Диссертация (1145326), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Тогда, принимая во вни(H)мание, что α(σi) = Cijjαα и решая уравнение (2.13) как дифференциальное уравнениеотносительно τ , получимδW [p]= Cj expδ p̄j (~1, τ )·Zτ¸gj (~1, τ ) dτ00Zτ+0Xdj (~1, τ, τ 0 )0Cijm ui (~1, τ 0 )i,m(6=j)δW [p]dτ 0 , (2.16)0~δpm (1, τ )где·Zτdj (~1, τ, τ 0 ) = exp¸~gj (1, τ̄ ) dτ̄ θ(τ − τ 0 )τ0– ядро интегрального оператора, обратного оператору ∂/∂τ − gj (~1, τ ):·gj (~1, τ ) =Pri=1(H)αj (σi¸∂− gj (~1, τ ) dj (~1, τ, τ 0 ) = δ(τ − τ 0 ),∂τ(H))ui (~1, τ ), σi(2.17)– базисный вектор подалгебры Картана, Cj – произ-вольный функционал, независимый от переменной τ и(θ(τ ) =1, τ ≥ 00, τ < 0Сделаем продолжение dj (~1, τ, τ 0 ) на τ 0 > τ в диапазоне τ, τ 0 ∈ [−1, 1] и периодическоепродолжение на другие значения τ, τ 0 в соотношении (2.16).
Чтобы исключить произвол,связанный с функционалом Cj , выполним это продолжение так, чтобы при p̄ → 0 вторыепроизводные W относительно полей p̄i , p̄j с корнями αi = −αj имели форму74δ 2 W [p]= A1 expδ p̄i (~1, τ 0 )δ p̄j (~1, τ )·Zτgj (~1, τ̄ ) dτ̄¸Xτ0mCijmδW [p]δpm (~1, τ 0 )(τ > τ 0 )δ 2 W [p]δ 2 W [p]= κijδ p̄i (~1, τ 0 )δ p̄j (~1, τ )δ p̄j (~1, τ )δ p̄i (~1, τ 0 )·Z τ¸XδW [p]~= −A2 expgj (1, τ̄ ) dτ̄Cijm(τ < τ 0 ).~0δp(1,τ)τmm(2.18)Примем во внимание, что в этом случае gi = −gj , Cijm = −κij Cjim , δW [p]/δpm (~1, τ ) 6= 0является производной относительно Картановских полей и эта производная независимаот τ вследствие коммутативности подалгебры Картана. Тогда, коэффициенты A1 , A2 в(2.18) однозначно определяются требованием, чтобы согласно соотношению (2.17) скачкифункции dj (~1, τ, τ 0 ) при τ = τ 0 и τ = τ 0 − 1 равнялись 1 и κij = κjj , соответственно,A1 − A2 = 1A1 exp[fj (~1)] − A2 exp[−fj (~1)] = −κjj ,где fj (~1) =Pr(H)l=1αj (σl)bl (~1).
Получим A1 = −κjj nj (fj (~1)), A2 = κjj nj (−fj (~1)) и опреде-лим пропагаторD̄j (~1, τ, τ 0 ) = [A1 dj (~1, τ, τ 0 ) − A2 dj (~1, τ 0 , τ )]·Z τ¸00~~~= [−nj (fj (1))θ(τ − τ ) + nj (−fj (1))θ(τ − τ )]κjj expgj (1, τ̄ ) dτ̄(2.19)τ0где nj (x) = (exp x − κjj )−1 . Тогда, соотношение (2.16) запишется в формеδW [p]=δ p̄j (~1, τ )ZX10 i,m(6=j)Cijm D̄j (~1, τ, τ 0 )ui (~1, τ 0 )δW [p]dτ 0 .0~δpm (1, τ )(2.20)Производные δ n W [p]/δ p̄j1 . . .
