Диссертация (1145326), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Результаты, полученные в главе 3, будутприменены в последующих главах.3.2Модель Гейзенберга для спиновой системы3.2.1Особенности диаграммной техникиРассмотрим спиновую систему, а именно модель Гейзенберга с обменным и магнитным дипольным (MDI) взаимодействиями [20, 36, 63].
Обменное взаимодействие являетсякороткодействующим, а MDI – дальнодействующим взаимодействием. Внутренняя динамика спиновой системы в модели Гейзенберга описывается группой Ли Spin(3). АлгебраЛи L = so(3), ассоциированная с этой группой, порождена спиновыми операторами S µ (~1),где µ = −, +, z. Операторы S ± = S x ± iS y , S z удовлетворяют коммутационным соотношениям[S z (~1), S + (~10 )] = S + (~1)δ~1~10[S z (~1), S − (~10 )] = −S − (~1)δ~1~10[S + (~1), S − (~10 )] = 2S z (~1)δ~1~10 .Гамильтониан модели Гейзенберга –H = −gµBXHz (~1)S z (~1) − gµB~1Xhµ (~1)S µ (~1 −~11XJµν (~1 − ~10 )S µ (~1)S ν (~10 ),2 0(3.1)~1,~1~ z k Oz) – внешнее магнитное поле. hµ (~1) – вспомогательное бесконечно малоегде Hz (Hпеременное магнитное поле.
g и µB – фактор Ланде и магнетон Бора, соответственно.Jµν (~1 − ~10 ) = Jνµ (~10 − ~1) – взаимодействие между спинами, которое является суммой обменного взаимодействия Iµν и MDI¯Jµν (~1 − ~10 ) = Iµν (~1 − ~10 ) − 4π(gµB )2 ∇µ Φ(~r − ~r 0 )∇0ν ¯~r=~1,~r 0 =~10 ,(3.2)где функция Φ(~r − ~r 0 ), определяющая вид MDI, задается уравнением∆Φ(~r − ~r 0 ) = δ(~r − ~r 0 ),½ µ¶ µ¶¾1 ∂∂∂1 ∂∂∇µ = {∇− , ∇+ , ∇z } =+i−i,,.2 ∂x∂y2 ∂x∂y∂z99(3.3)В 3-мерном пространстве Φ(~r − ~r 0 ) = −1/4π|~r − ~r 0 | и MDI в гамильтониане (3.1) можетбыть записан в формеH(dip)"#~ ~1), ~1 − ~10 )(S(~ ~10 ), ~1 − ~10 )~ ~1), S(~ ~10 )) 3(S((gµB )2 X (S(=−.~1 − ~10 |3~1 − ~10 |52||0~~1,1Для последующего нахождения дисперсионных зависимостей спиновых волн в магнитныхпленках будет использоваться более удобная форма MDI, определенная соотношениями(3.2), (3.3).Подалгебра Картана H порождена оператором S z , H = Span{S z }.
После выбора оператора S − с корнем α− (S z ) = −1 в качестве старшего в операторном упорядочении (2.22)определим спиновый пропагатор (2.29) какD− (~1, ωm ) =1,iωm + p0 (~1)(3.4)где ωm = 2πm (m = 0, ±1, . . .), p0 (~1) = βgµB Hz (~1). Корневые пространства LS − , LS +одномерны, следовательно, в диаграммном разложении f -вершины отсутствуют.
В соответствии с разделом 2.2.3 вершинными факторами в диаграммах являются: va = ve = 1,−−zzvb = C+−= 2, vc = Cz−= −1, vd = C+−Cz−= −2.Блочные факторы определены соотношением (2.24). Если представление ρ подалгебрыКартана H реализуется диагональными (2S + 1) × (2S + 1)-матрицами, то коэффициенты(H)Γjn ,...,j1 выражаются через функцию Бриллюэна BS [7–9]Γz(H) (~1) = B(p0 ) = hhS z ii0 = SBS (Sp0 )∂ n BS (Sp0 )(H) ~Γz...z(1) = B [n] (p0 ) = S,∂pn0(3.5)где n = κ − 1, κ – число изолированных частей в блоке, hh.
