Диссертация (1145289), страница 28

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

Тогда, в соответствии с [22], регулятор (4.1.4) с векторомнастраиваемых параметров h обеспечивает устойчивость замкнутой системы свозмущенной моделью (4.2.2) при любых относительных возмущениях моделиобъекта, удовлетворяющих условию∆ 0 ( e jω ) ≤1, ω ∈ [0, π].P(h, ω)(4.2.6)С учетом взаимно однозначного соответствия между вектором настраиваемыхпараметров h и вектором ε ∈ E λ , введем следующую функцию:q(ω) = minh∈Ω H11= minλ.P (h, ω) ε∈E P(h(ε ), ω)(4.2.7)Данная функция определяет минимальный частотный «коридор», в пределах которого может находиться возмущение модели объекта, так что произвольный регулятор вида (4.1.4) с вектором h ∈ Ω H обеспечивает устойчивость замкнутойсистемы.

Следовательно, если выполняется условиеq(ω) > β, ω ∈ [0, π] ,то дополнительное ограничение (4.2.4) может быть опущено. При этом задача оптимизации (4.2.5) на допустимом множестве Ω*H сводится к задаче на безусловный экстремум (4.1.46). ■Рассмотрим утверждения, которые позволяют ввести допустимое множество параметров ε , обеспечивающих выполнение условия (4.2.4).Т е о р е м а 4 . 5 . Для каждого вектора ε ∈ E λ , удовлетворяющего условию1701P(h(ε )) < , где P(h) = max T (e jω , h) , регулятор (4.1.4) с вектором настраиваеω∈[ 0, π ]βмых параметров h(ε ) обеспечивает устойчивость замкнутой системы для любых возмущений ∆ 0 модели объекта, удовлетворяющих условию (4.2.3).Доказательство.

Рассмотрим следующую функциюP(h) = max T (e jω , h) .ω∈[ 0, π ]С учетом (4.2.4) регулятор (4.1.4) обеспечивает устойчивость замкнутойсистемы для возмущений (4.2.3), если выполняется условиеP(h) < 1 β .Отсюда, с учетом взаимно однозначного соответствия между вектором настраиваемых параметров h и вектором ε ∈ E λ , получаем ограничениеP( h ( ε ) ) < 1 β .(4.2.8)Данное ограничение является эквивалентным условию (4.2.4).

■Введем в рассмотрение допустимое множество{Ω ε = ε ∈ E λ : P (h(ε )) < 1 / β, P (h(ε )) = max T (e jω , h(ε))ω∈[ 0 , π ]}и рассмотрим задачу оптимизацииJ k* = J k* (ε) → inf .ε∈Ω ε(4.2.9)Отметим, что данная задача оптимизации эквивалентна исходному варианту (4.2.5), что следует из теорем 4.3 и 4.5. При этом данный вариант является более удобным с практической точки зрения. Это связано с тем, что на практике припоиске некоторого начального приближения к оптимальному решению задачи вомногих случаях используются методы перебора на конечной сетке. В данном случае, для задачи оптимизации (4.2.9) такую сетку с фиксированным шагом можнопостроить в пространстве E λ . Тогда для поиска приближенного к оптимальномурешения задачи (4.2.9) необходимо для каждого из векторов ε , находящихся вузлах этой сетки, проверить условие (4.2.8).

Если это условие выполняется, то для171соответствующих векторов вычисляется значение функционала J k* (ε) . В качестверезультата среди всех таких векторов выбирается тот, для которого значениеJ k* (ε) наименьшее.В качестве альтернативного варианта допустимое множество Ω ε можетбыть сформировано в соответствии со следующим утверждением.Т е о р е м а 4 . 6 .