δ p̄jn могут быть найдены с помощью рекуррентной процедуры, основанной на соотношении (2.20). Для выяснения того, как производные W относительно полей p̄i (~1, τ ) выражаются через производные W относительно Картановскихполей, продифференцируем (2.20) по некартановскому полю p̄kδ 2 W [p]=δ p̄k (~1, τ 0 )δ p̄j (~1, τ )+Z+1X0 i,m(6=j)ZX00~δW [p]m δ D̄j (1, τ, τ )Cijui (~1, τ 00 )0~δ p̄k (1, τ )δpm (~1, τ 00 )0 i,m(6=j)1dτ 00XδW [p]mD̄j (~1, τ, τ 0 )Ckjδpm (~1, τ 0 )m(6=j)κik Cijm D̄j (~1, τ, τ 00 )ui (~1, τ 00 )δ 2 W [p]dτ 00 .000δ p̄k (~1, τ )δpm (~1, τ )(2.21)В соотношении (2.21) при p̄ → 0 третье слагаемое содержит члены ui = bi (~1), соответствующие Картановским полям. Следовательно, в коэффициенте Cijm индексы j и m75принадлежат одному корневому пространству Lα .
Вследствие треугольной формы присоединенного представления (2.15), в третьем слагаемом производная δ 2 W [p]/δ p̄k δpm имеетиндекс m < j. При необходимости используя соотношение (2.21), мы можем повторить редукцию для производной δ 2 W [p]/δ p̄k δpm и выразить вторую производную δ 2 W [p]/δ p̄k δ p̄jчерез первые производные W [p]. Принимая во внимание, что для некартановских полейδW [p]/δ p̄m |p̄→0 = 0, производная δ 2 W [p]/δ p̄k δ p̄j |p̄→0 , в конечном итоге, выразится черезпервые производные W [p] по Картановским полям. Аналогичная рекуррентная процедураредукции к производным по Картановским полям может быть применена для высших производных δ n W [p]/δ p̄j1 .
. . δ p̄jn . Из соотношения (2.21) можно заметить, что редукция можетбыть осуществлена в разных формах. Эти формы определяются первым дифференцированием по полю pj (~1, τ ) в рекуррентной процедуре. Для устранения этой неоднозначностиопределим порядок на алгебре Ли L{σ (α1 ) }  . . .  {σ (αn ) }  подалгебра Картана H  {σ (−αn ) }  . . .  {σ (−α1 ) },(2.22)где {σ (αi ) } – множество операторов с корнем αi и {σ (−αi ) } – множество сопряженных операторов с противоположным корнем −αi . Порядок на множестве операторов {σ (α) } (2.15),(α)(α)имеющих корень α, определим как σn  . .
. Â σ1 . Мы будем предполагать, что порядокна множестве вспомогательных полей pj (~1, τ ) соответствует операторному порядку и первое дифференцирование W является дифференцированием по полю pj высшего порядкадля данного подмножества полей {pj , . . . , pn }. Таким образом, после выбора операторногопорядка и реализации рекуррентной процедуры для нахождения коэффициентов Γjn ,...,j1(H)мы должны вычислить производные W [p] по Картановским полям pj (~1, τ ).2.3.2Вычисление производных относительно Картановских полейВ отсутствии взаимодействия (Vij = 0) в пределе p̄ → 0 в состоянии термодинамического равновесия внешние поля b̄j (~1) равны нулю и гамильтониан H (2.1) описывает систему с коммутирующими операторами. Для таких квантовых систем функционалW [p] может быть найден прямым вычислением.
Принимая во внимание определения (2.5),(2.12) для Z[p] и W [p], соответственно, и то, что для коммутативной подалгебры Карта(H)на H поля pj не зависят от τ , следовательно, переменная τ может быть опущена и(H)(H)(H)(H)uj (~1, τ ) = bj (~1) + pj (~1) = uj (~1), получаемW [p(H) ] = ln Sp exp=X~1lnm YXi=1X(H)(H)uj (~1, τ )σj (~1)~1,j(H)(i)exp[uj (~1)ρj ] ≡jX~176Fρ [u(H) ],(2.23)(H)где ρ – представление подалгебры H, в котором операторы σj (~1) имеют диагональную(1)(m)форму diag[ρj , .
. . , ρj ]; i = 1, 2, . . . , m – индекс спектральных состояний; Fρ – свободнаяэнергия. Тогда, в выражении (2.14) коэффициенты Γjn ,...,j1 с индексами j1 , . . . , jn , соот(H)ветствующие Картановским полям и обозначаемые как Γjn ,...,j1 , могут быть записаны вформе¯¯n(H)δF[u]¯ρ(H)Γjn ,...,j1 (~1) = (H)¯(H)~δpj (1) . . . δpj (~n) ¯12.3.3p(H) →0n=∂ n Fρ [b(H) ].(H)(H)∂bj (~1) . .
