Диссертация (1145326), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Таким образом, мы приходим квыводу, что для существования оператора ʱ−1 и разрешимости уравнений (3.26) необходимо выполнение условий ортогональности функций m± (~r, ω) к собственным функциям(0)jm± (~r, ω)115Z(0)jVm± (~r, ω)m± (~r, ω) d3 r = 0,(3.30)где V – объем образца. Учитывая уравнение (3.26) и условие существования параметриксов ʱ−1 на пространстве N (условия ортогональности (3.30)), из уравнения (3.28) получаемокончательное уравнение для магнитостатического потенциала ϕ{∆ + 8π[∇+ Ê+−1 (~r, ω)γM (~r)∇− + ∇− Ê−−1 (~r, ω)γM (~r)∇+ ]}ϕ(~r, ω) = 0.(3.31)Уравнение (3.31) дает дисперсионные соотношения спинволновых возбуждений и собственные функции ϕ(λ) (~r, ω) в ЭФГВ-приближении для образца произвольной формы принизких температурах.В качестве примера рассмотрим ферромагнитную пленку с кубической решеткой и~ k Oz) однородной по толщинетолщиной D = 2d À a.
Для нормально намагниченной (Mz ∈ [−d, d] ферромагнитной пленки спектральный параметр собственных функций λ состоит из номера моды j и волнового вектора ~q и решениями уравнения (3.31) являютсяфункции [44]:ϕ(j,~q) (x, y, z) = (2π)−1 ϕ(j) (z) exp(iqx x + iqy y)(j)z ∈ [−d, d] cos[qz z + π(j − 1)/2],ϕ(j) (z) = f (j)−1/2(j)(j)(−1)j−1 qz exp[q(d − z)]/q0 , qz(j) exp[q(d + z)]/q (j) ,0(j)2где j = 1, 2, 3, .
. . – номер моды, q0(3.32)z≥dz ≤ −d(j)2= q 2 + qz , ~q – двумерный волновой вектор, находя(j)2щийся в плоскости пленки, q 2 = qx2 + qy2 , f (j) = d + q/q0 . Поперечный волновой вектор(j)qz связан с вектором q = |~q| соотношением(j)2 ctg 2qz(j) d =qzq− (j) .qqz(3.33)(j)Для q ¿ qz приближенными решениями уравнения (3.33) являютсяrq q 3/2 d1/2(j)j=1:qz =++ O(q 2 )d2j>1:qz(j) =2qπ(j − 1)++ O(q 2 ).2dπ(j − 1)Собственные функции ϕ(j) (z) образуют полное множество ортогональных функций на интервале [−d, d]. Собственные значения уравнения (3.31), соответствующие ϕ(j) (z), определяют дисперсионные соотношения спиновых волн(j)2ω (j)2 (~q) = Ω(j) (Ω(j) + ΩM q 2 /q0 ),116(3.34)(j)2(j)где Ω(j) = γ(H − 4πM + 4παM q0 ), ΩM = 4πγM , q0(j)2= (q 2 + qz )1/2 – функция от qзадаваемая уравнением (3.33). Дифференцирование дисперсионных соотношений (3.34)по q дает групповую скорость спинволновых мод(j)2v (j) (~q) =(j)2(j)2dω (j)ΩM [αq0 (1 + qd)(2Ω(j) q0 + ΩM q 2 ) + Ω(j) qqz d]=.(j)4dqω (j) q0 f (j)(3.35)(j)Для q ¿ qz групповая скорость первой моды естьv (1) (~q) = ΩM (α d+ ).d 2(3.36)Дисперсионные кривые первых одиннадцати спинволновых мод, распространяющихся вмагнитной пленке толщиной D = 2d = 0.5 µm с 4πM = 1750 Oe и α = 3.2·10−12 cm2показаны на Рис.
