Диссертация (1145289), страница 33

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 33)

■Обратимся теперь к свойству фильтрации по отношению к возмущениюτ e (t ) в канале управления. Обозначим ωiv , i = 1,3 – три основные частоты спектра,на которых должна происходить фильтрация.Т е о р е м а 5 . 9 . Для обеспечения фильтрующего свойства по выходу регулятора с многоцелевой структурой (5.2.18) необходимо, чтобы передаточнаяматрица корректора Fv ( s ) удовлетворяла условиям:Fv ( jωiv ) = −P2−v1 ( jωiv )P1v ( jωiv ) = R v + I v j , i = 1,3 ,(5.2.24)где P1v ( s ) = −K d ( sM + K d ) −1 H v , P2 ( s ) = −K d ( sM + K d ) −1 + E .Доказательство. Из первого уравнения замкнутой системы (5.2.20) получаем: ε v = H εν ( s ) τ e , где H εν ( s ) = (Ms + H v ) . Следовательно, для того чтобы опре−1делить реакцию управляющего сигнала на возмущение τ e (t ) найдем передаточную функцию от вектора ошибки ε v к управлению τ .

Из первого уравнения системы (5.2.18) имеем:−1−1z v = ( Ms + K d ) ξ + ( Ms + K d ) H v ε v .Подставляя это выражение в формулу для управления τ , получаемτ = (P1v ( s ) + P2 v ( s )Fv ( s ) )ε v ,(5.2.25)где P1v ( s ) = −K d (Ms + K d ) H v , P2 v ( s ) = −K d (Ms + K d ) + E . Тогда с учетом−1−1формулы (5.2.25) условие фильтрации возмущения τ e (t ) на трех основных частотах ωiv , i = 1,3 принимает видFv ( jωiv ) = − P2−v1 ( jωiv )P1v ( jωiv ) = R v + I v , i = 1,3 ,где R v и I v – матрицы с вещественными компонентами, представляющие вещественные и мнимые части комплексных чисел. ■Итак, в случае если измеряется скорость ν подвижного объекта, законуправления видаτ = g ( η) + C( ν ) ν + D( ν ) ν + Mν& d + τ ,(5.2.26)202где вектор τ формируется с помощью обратной связи с многоцелевой структурой(5.2.18), обеспечивает отработку подвижным объектом (5.1.1) заданного командного сигнала по скорости ν d (t ) с учетом требований устойчивости, астатизма ифильтрации.Теперь перейдем к рассмотрению более сложной ситуации, когда измеряется только вектор η, определяющий положение и ориентацию подвижного объекта (5.1.1) в пространстве.Будем полагать, что заданное значение скорости ν d является постояннымвектором.

Рассмотрим сначала базовый закон, стабилизирующий заданную скорость, в формеτ = g (η) − K d (ν − K ν ν d ) .(5.2.27)Тогда уравнения замкнутой системы (5.1.1), (5.2.27) примут видMν& = −D(ν )ν − C(ν )ν − K d (ν − K ν ν d ) + τ e .В положении равновесия при отсутствии возмущений ( τ e (t ) ≡ 0 ) имеем− D(ν 0 )ν 0 − C(ν 0 )ν 0 − K d (ν 0 − K ν ν d ) = 0 .Выберем матрицу K v так, чтобы в положении равновесия заданное ν d ифактическое ν 0 значения скорости совпадали. Отсюда находимK v = K −d 1 (D( ν d ) + C( ν d ) + K d ) .(5.2.28)Устойчивость указанного положения равновесия обеспечивается выборомматрицы K d базового закона.

Будем считать, что матрица K d выбрана некоторым образом, исходя из требования устойчивости. Отметим, что для каждогоконкретного класса объектов управления этот вопрос следует рассматривать отдельно.Так как скорость ν подвижного объекта не измеряется, то непосредственная реализация закона управления (5.2.27) невозможна. В связи с этим будемформировать управление с многоцелевой структурой203Mz& v = − D(z v )z v − C( z v )z v + τ + R T ( η)K 1 (η − z η ),z& η = R ( η)z v + K 2 (η − z η ),(5.2.29)τ = −K d (z v − K v ν d ) + Fv ( s )(η − z η ).При этом на подвижный объект будем подавать управляющее воздействие τ , вычисляемое по формулеτ = τ + g (η) .(5.2.30)Первые два уравнения многоцелевой структуры (5.2.29) представляют собой асимптотический наблюдатель, причем векторы z v и z η являются оценкамивекторов ν и η соответственно. Последнее уравнение определяет управляющийсигнал, формируемый по выходу наблюдателя.

