Диссертация (1145289), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

3.4.3 представлен переходный процесс для MPC-регулятора при начальном нижнем вертикальном положении маятника, то есть β0 = π . Из рисункавидно, что время подъема маятника составляет примерно 6 секунд. В окрестностиположения равновесия MPC-закон управления переключается на стабилизирующий регулятор. Итак, MPC-подход с использованием терминального множествапозволяет обеспечить достижение цели управления при выполнении имеющихсяограничений.40300200uβ (deg)20100000-205t(sec)10-4005t (sec)10Рис. 3.4.3.

Переходный процесс для MPC-регулятора.3.4.2. Прогнозирующее управление в задачединамического позиционирования морского суднаМатематическая модель динамики морского судна в задаче динамическогопозиционирования представляется следующей системой дифференциальныхуравнений [108, 109, 157]:137Mν& = − Dν + τ + d(t ),η& = R (η)ν,(3.4.19)где компоненты вектора ν = (u v r ) являются проекциями линейной и угловойTскорости на оси связанной системы координат Ov xv yv z v , компоненты вектораη = (xy ψ ) определяют положение центра масс ( x, y ) и курсовой угол ψ поTотношению к неподвижной системе координат Oxyz . Обе системы координат показаны на рис.

3.4.4.xvψxOOv(x,y)yzryvzvРис. 3.4.4. Неподвижная Oxyz и связанная Ov xv yv z v системы координат.Вектор τ ∈ R 3 задает управляющее воздействие, а вектор d ∈ R 3 – внешниевозмущения, обусловленные ветром и волнением. Матрицы M и D с постоянными элементами положительно определены, причем первая из них являетсясимметрической. Система (3.4.19) содержит нелинейность, обусловленную ортогональной матрицей поворота на угол ψ : cos ψ − sin ψ 0 R (η) = R (ψ ) =  sin ψ cos ψ 0  . 001 (3.4.20)Как правило, вектор скорости ν недоступен для измерения, поэтому синтезируемый закон управления должен опираться только на измерения вектора η .Задача динамического позиционирования состоит в синтезе закона управлениявидаz& = f (z, τ, η),τ = g (z, η),(3.4.21)138где z ∈ E k – вектор состояния регулятора, который обеспечивает выполнениеследующих требований:а) замкнутая система (3.4.19), (3.4.21) имеет единственное положение равновесия ν = 0 , η = η d , где ηd – заданный вектор;б) указанное положение равновесия является глобально асимптотически устойчивым;в) закон управления (3.4.21) обеспечивает свойства астатизма и фильтрациипо отношению к внешнему возмущению d(t ) .Пусть ηd ∈ E 3 – желаемое положение судна.

Целью синтеза MPCрегулятора является обеспечение желаемого положения равновесия замкнутойсистемы ν = 0 , η = ηd .Введем следующие ограниченияτu (t ) ≤ cu , τv (t ) ≤ cv , τ p (t ) ≤ c p , ∀t ∈ [0, t * ] ,где τ = (τuτv(3.4.22)τ p ) – вектор управляющих сил и момента, cu , cv , c p – заданныеTположительные числа, t * – длительность переходного процесса.На движениях замкнутой системы зададим функционал, характеризующийкачество процессов управления, в форме∞()J = J ( τ ) = ∫ ( η − ηd ) Q η ( η − ηd ) + τ T Q τ τ dt ,T(3.4.23)0где Q η , Q τ – заданные положительно определенные весовые матрицы.Поставим задачу синтеза MPC-регулятора, обеспечивающего достижениежелаемого положения судна η = η d и доставляющего минимум функционалу(3.4.23) при выполнении ограничений (3.4.22).

Отметим, что использование MPCподхода в данной задаче обусловлено нелинейностью математической моделиобъекта управления, наличием ограничений и многомерным (три компоненты)управлением.Будем использовать две прогнозирующие модели – нелинейную прогнози-139рующую модель при переходе из начальной точки в окрестность желаемого положения равновесия ηd , и линейную – при попадании вектора состояния в окрестность положения равновесия.Сформируем нелинейную прогнозирующую модель на основе уравненийдинамики (3.4.19), (3.4.20).