. ∂bj (~n)1(2.24)nДиаграммные разложения в представлении переменных, зависящих от мнимого времени1. Пропагаторы. Для вычисления коэффициентов Γjn ,...,j1 (~1, τ1 . . . τn ) в разложении(2.14), мы должны использовать соотношение (2.20) столько раз, сколько это необходимо,и перейти к пределу {pj } → 0.
Сопоставим предельному значению пропагатора (2.19)Dj (~1, τ − τ 0 ) = D̄j (~1, τ, τ 0 )|p→0(2.25)линию со стрелкой, идущей от вершины со временем τ к вершине со временем τ 0 (Рис. 2.1a).В соответствии с определением (2.19) корень αj может быть ассоциирован с пропагаторомDj . Необходимо отметить, что продолжение dj на τ 0 > τ в соотношении (2.16) позволяет уменьшить количество пропагаторов, учитываемых в диаграммном разложении.
Еслиαk = −αj , то в разложении пропагатор Dk может быть заменен пропагатором Dj с αj > 0с противоположным направлением стрелки (τ − τ 0 < 0).2. Вершины. В диаграммах пропагаторы и линии взаимодействия связываются в вершинах. Существует шесть типов вершин. Первые пять типов ассоциированы с факторами,возникающими от дифференцирования функционала W [p] по полям pi (~1, τ ) (Рис. 2.1b).Поля pi (~1, τ ) представлены в виде сегментов волнистых линий с индексом i.
В соответствии с соотношением (2.20) эти факторы зависят от индексов дифференцирующих полей,входящих и выходящих пропагаторов и могут быть записаны в общей форме v({j}; m|i),где {j} – множество индексов пропагаторов, входящих в вершину, m – индекс пропагато(H)ра, выходящего из вершины или индекс Картановского поля pm в коэффициенте Γjn ,...,j1 ,определенным соотношением (2.24), i – индекс поля pi (~1, τ ). Если индекс в вершине отсутствует, на этом месте будем писать прочерк.Итак, получаются следующие вершины. Из соотношения (2.20) следует, что начальнаяи конечная точки одиночного пропагатора являются вершинами.
Будем называть вершинувершиной типа a, если из нее выходит один пропагатор и никакой пропагатор не входит.Ей соответствует фактор va (−; j|j) = 1. Вершина типа b с фактором vb (j; m|i) = Cijmимеет один входящий пропагатор с индексом j и не имеет выходящих пропагаторов. Ин77ajDj(1,t-t’) =(a)(b)ajatbajvb(j;m|i)va(-;j|j)jt’amcv(m,...;l|k)vc(j;m|i)jikinanajamdv(m,...;l|k)vd(j,n;m|i) kjieajve(-;-|i)jifamv(m,...;l|k)kvf(j;m|-)(c)(d)(0)Iij(1-1’,t-t’) =1it1’jt’Рис.
2.1: (a) Пропагаторы Dj (~1, τ − τ 0 ), (b) вершины, (c) пример блока, (d) линия взаимо(0)действия Iij (~1 − ~10 , τ − τ 0 ).78(H)декс m соответствует индексу коэффициента Γjn ,...,j1 . c-вершина получается в результатедифференцирования D̄j -пропагатора по Картановским полям и дифференцирования переменной ui по некартановским полям в соотношении (2.20). Один пропагатор с индексомj входит и один пропагатор с идексом m выходит из c-вершины. Соответствующий фактор есть vc (j; m|i) = Cijm . Вершина d-типа характеризуется двумя входящими и однимвыходящим пропагаторами.
d-вершина получается в результате двухкратного действиярекуррентной процедуры, основанной на соотношении (2.20). После перестановки полейp̄k (~1, τ 0 ), pm (~1, τ 00 ) в производной от W [p] в третьем слагаемом соотношения (2.21) конечные точки двух входящих пропагаторов и начальная точка выходящего пропагатора имеют одинаковые времена и должны быть соединены.
Фактор, соответствующий d-вершине,Pmравен vd (j, n; m|i) = κjn s Cijs Csn, где j, n – индексы входящих пропагаторов, m – индексвыходящего пропагатора и i – индекс поля pi . e-вершины ассоциированы с дифференциро(H)ваниями по Картановским полям piна втором этапе вычисления функциональных про-изводных (раздел 2.2.2). Вершинный фактор равен ve (−; −|i) = 1. В заключение, введемвершину типа f , которая не связана с дифференцированием и вызвана присутствием Картановской переменной ui в (2.20).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