Для любого вектора ε ∈ E λ , удовлетворяющего условию1, h ∈ Ω H , P(h, ω) = T (e jω , h) , регулятор (4.1.4)ω∈[0 , π ] P (h, ω)f (h(ε )) > β , где f (h ) = minс вектором настраиваемых параметров h(ε ) обеспечивает устойчивость замкнутой системы для любых относительных возмущений ∆ 0 модели объекта,удовлетворяющих условию (4.2.3).Доказательство. Введем в рассмотрение функциюP(h, ω) = T (e jω , h) = W (e jω , h)(1 + Pn (e jω )W (e jω , h) ) Pn (e jω ) ,−1где ω ∈ [0, π] , h ∈ Ω H . Тогда при любом относительном возмущении, удовлетворяющем условию∆ 0 ( e jω ) ≤1, ω ∈ [0, π] ,P(h, ω)замкнутая регулятором (4.1.4) система с возмущенной моделью (4.2.2) будет устойчива.

Определим следующую функцию1, h ∈ ΩH .ω∈[0 , π ] P (h, ω)f (h ) = minЕсли выполняется условие f (h ) > β , то вектор настраиваемых параметров h является элементом множества Ω*H . С учетом взаимно однозначного соответствиявекторов h и ε ∈ E λ , получаем следующее условиеf (h(ε )) > β .Любому вектору ε ∈ E λ , удовлетворяющему данному ограничению, соответствуетвектор настраиваемых параметров h(ε ) , обеспечивающий робастную устойчи-172вость замкнутой системы для возмущений (4.2.3).

■Рассмотрим допустимое множество1Ω*ε =  ε ∈ E λ : f (h(ε )) > β, f (h(ε )) = min, P (h, ω) = T (e jω , h)  .ω∈[0 , π ] P (h(ε ), ω)Заметим, что данное множество является более узким, по сравнению со множеством Ω ε . Тем не менее, решение задачи оптимизации вида (4.2.9) на множествеΩ*ε позволяет получить приближенное к оптимальному решение исходной задачи. Кроме того, для данного множества также можно использовать методы перебора на конечной сетке.В заключение отметим, что для применения в режиме реального времениуправления с учетом требования робастной устойчивости следует использоватьприведенные выше алгоритмы 1 и 2, где вместо задачи на безусловный экстремум(4.1.46) на каждом такте формирования управления решается задача нелинейногопрограммирования (4.2.9) на допустимом множестве Ω ε или Ω*ε .4.3.

Пример синтеза прогнозирующего управления с учетомробастных свойств для системы магнитной левитацииНа рис. 4.3.1 представлена общая схема системы магнитной левитации. Настальной шарик, находящийся в воздухе, действует две силы: сила тяжести Fg ,направленная вертикально вниз, и сила притяжения Fm , создаваемая электромагнитом, когда по нему течет ток I . На рисунке приняты следующие обозначения:V – напряжение, подаваемое на катушку, R – сопротивление катушки, L – ееиндуктивность, xb – расстояние от электромагнита до шарика. Начало системыкоординат Oxy расположено на поверхности электромагнита, ось Ox направленавертикально вниз.Запишем систему нелинейных дифференциальных уравнений, представляющих математическую модель магнитной левитации. Для этого введем следующие переменные: x1 = x = xb , x2 = x&b , x3 = I , u = V .

На основе законов элек-173трических цепей и второго закона Ньютона, а также с учетом выражения для силы притяжения электромагнита [74], составим уравнения математической модели:1 K x2R1x&1 = x2 , x& 2 = g − ⋅ m 23 , x&3 = − x3 + u.2 Mx1LL(4.3.1)Здесь M – масса шарика, g – гравитационная постоянная, K m – магнитная постоянная. Управляющим воздействием является напряжение u , а контролируемой переменной – смещение шарика xb .Рис. 4.3.1. Схема системы магнитной левитации.В рассматриваемой системе измеряются две величины: сила тока I в контуре и положение шарика xb .

