Диссертация (1145289), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Заметим, что данный подход позволяет использовать внешнеевоздействие для экономии ресурсов, так как модель (3.4.24) дает возможностьпредсказать его влияние на динамику судна.145ГЛАВА 4. УПРАВЛЕНИЕ С ПРОГНОЗИРУЮЩЕЙ МОДЕЛЬЮС УЧЕТОМ МОДАЛЬНЫХ И РОБАСТНЫХ СВОЙСТВПредставленный здесь материал развивает исследования, проведенные впредшествующей главе по вопросам управления с прогнозирующей моделью.Особое внимание уделяется изучению робастных свойств систем управления спрогнозом.
Это связано с тем, что качество их функционирования определяется впервую очередь выбором математической модели, на основе которой формируется прогноз движения объекта.В первых двух параграфах главы предложена схема управления с прогнозом, обеспечивающего робастную устойчивость замкнутой системы с учетом желаемых модальных свойств в линейном приближении. Важной особенностьюпредлагаемой процедуры синтеза является построение такого регулятора с прогнозом, для которого на каждом такте собственные числа замкнутой номинальной системы располагаются внутри заданной области в единичном круге.
Приэтом гарантируется устойчивость любой замкнутой системы с возмущенной математической моделью, неопределенность в задании которой ограничивается вчастотной области.Соответствующая задача оптимизации управления на горизонте прогнозасводится к задаче параметрического синтеза и рассматривается вопрос о еетрансформации к поиску безусловного экстремума.Применение подхода иллюстрируется в третьем параграфе примеромуправления системой магнитной левитации.4.1.
Прогнозирующее управление с обеспечениемжелаемых модальных свойствПусть математическая модель объекта управления представлена системойнелинейных разностных уравнений вида146xˆ [k + 1] = F (xˆ [k ], uˆ [k ], ϕˆ [k ] ),yˆ [k ] = Cxˆ [k ] ,(4.1.1)где x̂ ∈ E n , û ∈ E m , ŷ ∈ E s , ϕ̂ ∈ E l – векторы состояния, управления, измерения ивозмущений, действующих на объект, соответственно.Сформируем нелинейную прогнозирующую модель на базе уравнений(4.1.1) и представим ее в следующем видеx[i + 1] = f ( x[i ], u[i ]), i = k + j ,j = 0,1,2,..., x[k ] = ~x[k ],y[i ] = Cx[i ],(4.1.2)где x ∈ E n – вектор состояния, u ∈ E m – вектор управляющих воздействий, y ∈ E s –x[k ] – текущее состояние объекта, достигнутое навектор измеряемых координат, ~k -м такте функционирования системы.Будем считать, что целью управления объектом является достижение некоторого желаемого движения, определяемого последовательностями векторов{rx [k ]} , {ru [k ]} , k = 0,1,2,... .
Осуществим линеаризацию уравнений (4.1.1) в окрестности рассматриваемого движения. В результате получим систему линейныхразностных уравнений, описывающую динамику объекта в отклонениях:x[k + 1] = Ax[k ] + Bu[k ] + Hϕ[k ],y[k ] = Cx[k ],(4.1.3)где x ∈ E n , u ∈ E m , y ∈ E s , ϕ ∈ E l – состояние, управление, измерение и возмущение соответственно. Далее рассматриваются только такие ситуации, когда всематрицы в (4.1.3) имеют постоянные компоненты.Сформируем управление прогнозирующей моделью на горизонте прогнозав виде обратной связи по измеряемому выходу y :u[k ] = W (q, h)y[k ] .(4.1.4)Здесь q – оператор сдвига на такт вперед, W (q, h) – передаточная матрица регулятора с фиксированной структурой (заданы степени полиномов в числителях изнаменателях всех ее компонентов), h ∈ E r – вектор настраиваемых параметров,подлежащих выбору при синтезе закона управления.147Запишем уравнения прогнозирующей модели (4.1.2), замкнутой регулятором (4.1.4):x[i + 1] = f ( x[i ], u[i ]), i = k + j , j = 0,1,2,..., x[k ] = ~x[ k ] ,u[i ] = r u [i ] + W( q, h )C(x[i ] − r x [i ]).(4.1.5)Зафиксируем некоторый вектор h параметров и найдем решение системы(4.1.5) в моменты i = k , k + 1,..., k + P − 1 .
В результате получим последовательность векторов {x[i ] } , ( i = k + 1,..., k + P ), представляющую собой прогноз движения {~x[i ] } реального объекта с горизонтом P .Поставим задачу о выборе оптимального управления на основе прогноза.Качество процесса управления прогнозирующей моделью на заданном горизонтебудем определять некоторым функционаломJ k = J k ({x[i]}, {u[i]} ) = J k (W(q, h)) = J k (h) ≥ 0 ,(4.1.6)который при прочих одинаковых условиях с очевидностью является функциейвектора настраиваемых параметров h .
