам f -вершин.88Дисперсионные соотношения квазичастичных возбуждений определяются полюсамиP-матрицы – нулевыми собственными значениями оператора 1 − ΞP (0) или, что эквивалентно, оператора E − I (0) G (0) при аналитическом продолжении (2.32). Так как нулевыесобственные значения этих операторов могут соответствовать различным собственнымфункциям и определять разные возбуждения, введем спектральный параметр λ в обозна(λ)чении собственных функций pj (~1, ωm ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
