Диссертация (1145326), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Волновой вектор q нормирован на толщину пленки d.ε, проводимость σ и параметр κ равны 0. Принимая во внимание, что намагниченность является функцией от y, мы должны заменить ΩM в (4.57) функциональной зависимостью:ΩM (y) = ΩM (0) − γ ς¯y. Уравнение (4.50) запишется в форме∂ 2 hxb ∂hx++2∂yr + by ∂yµ¶l2− q hx = 0,r + by(4.60)где r = ω 2 − Ω2H − ΩH ΩM (0), b = γ ς¯ΩH , l = γ ς¯ωq. Решения уравнения (4.60) внутри пленкивыражаются через функцииψ1 (y) = exp(−qy)G(ᾱ, 1, 2q(y − y0 ))ψ2 (y) = exp(qy)G(1 − ᾱ, 1, −2q(y − y0 )),где G – вырожденная гипергеометрическая функция второго рода (функция Куммера)[156, 157], ᾱ = (ΩH − ω)/2ΩH , y0 = −r/b. Дисперсионные соотношения (4.53) имеют вид[(ν − iµyx (0))ψ1 (0) − µyy (0)ψ10 (0)/q] · [(ν + iµyx (d))ψ2 (d) + µyy (d)ψ20 (d)/q]−−[(ν − iµyx (0))ψ2 (0) − µyy (0)ψ20 (0)/q] · [(ν + iµyx (d))ψ1 (d) + µyy (d)ψ10 (d)/q] = 0,191(4.61)15.61215.2Frequency F (GHz)1314.814.43hxmin M14.0qqhxd2max M13.6-4-2024qdРис.
4.19: Влияние градиента намагниченности ς¯ пленки с профилем намагниченности4πM (y) = 5 kOe −¯ς y на дисперсионные кривые поверхностных спиновых волн (DE-моды),распространяющихся вдоль разных поверхностей. Толщина пленки d = 400 nm. Магнитноеполе H равно 3 kOe. Градиент намагниченности ς¯: 1 – 1, 2 – 2.5, 3 – 5 kOe/µm. Волновойвектор q нормирован на толщину пленки d.0где ν = sign q, ψ1,2обозначает частную производную функции ψ1,2 по y.Влияние магнитной неоднородности пленки по толщине на дисперсионные кривые поверхностных спиновых волн, полученное на основе соотношения (4.61), представлено наРис.
4.19. Вычисления проведены для магнитной пленки толщиной d = 400 nm и магнитного профиля 4πM (y) = 5 kOe - ς¯y при магнитном поле H = 3 kOe и γ = 2π·2.83 MHz/Oe.Типичная особенность влияния магнитной неоднородности на дисперсионные кривые поверхностных спиновых волн заключается в следующем. Спиновая волна, распространяющаяся вдоль поверхности с малым значением 4πM (y = d, q < 0) претерпевает максимальные изменения.
При больших значениях волнового вектора q дисперсионные кривыеэтих волн стремятся к меньшим частотам по сравнению с поверхностными волнами, распространяющимися вдоль поверхности с большим значением намагниченности 4πM (q >0).Итак, на основе вышерассмотренного найдено, что главными факторами, влияющими192на форму дисперсионных характеристик спиновых волн в пленке B, являются: (1) проводимость и магнитные характеристики слоя C (намагниченность и коэффициент затуханияслоя C) около пленки B, (2) неоднородность магнитных параметров (намагниченность) иразупорядоченность спинов ξ, ζ пленки B.
В меньшей степени на форму дисперсионныхкривых влияет проводимость пленки B. Влияние диэлектрической проницаемости начинает сказываться только при больших значениях ε (> 104 ). Вышеперечисленные факторыпо разному влияют на форму дисперсионных кривых:(1) Увеличение разупорядоченности спинов (уменьшение параметров ξ, ζ) проявляется втом, что наклон дисперсионной кривой понижается. При больших значениях разупорядоченности наклон дисперсионной кривой меняет знак и становится отрицательным.(2) Влияние проводимости пленки B заключается в образовании максимума на дисперсионной кривой ω(q) при qd = 1 для волн, распространяющихся как в прямом, так и вобратном направлении.(3) Наличие проводящего слоя около одной из поверхностей пленки B приводит к появлению максимума на кривой ω(q) при qd = 1 только для волны, распространяющейся вдольинтерфейса пленка / проводящий слой.(4) Влияние неоднородности намагниченности или параметров разупорядоченности спинов ξ, ζ по толщине пленки сказывается в том, что дисперсионные кривые спиновых волн,распространяющихся вдоль разных поверхностей будут отличаться друг от друга.