В качестве слагаемого сюда входит выход динамического корректора, задача которого состоит в обеспечении астатизма замкнутой системы по ошибке e v = ν − ν d относительно возмущения τ e ,а также придание этой системе фильтрующих свойств по управляющему сигналу.Введем ошибки оценивания ε v = ν − z v , ε η = η − z η . Согласно (5.1.1),(5.2.29) и (5.2.30) эти ошибки удовлетворяют уравнениямMε& v = (D( ν − ε v ) − D( ν ) + C( ν − ε v ) − C( ν ) )ν− (D( ν − ε v ) + C( ν − ε v ))ε v − R T ( η)K 1ε η + τ e ,(5.2.31)ε& η = R ( η)ε ν − K 2ε η .Заметим, что система (5.2.31) имеет нулевое положение равновесия ε v = 0 , ε η = 0при отсутствии возмущений. Запишем уравнения (5.2.31) в окрестности положения равновесия.

Для этого представим каждый из элементов d ij ( ν − ε v ) матрицыD( ν − ε v ) в линейном приближении, заменив первыми двумя слагаемыми их разложения в ряд Тейлора:d ij ( ν − ε v ) ≈ d ij ( ν ) −∂d ij∂νεv.(5.2.32)Выполняя аналогичное представление для элементов матрицы С( ν − ε v ) , получаем, что уравнения (5.2.31) для ошибок ε v и ε η в окрестности нулевого положения204равновесия принимают вид~~Mε& v = −D( ν )ε v − C( ν )ε v − R T ( η)K 1ε η + τ e ,ε& η = R ( η)ε ν − K 2ε η .(5.2.33)~~~Здесь каждый из элементов d ij ( ν ) и с~ij ( ν ) матриц D и С определяется разложениями (5.2.32) для элементов исходных матриц.Пусть выбором матриц K 1 и K 2 обеспечивается асимптотическая устойчивость нулевого положения равновесия системы (5.2.33) при любых ограниченныхизменениях вектора скорости ν .

В этом случае, согласно [134], нетрудно пока~~зать, что матрицы D и С можно считать зависящими от времени t . В каждомконкретном случае для подвижных объектов вопрос о выборе матриц K 1 и K 2решается отдельно.При этом в статике имеем ν = z v и η = z η , а сигнал управления удовлетворяет равенствуτ = −K d (z v − K v ν d ) + Fv ( s )(η − z η ) = −K d ( ν − K v ν d ) = τ * ,то есть закон управления (5.2.29), (5.2.30) обеспечивает отработку командногосигнала ν d .Теперь обратимся к вопросу устойчивости положения равновесия в замкнутой системе (5.1.1), (5.2.29), (5.2.30).

Запишем сначала уравнения динамическогокорректора в форме пространства состояний:p& v = α v p v + β v (η − z η ),ξ = γ v p v + μ v (η − z η ),(5.2.34)где α v , β v , γ v , μ v – постоянные матрицы, p v – вектор состояния корректора,nv = dim(p v ) , причем Fv ( s ) = γ p (sE nv − α v ) β v + μ v .−1Т е о р е м а 5 . 1 0 .

Пусть матрица K d базового закона обеспечиваетасимптотическую устойчивость положения равновесия ν = ν d по скорости взамкнутой системе (5.1.1), (5.2.27), а матрицы K 1 и K 2 асимптотического наблюдателя выбраны с учетом требования устойчивости нулевого положения205равновесия системы (5.2.33). Тогда при отсутствии возмущений положение равновесия замкнутой системы (5.1.1), (5.2.29), (5.2.30) асимптотически устойчиво,если матрица α v динамического корректора гурвицева.Доказательство.