3.5. Внешнее магнитное поле H равно 3500 Oe.В представлении функций ϕ(j,~q) (~r) (3.32) при низких температурах элементы P-матрицы(2.39) даются соотношениямиZ Z(1)PAB (j, j 0 , ~q, q~0 , ωm )0 ~0(1)ϕ(j,~q)∗ (~r)PAB (~r, r~0 , ωm )ϕ(j ,q ) d3 r d3 r0== F (j) P̄AB (j, ~q, ωm )δjj 0 δ(~q − q~0 ),(3.37)где(j)P̄(1−)(1+) (j, ~q, ωm ) = 2ρVa2 (Ω(j) + 2η−+ + iωm )(j)P̄(1+)(1+) (j, ~q, ωm ) = −4ρVa2 η−−(j)P̄(1−)(1−) (j, ~q, ωm ) = −4ρVa2 η++P̄(1z)(1ν) (j, ~q, ωm ) = P̄(1ν)(1z) (j, ~q, ωm ) = P̄(1z)(2ν) (j, ~q, ωm ) == P̄(2ν)(1z) (j, ~q, ωm ) = 0(ν = −, +, z)P̄(1−)(2−) (j, ~q, ωm ) = P̄(1+)(2+) (j, ~q, −ωm ) =µ¶B(p) ˜ (j)2B(p) ˜ (j) (j)(j)=I(~q0 ) − 2η−+ (Ω(j) + iωm ) +I(~q0 )η−+~~(j)P̄(1−)(2+) (j, ~q, ωm ) = −2η++ (p̄ + iωm )(j)P̄(1+)(2−) (j, ~q, ωm ) = −2η−− (p̄ − iωm )(j)P̄(1±)(2z) (j, ~q, ωm ) = −2η∓z (Ω(j) ∓ iωm )(j)2P̄(2−)(2−) (j, ~q, ωm ) = −ρ−1 η−− (p̄2 + ωm)(j)2P̄(2+)(2+) (j, ~q, ωm ) = −ρ−1 η++ (p̄2 + ωm)·µ¶¸1 −1B(p) ˜ (j)2B(p) ˜ (j) (j)(j)(j)P̄(2−)(2+) (j, ~q, ωm ) =ρ (p̄ + iωm )I(~q0 ) − 2η−+ (Ω − iωm ) +I(~q0 )η−+2~~(j)P̄(2±)(2z) (j, ~q, ωm ) = −ρ−1 η±z (p̄ ∓ iωm )(Ω(j) ± iωm )(j)(j)2P̄(2z)(2z) (j, ~q, ωm ) = F (j)−1 βVa I(~q0 ) − ρ−1 ηzz(Ω(j)2 + iωm)1172.6112.4102.292.0(j)/Ma81.87651.61.41.243121.00246810qDРис.
3.5: Дисперсионные кривые первых одиннадцати спинволновых мод, распространяющихся в нормально намагниченной пленке толщиной D = 0.5 µm с 4πM = 1750 Oe,α = 3.2·10−12 cm2 во внешнем магнитном поле H = 3500 Oe. a - Переходы между термически возбужденными спинволновыми модами с номерами i и k в процессе слиянияω (j) (0) + ω (k) (~q) = ω (i) (~q) с длинноволновым участком первой моды (j = 1). Слияние jмоды с термически возбужденной k-модой образует i-моду.1182 −1F (j) = (ω (j)2 + ωm) ,(j)ηµν=Помимоэтого,ρ=ΩM qµ qνp̄ = γHz(c)(µ, ν = −, +, z)(j)2q01q± = (qx ∓ iqy ),2выполняютсяB(p),β~Va˜ q0(j) ) = I(0)˜ − wq0(j)2 .I(~соотношениясимметрииP̄(aµ)(bν) (j, ~q, ωm )= P̄(bν)(aµ) (j, ~q, −ωm ).3.4.2Обменные граничные условияВ случае, когда масштаб изменений намагниченности mν (~1, ω) и размер образца многобольше постоянной решетки, в объеме V ферромагнитного образца операторы ЛандауЛифшица могут быть сведены к псевдодифференциальной форме порядка 2 [41]ʱ m± (~r, ω) = [γ(H(~r) + H (m) (~r)) ± ω]m± (~r, ω)+Z Z4πγαM (~r)+q 2 exp[i~q(~r − r~0 )]m± (r~0 , ω) d3 q d3 r,3(2π)V(3.38)VbВ [42, 43, 45–53, 103] псевдодифференциальные операторы Ландау-Лифшица сводятсяк дифференциальным операторам относительно пространственных переменныхʱ (~r, ω) = γ[H(~r) + H (m) (~r) − 4παM (~r)∆] ± ω.(3.39)Эта редукция не является корректной.