Приэтом их асимптотичекие значения при q → ∞ определяются намагниченностью и факторами ξ, ζ, соответствующими данной поверхности пленки.Таким образом, анализ главных факторов, влияющих на дисперсию спиновых волн,показал, что они по-разному изменяют форму дисперсионных кривых спиновых волн иприводят к различию двух ветвей поверхностных волн, что дает возможность решенияобратной задачи – определения магнитных и электрических характеристик магнитныхнаноструктур.4.6Определение магнитных и электрических характеристик магнитных наноструктур из дисперсионныхкривых спиновых волнПрименим теоретическую модель, развитую для общего случая, к определению характеристик магнитных наноструктур, состоящих из однородного проводящего слоя C и магнитной пленки B, в которой распространяется спиновая волна (Рис.
4.13). Будем полагать,что пленка B неоднородна по толщине d и содержит магнитные наночастицы с некоторойстепенью разупорядоченности спинов. Если мы имеем экспериментально полученную дисперсионную кривую поверхностных спиновых волн, то можно решить обратную задачу193– найти профили магнитных и электрических параметров по толщине из дисперсионныхсоотношений (4.53).
Эта задача не может быть решена аналитически точно, так как решение уравнения (4.50) не выражается через аналитические функции при произвольномпрофиле параметров по толщине. Более того, численное решение этой задачи может бытьпроизведено только приближенно, что связано с ограниченным интервалом определенияволнового вектора q. Оценим степень приближения решения обратной задачи.Магнитное поле поверхностной волны (4.52), распространяющейся в пленке B, спадаетэкспоненциально от поверхности с характерным масштабом q −1 .
Волна чувствует неоднородность (как продольного, так и поперечного типа) в наибольшей степени, если размернеоднородности магнитных и электрических параметров l ≈ 2π/q. На дисперсионной кривой область ω(q) с q ≈ 2π/l подвергается наибольшим изменениям. Если дисперсионнаякривая определена на участке [0, q (max) ], то мы можем найти профиль функций параметров по толщине с точностью до 2π/q (max) . Так как разложение функции в ряд Тейлора дочлена со степенью n на отрезке [0, d] позволяет описать неоднородности функции, имеющие размер порядка d/n, то при численном вычислении магнитных и электрических характеристик по толщине пленки d можно ограничиться членами разложения до степениn = q (max) d/2π.
Чем шире интервал измерения дисперсионной кривой [0, q (max) ], тем болеетонкую структуру можно определить из дисперсионных соотношений спиновых волн. Приэтом следует учесть, что q (max) должно быть связано с выбором объема усреднения δV в(4.32) неравенством (δV )1/3 ¿ 2π/q (max) .В связи с этим проведем разложение функций проводимости σ (B) , параметров порядкаξ, ζ и обменной константы α пленки B в ряд Тейлораσ (B) (y) =X 1 (B)σj y jj!j=0ξ(y) =X1ξj y jj!j=0ζ(y) =X1ζj y jj!j=0α(y) =X1αj y j .j!j=0(4.62)Проблема вычислительной устойчивости численного решения обратных задач [158,159],а также экспериментальные погрешности и существование интервала определения q вынуждают нас ограничиться первыми членами рядов Тейлора (4.62). Для нахождения дис(B)(B)персионных зависимостей (4.53) необходимо найти функции ψi (y) (2.14).