Последняя величина измеряется с помощью оптического датчика, встроенного в пьедестал. Дополним систему (4.3.1) уравнениямиизмерений:y1 = x1 , y2 = x3 .(4.3.2)Важно отметить, что уравнения (4.3.1), (4.3.2) приближенно представляютдинамику системы, поскольку имеются существенные сложности в формализованном описании электромагнитного поля при наличии дополнительных неучтенных воздействий с его стороны.

При этом наибольшие трудности возникают вмоделировании поведения шарика вблизи поверхности электромагнита.174Составим уравнения линейного приближения для системы (4.3.1) в окрестности положения равновесия ( x10 ,0, x30 ) = ( xb 0 ,0, I 0 ) , соответствующего фиксированному напряжению u = u 0 . Заметим, что значения xb 0 и I 0 связаны соотношением: xb 0 = K m 2 gM I 0 .

Пусть x1 = x1 − x10 , x2 = x2 , x3 = x3 − x30 и u = u − u 0 –переменные, определяющие отклонения динамических параметров от положенияравновесия. Тогда система в отклонениях примет видx&1 = x2 ,2g2g1Rx3 , x&3 = − x3 + u .x1 −x& 2 =LLI0xb 0(4.3.3)Аналогично, из (4.3.2) получаем уравнения измерений:y1 = x1 ,y 2 = x3 ,(4.3.4)где y1 = y1 − y10 , y 2 = y 2 − y 20 . Запишем линейную модель (4.3.3), (4.3.4) в матричной форме: x&1   0 1 0  x1   0    0   0 x& 2  =  a21 0 a23  x2  +  0 u , x&   0 0 a 0  x   b 33  3   0  3 0=Здесь a21 x1  y1   1 0 0    =  x2 . y2   0 0 1  x  3(4.3.5)2g 02g 01R, a23 = −, a33 = − , b0 = . Теперь, если подставить в (4.3.5)xb 0I0LLзначения физических параметров устройства магнитной левитации, то получимноминальную линейную модель, представляющую динамику системы в окрестности положения равновесия.Отметим, что нулевое положение равновесия системы (4.3.5) является неустойчивым, что соответствует неустойчивости равновесия исходной нелинейнойсистемы (4.3.1) по вертикальному положению шарика.В силу неточности описания магнитного поля, значения коэффициентов вмодели (4.3.5) являются приближенными.

При этом линейные модели, соответствующие различным положениям шарика xb , отличаются главным образом значением коэффициента a21 [74]. В связи с этим, будем считать, что модель (4.3.5) является номинальной, а область неопределенности для модели объекта будем175формировать, варьируя значение коэффициента a21 в заданных пределах.Синтезируем цифровой робастный алгоритм управления с прогнозом дляреального устройства MAGLEV магнитной левитации [137]. В силу конструктивных особенностей устройства, положение шарика xb может варьироваться в диапазоне от 0 до 0.014 м.

При этом xb = 0 , когда шарик «прилипает» к магниту иxb = 0.014 м, если шарик находится на пьедестале. Ниже приведены значения физических параметров системы:L =0.4125 H, R =11 Ом, K m =6.5308Е-005 Н ⋅ м 2 / A 2 , M =0.068 кг.Рассмотрим положение равновесия системы для смещения шарикаxb 0 = 0.006 м. Учитывая уравнения (4.3.1), получаем, что этому смещению соответствует равновесное значение силы тока I 0 = 0.86 A. Подставив эти величины в(4.3.5), построим номинальную грубую модель, описывающую поведение системы в окрестности положения равновесия:10  x1   0  x&1   0     x& 2  =  3270 0 − 22.88  x 2  +  0 u , x&   00 − 26.67  x3   2.42  3  x1  y1   1 0 0    =  x 2 . (4.3.6)y001  2  x3 Собственные числа матрицы разомкнутой системы (4.3.6) равны λ1 = 57.18 ,λ 2 = −57.18 , λ 3 = −26.67 , что свидетельствует о неустойчивости нулевого положения равновесия.

Характеристики

Список файлов диссертации