. .ii0 означает статистическоеусреднение по состояниям, определяемым гамильтонианом H (3.1) без взаимодействия Jµνмежду спинами. BS (x) = (1 + 1/2S) coth[(1 + 1/2S)x] − (1/2S) coth(x/2S).3.2.2Приближение самосогласованного поляСогласно (2.35) в приближении самосогласованного поля обменное поле и дипольное~zмагнитное поле добавляются к внешнему магнитному полю HHµ(ex) (~1) = (gµB )−1XIµν (~1 − ~10 )hhS ν (~10 )ii~10Hµ(m) (~1) = −4πgµB ∇µX~10¯¯¯ν000Φ(~r − ~r )∇ν hhS (~r )ii¯¯¯100,~r =~1~r 0 =~10(3.6)где hhS ν (~r)ii = hhS z (~r)iiδνz – среднее значение спина.
Дипольное магнитное поле можетбыть записано какZHµ(m) (~1) = ∇µV¯¯¯10ν03 0¯∇M(~r)dr¯|~r − ~r 0 | ν¯+ Hµ(a) (~1),~r=~1где первый член – размагничивающее магнитное поле ферромагнитного образца объемом V ; M ν (~r) = gµB hhS ν (~r)ii/Va – вектор плотности магнитного момента, определяемыйусреднением по атомному объему Va ;Hµ(a) (~1) = Va ∇µX~10¯¯¯10ν0 ¯∇ν M (~r )¯0|~r − ~r |¯Z− ∇µ~r =~1~r 0 =~10V¯¯¯100ν ~003 00 ¯∇ν M ( r ) d r ¯|~r − r~00 |¯~r=~1есть поле магнитной анизотропии, которая зависит от типа решетки и размеров образца.Если решетка кубического типа и размеры образца много больше постоянной решетки(a)(a)a, то Hµ (~1) = 0. В других случаях Hµ (~1) 6= 0 и необходимо принимать во вниманиезависимости от размеров образца и типа кристаллической решетки [37, 38].В рамках диаграммной техники перегруппировка в гамильтониане H соответствуетсуммированию всех диаграмм, которые могут быть разрезаны на две части по линиивзаимодействия с образованием "однохвосток" [7–9].
Суммирование однохвостовых ча~ (c) = H~z + H~ (ex) + H~ (m) . Магнитное поле Hµ(m) (~r) зависит отстей дает суммарное поле Hформы ферромагнитного образца. Если образец имеет эллипсоидальную форму, решетку(m)кубического типа и размеры образца много больше a, то поле Hµ (~r) является однород~ (m)ным [39]. Например, для случая нормально намагниченной пленки магнитное поле H~ . Если суммарное поле H~ (c) не направлено вдоль оси Oz, выберем систеравно −4π M~ (c) k Oz 0 . Из условия равновесия [H~ (c) × hhSii]~му отсчета (x0 , y 0 , z 0 ), такую чтобы H= 0~ k H~ (c) k Oz 0 .
После перехода к спиновым операторам S ν в координаследует, что hhSiiтах (x0 , y 0 , z 0 ) диаграммное разложение будет определяться (2.31), где в пропагаторах D−(c)(3.4) произведена замена p0 → p = βgµB Hz . После этого перехода все однохвостовыечасти в диаграммах не должны приниматься во внимание. Мы будем предполагать, что~ z, H~ (ex) , H~ (m) k Oz.H3.2.3P-матрица и общая форма уравнения, описывающего спинволновые возбужденияСледующим приближением является ЭФГВ-приближение (2.38). В рамках этого приближения затравочные функции Грина (2.37) в P (0) -матрице (2.36) имеют вид0 (0)G (0) = kG(0)µν k = G+−0101G−+(0)0000Gzz(0)02B(p)D− (~1, ~10 , ωm )~ ~0=0 2B(p)D− (1, 1 , −ωm )0000B [1] (p)δ~1~10 δm0Уравнение для матрицы эффективных функций Грина G выводится из уравнения(2.38) для P-матрицы (Рис.
3.1)G = G (0) + GV (0) G (0) ,(3.7)(0)где V (0) = kVµν (~1 − ~10 , ωm )k = V (ex) + V (dip) , V (ex) = kβIµν (~1 − 1~0 )k and V (dip) = k −4πβ(gµB )2 ∇µ Φ(~r − ~r 0 )∇0ν k~r=~1,~r 0 =~10 .Дисперсионные соотношения спинволновых возбуждений определяются полюсами Pматрицы, совпадающими с полюсами матрицы G (3.7). Так как нулевые собственные значения оператора E −V (0) G (0) могут соответствовать разным собственным функциям и определять разные модовые возбуждения, введем спектральный параметр λ для собственных(λ)функций hµ (~1, ωm ) оператора E − V (0) G (0) .