Для этого перейдем к соответствующим разностнымуравнениям, выполняя дискретизацию методом Эйлера с шагом T . В результатеполучим:Mν[i + 1] = Mν[i ] − TDν[i ] + Tτ[i ] + T d[i ],η[i + 1] = η[i ] + TR ( η[i ])ν[i ],(3.4.24)d[i + 1] = d[i ],i = k , k + 1,....,~ν[k ] = ~ν[k ], η[k ] = ~η[k ], d[k ] = d[k ].η[k ] – результат измерения текущего положения судна на k -м такте, ~ν[k ] иЗдесь ~~d[k ] – текущие оценки скорости судна ν и постоянного либо медленно меняющегося внешнего возмущения d , полученные с помощью асимптотического наблюдателя.Заметим, что внешнее возмущение d[i ] на горизонте прогноза остается по~стоянным и совпадает с последней полученной оценкой d[k ] асимптотическогонаблюдателя. При этом введение соответствующего уравнения позволяет предсказать влияние постоянного возмущения на динамику объекта на горизонте прогноза.Введем также в рассмотрение линейную прогнозирующую модель, которуюбудем использовать в окрестности положения равновесия η = η d .При этом указанную окрестность определим следующим образом:Ω v = { η ∈ E 3 ψ − ψ d < α, ( x − xd ) + ( y − yd ) < r 2 },22(3.4.25)где α > 0 и r > 0 – заданные вещественные числа.При выводе уравнений линейной модели будем считать, что α – достаточное малое число и угол ψ в окрестности Ω v приближенно совпадает со значением ψ d .

С учетом данного предположения выполним дискретизацию уравнений140(3.4.19), (3.4.20) с шагом Ts = s ⋅ T , где Ts – интервал постоянства управления, какописано в параграфе 3.2. В результате получим систему уравненийν[k + 1] = A v ν[k ] + B τ τ[k ] + H d d[k ],(3.4.26)η[k + 1] = A vη ν[k ] + A η η[k ],где A v , A vη , A η , B τ , H d – постоянные матрицы соответствующих размерностей.Введем расширенный вектор состояния x =( ν η)T и перепишем модель (3.4.26) вследующей формеx[k + 1] = Ax[k ] + Bτ[k ] + Hd[k ],y[k ] = Cx[k ].(3.4.27)Здесь y[k ] = η[k ] – выходной вектор, а матрицы A, B, H и C равны AvA =  A vη0 B H , B =  τ , H =  d , C = (0 I 3 x 3 ) .A η  0 0 Учитывая, что внешнее возмущение d[k ] на горизонте прогноза остается практически неизменным, будем полагать, что в модели (3.4.27) произведение Hd[k ] является постоянным воздействием f = Hd .На основе уравнений (3.4.27) сформируем линейную прогнозирующую модель.Приэтомдляобеспеченияастатизмавведемвекторсостоянияp[i ] = (∆x[i ] y[i ])T и запишем уравнения прогнозирующей модели в форме(3.1.25), (3.1.26).

В результате получимp[i + 1] = Ap[i ] + B ∆τ[i ], i = k , k + 1,...Tz[i ] = C p[i ],p[k ] = (∆~x[k ] ~y[k ]) .(3.4.28)Здесь матрицы A, B и C определяются выражениями A 0 6 x3 BA=,B=CB, C = (0 3 x 6CAI 3 x3 I 3 x3 ) ,∆τ[i ] = τ[i ] − τ[i − 1] – приращение управления на i -м такте для прогнозирующейT~[k ] = (∆~x[k ] ~y[k ]) – начальные усмодели, z[i ] = η[i ] – выходной вектор, p[k ] = pловия, полученные в результате измерений и оценок асимптотического наблюда-141теля на k -м такте.Таким образом, будем формировать алгоритм управления на основе прогнозирующих моделей (3.4.24) и (3.4.28).

При этом вторая модель справедлива вокрестности Ω v положения равновесия η = η d .Оптимальное управляющее воздействие на горизонте прогноза необходимовычислять с учетом имеющихся ограничений (3.4.22). Рассмотрим данные ограничения на горизонте прогнозаτ j [i ] ≤ c j , i = k ,..., k + P − 1 , j ∈ {u , v, p} .(3.4.29)С учетом (3.4.29) допустимое множество Ω представим в форме{}Ω = τˆ ∈ E 3 P | A c τˆ ≤ b c ,(3.4.30)Tгде τˆ = ( τ[k ] τ[k + 1] ...

τ[k + P − 1]) – программное управление на горизонтепрогноза, а матрица A c и вектор b c определяются неравенствами (3.4.29). Допустимое множество Ω удобно использовать совместно с нелинейной прогнозирующей моделью (3.4.24). Однако поскольку в линейной прогнозирующей модели в качестве управления выступают векторы приращений ∆τ[i ] , введем такжедопустимое множество Ω' , аналогичное множеству Ω , но записанное относительно приращений управления ∆τ[i ] :Ω' = {∆τˆ ∈ E 3 P | A 'c ∆τˆ ≤ b 'c ( τ[k − 1]) }.(3.4.31)Здесь ∆τˆ = (∆τ[k ] ∆τ[k + 1] ...