Преобразуем уравнение (5.1.1) по скорости подвижногообъекта. С учетом (5.2.30) при отсутствии возмущений это уравнение имеет видMν& = −C(ν )ν − D(ν )ν + τ .(5.2.35)Подставляя сюда выражение (5.2.29) для закона управления, получаемMν& = −C( ν )ν − D( ν )ν − K d (z v − K v ν d ) + γ v p v + μ v ( η − z η ) =− C( ν )ν − D( ν )ν − K d ( ν − ε v − K v ν d ) + γ v p v + μ v ( η − z η ) =− (C( ν ) + D( ν ) + K d )ν + K d ε v + K d K v ν d + γ v p v + μ v ( η − z η ) =− (C( ν ) + D( ν ) + K d )ν + (C( ν d ) + D( ν d ) + K d )ν d + K d ε v + γ v p v + μ v ( η − z η ).Тогда для постоянного заданного значения скорости ν d имеемMe& v = −(C( ν ) + D( ν ) + K d )( ν − ν d ) + (C( ν d ) + D( ν d ) − C( ν ) − D( ν ) )ν d ++ K d ε v + γ v p v + μ v ( η − z η ) = −(C( ν ) + D( ν ) + K d )( ν − ν d ) +~~+ (∆C( ν ) + ∆D( ν ) )ν d + K d ε v + γ v p v + μ v ( η − z η ),~~где введены обозначения: ∆С( ν ) = С( ν d ) − С( ν ), ∆D( ν ) = D( ν d ) − D( ν ) .Рассмотрим уравнения динамики замкнутой системы:~~Me& v = −(C(e v ) + D(e v ) + K d )e v + (∆C(e v ) + ∆D(e v ) )ν d ++ K d ε v + γ v p v + μ v ε η + τ e (t ),~~Mε& v = −D(e v )ε v − C(e v )ε v − R T ( η)K 1ε η + τ e (t ),ε& η = R ( η)ε ν − K 2ε η ,(5.2.36)p& v = α v p v + β v ε η ,η& = R ( η)ν.Введем векторы ζ1 = (ε vε η ) , ζ 2 = p v .

Тогда соответствующие уравненияTсистемы (5.2.36) без возмущений можно представить в формеS1 : ζ&1 = A(t , ζ1 )ζ1 ,~S 2 : ζ& 2 = α v ζ 2 + βv ζ1.(5.2.37)~Здесь матрицы A(t , ζ1 ) и βv определяются согласно (5.2.36). Заметим, что нуле-206вое положение равновесия системы S1 является асимптотически устойчивым согласно условиям теоремы за счет выбора матриц K 1 и K 2 . Если матрица α v –гурвицева, то нулевое положение равновесия системы ζ& 2 = α v ζ 2 является глобально асимптотически устойчивым. Следовательно, условия теоремы 1 [134] длякаскадных систем выполнены и нулевое положение равновесия системы (5.2.37)является равномерно асимптотически устойчивым.Рассмотрим теперь два вектора состояния: x1 = e v , x 2 = (ε vεηp v ) .

ТоTгда уравнения (5.2.36) можно переписать в видеΣ1 : Mx& 1 = f1 (t , x1 ) + A 2 x 2 ,Σ 2 : x& 2 = f 2 (t , x 2 ).(5.2.38)Здесь матрица A 2 , а также функции f (t , x1 ) и f (t , x 2 ) определяются в соответствии с уравнениями системы (5.2.36). С учетом доказанного выше, нулевое положение равновесия системы Σ 2 является асимптотически устойчивым.

В соответствиисусловиямитеоремы,нулевоеположениеравновесиясистемыMx& 1 = f1 (t , x1 ) является асимптотически устойчивым за счет выбора матрицы K d .Тогда все условия теоремы 1 [134] выполнены и нулевое положение равновесиясистемы (5.2.38) является асимптотически устойчивым. ■Рассмотрим вопрос обеспечения астатизма в замкнутой системе (5.1.1),(5.2.29), (5.2.30) по отношению к постоянным возмущениям τ e (t ) = τ e 0 .

С этойцелью рассмотрим уравнения замкнутой системы (5.2.36). Будем считать, что постоянное возмущение τ e (t ) = τ e 0 таково, что система (5.2.36) имеет положениеравновесия, которому соответствуют равенства: ψ = ψ 0 по углу курса, где ψ 0 –постоянное число, θ0 = 0 , ϕ0 = 0 – по углам крена и дифферента. Тогда матрицапреобразования координат R (η) зависит только от одного параметра ψ 0 , то естьв положении равновесия данная матрица равна R (ψ 0 ) .Т е о р е м а 5 . 1 1 .