Спектральный параметр λ может быть дискретным или непрерывным. Принимая во внимание вышеизложенное, получим уравнение,описывающее спинволновые возбуждения в магнитных образцах произвольной формы¯¯X¯(0) ~0(0)000(λ)00(λ) ~Vµν (1 − ~1 , ωm )Gνρ (~1 , ~1 , ωm )hρ (~1 , ωm )¯¯hµ (1, ωm ) −¯~10 ,~100 ,ν,ρ= 0.(3.8)iωm →ω+iεsignω3.33.3.1Спиновые возбуждения в наноразмерных пленкахУравнения, описывающие спиновые возбуждения в магнитных пленкахРассмотрим спиновые волны с волновым вектором ~q в нормально и касательно намагниченных пленках, состоящих из N монослоев при низкой температуре [63]. Будемсчитать, что монослои состоят из ионов, между спинами которых осуществляется сильное обменное взаимодействие, или из магнитных наночастиц. Во втором случае обменноевзаимодействие между спинами наночастиц может быть значительно меньшим по сравнению с MDI.
Внешнее магнитное поле H параллельно z-оси. При низких температурахпроизводные функции Бриллюэна B [n] (p) (3.5) экспоненциально стремятся к нулю с понижением температуры. Таким образом, диаграммы, содержащие блоки с изолированными(0)частями, могут быть опущены, функция Грина Gzz пренебрежимо мала и в уравнении(0)(0)(3.8) можно учитывать только функции Грина G−+ , G+− . Индексами µ, ν взаимодействия(0)Vµν в уравнении (3.8) являются {−, +}. Предположим, что в монослоях спины находятсяна квадратной решетке с постоянной решетки a и спиновая ориентация параллельна z-оси.102a.(0)+- = G(0)= G-++(0)=Gzzz+(0)Gmn=-=nmzP(1m)(1n)= Gmn=m=nnm+g1mSg1g2ng2b.P(2m)(2n)= Vmn=mn=mnn=S=SS+g1g2mg1g2nc.P(1m)(2n)=P(2m)(1n)=mmnggmmggnnРис.
3.1: (a) Определение эффективных функций Грина P(1µ)(1ν) = Gµν через затравочные(0)функции Грина Gµν . (b) Определение эффективных линий взаимодействия P(2µ)(2ν) = Vµν .(c) Определение перекрестных членов P(1µ)(2ν) , P(2µ)(1ν) . Суммирование по γ означает суммирование по индексам и пространственным переменным пропагаторов, линий взамодействия и вершин.103Обменное взаимодействие действует между соседними спинами и является изотропным в(mon)монослоях, 2I−+(mon)= 2I+−(mon)= Izz(lay)(lay)(lay)= I0 , и между слоями, 2I−+ = 2I+− = Izz= Id .Так как мы рассматриваем спиновые волны в двумерных слоях и в пленках, содержащих такие слои, то необходимо сказать об ограничениях, налагаемых теоремой МерминаВагнера [64].
Теорема Мермина-Вагнера утверждает, что при конечных температурахнепрерывная симметрия не может быть спонтанно нарушена в системах с короткодействующим взаимодействием и с размерностью ≤ 2. В соответствии с этой теоремой двумерная спиновая система, описываемая моделью Гейзенберга с изотропным взаимодействиеммежду спинами, не может находиться в ферромагнитном или в антиферромагнитном состоянии. Теорема обобщается на N -слойные пленочные структуры: при любых конечныхтемпературах и при любом конечном количестве слоев в пленках должны отсутствоватьлюбые ферромагнитные и антиферромагнитные фазовые переходы [65, 66]. Для случаямодели Гейзенберга с гамильтонианом (3.1) теорема Мермина-Вагнера не применима –O(3) симметрия вращения гамильтониана H нарушена MDI и внешним магнитным полемH. Вследствие этого двумерные слои и пленки, рассматриваемые ниже, имеют отличныйот нуля магнитный момент.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