∆τ[k + P − 1]) ∈ E 3 P – программное управление на гоTризонте прогноза для модели (3.4.28), а матрица A 'c и вектор b 'c определяютсяматрицей A c и вектором b c в неравенствах (3.4.30), а также формулой (3.1.41).Заметим, что правая часть в неравенствах (3.4.31) не является стационарной, а зависит от управления τ[k − 1] на предшествующем такте. Рассмотрим дискретныйаналог функционала (3.4.23) на горизонте прогноза{J k ( τˆ ) = ∑ ( η[k + i ] − ηd ) Q η ( η[k + i ] − ηd )+ ∆τ[k + i − 1]T Q τ ∆τ[k + i − 1]} .Pi =1T(3.4.32)Для обеспечения астатизма в функционале (3.4.32) вместо векторов τ[i ] исполь-142зуются их приращения ∆τ[i ] .

Поставим задачу оптимизации движения прогнозирующей модели (3.4.24) по отношению к функционалу (3.4.32) следующего видаJ k = J k (τˆ ) → min 3 P .(3.4.33)τˆ ∈Ω ⊂ EКак было показано в параграфе 3.1, в случае линейной прогнозирующеймодели (3.4.28) задача оптимизации с функционалом (3.4.32) сводится к квадратичному программированиюJ k = J k ( ∆τˆ ) = ∆τˆ T H∆τˆ + 2f T ∆τ + g →min∆τˆ ∈Ω ' ⊂ E 3 P,(3.4.34)где матрица H и вектор f определяются по формуле (3.1.43).Итак, схема управления с прогнозом для задачи динамического позиционирования имеет следующий вид:1.

Если η ∉ Ω v , то используется нелинейная прогнозирующая модель(3.4.24) и управление τ[k ] на каждом такте k вычисляется посредством решениязадачи нелинейного программирования (3.4.33).2. Если же η ∈ Ω v , то используется линейная прогнозирующая модель иуправляющее воздействие τ[k ] формируется на основе решения задачи квадратичного программирования (3.4.34).Для проведения экспериментов примем следующие значения параметровалгоритма управления: T = 0.1 с – период функционирования цифровой системыуправления, Ts = 5 с – интервал постоянства управления, P = 20 – величина горизонта прогноза.

Таким образом, в непрерывном времени величина горизонта прогноза составляет Tp = 100 секунд.При этом будем использовать следующие значения параметров [110]: длинасудна L = 76.2 м, масса m = 4.59 ⋅ 106 кг, матрицы M и D модели имеют следующие компоненты 5.31 ⋅ 1060M=08.28 ⋅ 10600 5.02 ⋅10 400, D = 93.75 ⋅ 10 0002.72 ⋅ 105− 4.39 ⋅ 106− 4.39 ⋅ 106 .4.19 ⋅ 108 0143Введем окрестность Ω v заданного положения равновесия в виде (3.4.25),где α = 10o и r = 2 м, а также примем следующие значения весовых матриц вфункционале (3.4.32):1 0 0 Q η =  0 1 0 , Q τ = 10 −12 I 3 x 3 . 0 0 100 Допустимые множества (3.4.30) и (3.4.31) определяются ограничениями(3.4.22), в которых cu = 200 кН, cv = 200 кН, c p = 5000 кН·м.Пусть ηd = ( xd yd ψ d ) , xd = 30 м, y d = 30 м, ψ d = 45° – заданное положеTние судна.

На рис. 3.4.5 показан переходный процесс для МРС-регулятора приотсутствии возмущений. Проведенные вычислительные эксперименты показали,что для уменьшения вычислительных затрат на каждом такте можно использовать горизонт C ≥ 5 без потери качества процессов управления.Рассмотрим теперь ситуацию, когда на судно действует постоянное внешнее возмущение d = d 0 = (− 10 кН30 кН 100 кН ⋅ м ) . На рис. 3.4.6 показаны со-4030302020100050100t (sec)200200100100τ2 (kN)τ1 (kN)0400-100-200050100t (sec)20050100t (sec)050100t (sec)050100t (sec)50000-100-20003010τ3 (kNm)1050ψ (deg)40y (m)x (m)ответствующие переходные процессы.0-5000050100t (sec)Рис.

3.4.5. Переходный процесс при отсутствии возмущений.403030201005040ψ (deg)40y (m)x (m)1442010050100t (sec)0150302010050100t (sec)0150050100t (sec)150050100t (sec)15010010000-100-100-200-200050100t (sec)1504000τ3 (kNm)200τ2 (kN)τ1 (kN)600020020000-2000-4000050100t (sec)150-6000Рис. 3.4.6. Переходный процесс при наличии постоянного возмущения.Как видно из рисунков, MPC-алгоритм обеспечивает компенсацию постоянного внешнего возмущения со временем перехода около 100 с при выполнениивсех ограничений.

Характеристики

Список файлов диссертации