Найдем ψi (y)с помощью теории возмущений. Первые два уравнения (4.49), которые можно записать вформе194ÃT̂hxhy!Ã=∂∂(iqµxx + µ0yx + µyx ∂y) (iqµxy + µ0yy + µyy ∂y)−i(κµyxq∂+ iq ∂y)−i 2(qq!Ã+ κµyy )hxhy(C)и эквивалентное им уравнение (4.50) имеют точное решение при σ0!= 0,(4.63)6= 0, σ (B) = 0, κ(B) = 0,ξ(y) = ξ0 − ξ1 y, ζ(y) = ζ0 − ζ1 y, α(y) = 0 и B [1] (p) = D = 0 в χ̂(av) (4.32). При этом, согласносоотношению (4.32) x, y-компоненты тензора магнитной проницаемости µ̂ = 1 + 4π χ̂(av) впленке B, входящие в уравнение (4.50), имеют вид(0)µ(0)yy = µxx = 1 +ΩH ΩM ξ(y)Ω2H − ω 2iωΩM ζ(y).Ω2H − ω 2(0)µ(0)yx = −µxy =(4.64)Для пленки C µij = δij . Собственными функциями (4.52) уравнения (4.50) являются:в пленке B(B)ψ̄1 (y) = exp(−qy)G(ᾱ, 1, 2q(y − y0 ))(B)ψ̄2 (y) = exp(qy)G(1 − ᾱ, 1, −2q(y − y0 )),(4.65)в пленке C(C)ψ̄1 (y) = exp(Qy)(C)ψ̄2 (y) = exp(−Qy),(4.66)где G – вырожденная гипергеометрическая функция второго рода (функция Куммера) [156,157],ᾱ =y0 =ΩH ξ1 − ωζ12ΩH ξ1Ω2H + ΩH ΩM ξ0 − ω 2ΩH ΩM ξ1ÃQ = (q 2 + κ(C) )1/2 =(C)4πiωσ0q2 +c2!1/2.Подставляя (4.65), (4.66) в дисперсионное соотношение (4.53), получаем соотношение,(C)зависящее от параметров ω, q, d, ∆, σ0 , ΩM , ξ0 , ξ1 , ζ0 , ζ1 .
Коэффициенты разложения195ряда Тейлора (4.62) более высокого порядка в дисперсионных соотношениях можно учестьметодом теории возмущений. Для этого перепишем уравнения (4.63) в формеÃ(T̂ (0) + δ T̂ )(0)hx + δhx!= 0,(0)hy + δhyгде тензорный оператор T̂ (0) определяется магнитной проницаемостью (4.64) в пленке B(0)и соотношением µij = δij в пленке C, а hj – собственными функциями (4.65), (4.66).
Тогдав первом приближении(0)−1δhj = −TjkδTkm h(0)m .(4.67)Обратный оператор T̂ (0)−1 находится из решения соответствующей задачи Штурма-Лиувилля [160]Ãvxx vxyT̂ (0)−1 =vyx vyy!,гдеZdvxx f (y) = iqJ(y, ȳ)f (ȳ) dȳ0Zdvxy f (y) =0J(y, ȳ)[iqµ(0)xy (ȳ)f (ȳ) +∂vyx f (y) =∂yif (y)i∂vyy f (y) =−qq∂yZd0Z∂ (0)(µ (ȳ)f (ȳ))] dȳ∂ ȳ yydJ(y, ȳ)f (ȳ) dȳ0J(y, ȳ)[iqµ(0)xy (ȳ)f (ȳ) +∂ (0)(µ (ȳ)f (ȳ))] dȳ∂ ȳ yyс функцией ГринаJ(y, ȳ) =−1(0)(B)(B)µyy (0)[ψ̄1 (0)(∂ ψ̄2 (0)/∂y)(×(B)(B)(B)0 ≤ y ≤ ȳ(B)(B)ȳ ≤ y ≤ d.ψ̄1 (y)ψ̄2 (ȳ),ψ̄2 (y)ψ̄1 (ȳ),(B)− (∂ ψ̄1 (0)/∂y)ψ̄2 (0)]×Тензорный оператор δ T̂ , в общем случае (при α 6= 0), является псевдодифференциальным оператором.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