Если передаточная матрица динамического корректораFv (s ) удовлетворяет условию207Fv (0)M 21 + (D( ν 0 − ε v 0 ) + C( ν 0 − ε v 0 ) + K d )M11 + R T (ψ 0 )K 1M 21 = 0 ,(5.2.39)где матрицы M11 и M 21 определяются формулой (5.2.41), то замкнутая система(5.1.1), (5.2.29), (5.2.30) обладает свойством астатизма по отношению к вектору e v = ν − ν d для любого возмущения τ e (t ) ≡ τ e 0 .Доказательство. Найдем положение равновесия замкнутой системы(5.2.36). Рассмотрим сначала уравнения по векторам ошибок ε v , ε η :~~− D(e v 0 )ε v 0 − C(e v 0 )ε v 0 − R T (ψ 0 )K 1ε η0 + τ e 0 = 0R (ψ 0 )ε ν 0 − K 2ε η0 = 0,где e v 0 = ν 0 − ν d , ε v 0 , ε η0 – векторы, определяющие положение равновесия. Отсюда получаем систему уравнений~~ D(e v 0 ) + C(e v 0 ) R T (ψ 0 )K 1  ε v 0   τ e 0   = .ε0RK()ψ− η0  02(5.2.40)Считая, что матрица системы (5.2.40) не особая, имеем единственное решениеε v 0 = M11τ e 0 , ε η0 = M 21τ e 0 ,(5.2.41)−1~~T M11 M12   D(e v 0 ) + C(e v 0 ) R (ψ 0 )K 1  .где  = − K 2 R (ψ 0 ) M 21 M 22  Рассмотрим теперь уравнение для закона управления (5.2.29) в положенииравновесия:− D(z v 0 )z v 0 − C(z v 0 )z v 0 + τ + R T (ψ 0 )K 1ε η0 = 0,R (ψ 0 )z v 0 + K 2ε η0 = 0,(5.2.42)τ = −K d (z v 0 − K v ν d ) + Fv (0)ε η0 .Выполним вспомогательные преобразования:− D(z v 0 )z v 0 − C(z v 0 )z v 0 + τ = − D(ν 0 − ε v 0 )( ν 0 − ε v 0 ) − C(ν 0 − ε v 0 )( ν 0 − ε v 0 ) +Fv (0)ε η 0 − K d ( ν 0 − ε v 0 − K v ν d ) = −(D(ν 0 − ε v 0 ) + C(ν 0 − ε v 0 ) + K d ) ν 0 +Fv (0)ε η 0 + (D(ν 0 − ε v 0 ) + C(ν 0 − ε v 0 ) + K d )ε v 0 + (D(ν d ) + C(ν d ) + K d ) ν d =− (D(ν 0 − ε v 0 ) + C(ν 0 − ε v 0 ) + K d )( ν 0 − ν d ) + (D(ν d ) + C(ν d ) − D(ν 0 − ε v 0 ) −C(ν 0 − ε v 0 )) ν d + Fv (0)ε η0 + (D(ν 0 − ε v 0 ) + C(ν 0 − ε v 0 ) + K d )ε v 0 .Подставляя данное выражение в первое уравнение системы (5.2.42), имеем208− (D( ν 0 − ε v 0 ) + C( ν 0 − ε v 0 ) + K d )( ν 0 − ν d ) + (D( ν d ) + C( ν d ) − D( ν 0 − ε v 0 ) −C( ν 0 − ε v 0 )) ν d + Fv (0)ε η0 + (D( ν 0 − ε v 0 ) + C( ν 0 − ε v 0 ) + K d )ε v 0 + R T (ψ 0 )K 1ε η0 = 0.Тогда с учетом (5.2.41) получаем− (D(ν 0 − ε v 0 ) + C(ν 0 − ε v 0 ) + K d )e v 0 + (D(ν d ) + C(ν d ) − D(ν 0 − ε v 0 ) − C(ν 0 − ε v 0 )) ν d+ (Fv (0)M 21 + (D(ν 0 − ε v 0 ) + C(ν 0 − ε v 0 ) + K d )M11 + R T (ψ 0 )K 1M 21 )τ e 0 = 0.В итоге приходим к уравнению~~(D( ν 0 − ε v 0 ) + C( ν 0 − ε v 0 ) + K d )e v 0 = (∆D + ∆C) ν d ++ (Fv (0)M 21 + (D( ν 0 − ε v 0 ) + C( ν 0 − ε v 0 ) + K d )M11 + R T (ψ 0 )K 1M 21 )τ e 0 ,~~где ∆D = D( ν d ) − D( ν 0 − ε v 0 ) , ∆C = C( ν d ) − C( ν 0 − ε v 0 ) .

Характеристики

Список файлов диссертации