Для решения уравнений Ландау-Лифшица сдифференциальными операторами (3.39) применяются обменные граничные условия∂mν+ ξi mν |∂V = 0,∂~nгде ~n – внутреняя нормаль к границе ∂V и ξi – параметр закрепления. Для случая нор(j)мально намагниченной однородной пленки поперечный волновой вектор qz задается обменными граничными условиями [42, 46](j)2ctg 2qz(j) d=qz− ξ1 ξ2(j)qz (ξ1+ ξ2 ),(3.40)где ξ1 , ξ2 – параметры закрепления на нижней и верхней поверхностях пленки.Дисперсионные соотношения спиновых волн определяются решением уравнений (3.28)и (3.26) с операторами ʱ (~r, ω) (3.39) и обменными граничными условиями.
Частота j(j)2моды является функцией ~q и представляется выражением ω (j)2 (~q) = Ω(j) [Ω(j) +ΩM q 2 /(qz +(j)q 2 )] (3.34), где, в свою очередь, в общем случае, qzзависит от ~q и номера моды j. Для(j)случая модели с обменными граничными условиями волновой вектор qz спиновой волны119(MHz)550015000/22Frequency4500A3400035000.040.10.20.30.40.5qDРис. 3.6: Дисперсионная зависимость для первой спинволновой моды, распространяющейся в пленке YIG толщиной D = 0.5 µm с 4πM = 1750 Oe, α = 3.2·10−12 cm2 в магнитномполе H = 3000 Oe. Кривая A вычислена на основе соотношения (3.33) для случая операторов Ландау-Лифшица в псевдодифференциальной форме (3.38). Кривые 1 - 4 вычисленыдля случая операторов Ландау-Лифшица в дифференциальной форме (3.39) с использованием соотношения (3.40) с разными параметрами закрепления ξ = ξ1 = ξ2 . (1) ξD =0.01, (2) 0.1, (3) 1, (4) 10.определяется из соотношения (3.40), которое отлично от соотношения (3.33) и при подстановке в функцию ω (j) (~q) дает другое дисперсионное соотношение, чем то, которое определяется (3.34).
Наибольшее различие наблюдается для первой моды: при q → 0 групповаяскорость первой моды, на которую наложены обменные граничные условия, стремится к0, в противоположность соотношению (3.36).Дисперсионная зависимость (3.34) для первой спинволновой моды, распространяющейся в пленке YIG толщиной D = 0.5 µm с 4πM = 1750 Oe, α = 3.2·10−12 cm2 в магнитном(1)поле H = 3000 Oe представлена на Рис.3.6 для продольного волнового вектора qz (3.33)для случая операторов Ландау-Лифшица в псевдодифференциальной форме (3.38) и для(1)продольного волнового вектора qz (3.40) с разными параметрами закрепления ξ = ξ1 = ξ2для случая операторов Ландау-Лифшица в дифференциальной форме (3.39).
Можно видеть, что не существует такого параметра ξ, при котором зависимость A, вычисленнаяна основе соотношения (3.33), совпадала бы с какой-либо зависимостью, полученной сиспользованием обменных граничных условий.Возникающее противоречие можно также увидеть в несводимости модели с обменнымиграничными условиями к безобменной модели. Решение уравнений (3.28) и (3.26) с операторами ʱ (~r, ω) (3.39) с обменными граничными условиями не стремится к решениюуравнений (3.26), (3.28) в безобменном приближении (α = 0). В безобменном приближении120(j)поперечный волновой вектор qz определяется соотношением (3.33) [42].
В противополож(j)ность этому, в случае обменных граничных условий qz определяется соотношением (3.40)и не стремится к решению уравнения (3.33), когда α → 0. Это приводит к различнымдисперсионным соотношениям ω (j) (~q) при α = 0.Более того, в случае обменных граничных условий обратные операторы ʱ−1 (~r, ω) должны быть определены на функциональных пространствах, которые неортогональны к собственнымKer ʱ =векторамPоператоровʱ ,т.е.ксобственнымпространствам(0)jjC±j m± (~r, ω). Следствием этого является то, что обменные граничные усло-вия приводят к C±j 6= 0, что, в свою очередь, приводит к существованию спиновых возбуждений только с изменением магнитного момента m± при h± = 0, что противоречитсоотношению (3.24).
Суммируя вышеизложенное, приходим к выводу, что сведение операторов Ландау-Лифшица к дифференциальным и использование обменных граничныхусловий является ошибочным.3.5Релаксация спин-волновых мод в толстых магнитных пленкахРелаксация спин-волновых мод описывается следующим приближением P-матрицы –(j)3однопетлевым приближением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