Здесь {x[i ]} , i = k + 1,..., k + P и {u[i ]} ,i = k ,..., k + P − 1 – последовательности векторов состояния и управления, удовлетворяющие системе (4.1.5).Будем рассматривать следующую задачу параметрического синтеза:J k = J k (h) → inf ,(4.1.7)h∈Ω Hгде Ω H – множество настраиваемых параметров, обеспечивающих расположениекорнейхарактеристическогополиномазамкнутойлинейнойсистемы(4.1.3), (4.1.4) внутри заданной области C∆ в единичном круге.Отметим, что задача (4.1.7) является специфическим вариантом задачи нелинейного программирования со сложной целевой функцией, которая достаточночасто не имеет явного аналитического представления и в практических задачахзадается алгоритмически.Кроме того, специфика задачи определяется наличием не менее сложныхограничений, определяемых указанными требованиями по расположению корней.Заметим, что размерность задачи оптимизации (4.1.7) определяется только раз-148мерностью вектора h , но не зависит от величины горизонта прогноза P .О п р е д е л е н и е 4 .
1 . Будем говорить, что структура регулятора (4.1.4)является полной, если степени полиномов в числителях и знаменателях компонентов передаточной матрицы W(q, h) , а также размерность и состав компонентов вектора h таковы, что с помощью выбора этого вектора (т.е. назначения конкретных величин настраиваемых параметров) можно обеспечить произвольныйспектр корней характеристического полинома ∆ 3 ( z , h) замкнутой системы (4.1.3),(4.1.4).Данное определение можно представить в эквивалентном виде.
Для этогозапишем уравнения замкнутой системы в нормальной форме:x[k + 1] = Ax[k ] + Bu[k ] + Hϕ[k ],y[k ] = Cx[k ],ξ[k + 1] = A c (h )ξ[k ] + B c (h )y[k ],(4.1.8)u[k ] = Cc (h )ξ[k ] + Dc (h )y[k ] ,где ξ[k ]∈ E v – вектор состояния регулятора. Применяя к системе (4.1.8) Zпреобразование при нулевых начальных условиях, получим:(E n z − A )x = Bu + Hϕ,(Eν z − A c (h ))ξ = B c (h )Cx,u = Cc (h )ξ + Dc (h )Cx,y = Cx, E z − A − BD c (h )C − BC c (h ) x H = ϕ .или n()z()−BhCE−Ahcνc ξ 0 Отсюда следует, что характеристический полином замкнутой системы∆ 3 ( z , h) , степень которого будем обозначать nd , имеет вид:− BC c (h ) E z − A − BDc (h )C.∆ З ( z , h ) = det n− B c (h )CE ν z − A c (h )Пусть выбором значений настраиваемых параметров, объединенных в вектор h , необходимо назначить заданные корни характеристического полиномасистемы (4.1.8), т.е.
обеспечить выполнение тождества149~∆ З ( z , h ) ≡ ∆( z ) ,~где ∆( z ) – заданный полином степени nd . Для этого приравняем коэффициентыпри одинаковых степенях z и получим систему, состоящую из nd + 1 нелинейногоуравнения с r неизвестными компонентами вектора hL(h ) = χ .(4.1.9)Очевидно, что структура регулятора (4.1.4) является полной тогда и толькотогда, когда система (4.1.9) совместна для любого вектора χ .Нетрудно убедиться в том, что если в качестве компонентов вектора h выступают коэффициенты дробно-рациональных функций, являющихся элементамипередаточной матрицы W регулятора (4.1.4), то система (4.1.9) для поиска этоговектора оказывается линейнойLh = χ ,(4.1.10)где L – матрица с постоянными компонентами. Как в случае (4.1.9), так и в случае (4.1.10) необходимым условием полноты структуры является полная управляемость пары A , B и полная наблюдаемость пары A, C .Уточним теперь постановку задачи оптимизации (4.1.7) считая, что заданная структура регулятора (4.1.4) является полной и вводя следующее определениедопустимого множества Ω H :Ω H = { h ∈ E r : δi ( h ) ∈ C∆ , i = 1, nd },(4.1.11)где δi – корни характеристического полинома ∆ 3 ( z , h) , nd = deg ∆ 3 .Рассмотрим два варианта задания области C∆ внутри единичного круга,представленные на рис.
4.1.1.Дадим формальное определение указанным областям:C∆ = C∆1 = {z ∈ C1 : z ≤ r} , где r ∈ (0,1) – заданное вещественное число;C∆ = C∆ 2 = {z ∈ C1 : z = ρ ⋅ e ± iϕ , 0 ≤ ρ ≤ r , 0 ≤ ϕ ≤ ψ (ρ)} , где r ∈ (0,1) – заданное вещественное число, ψ (ξ ) – вещественная функция переменной ξ ∈ (0, r ] , принимающая значения из отрезка [0, π] , причем ψ(r ) = 0 .150а)б)Рис. 4.1.1. Области C∆1 и C∆ 2 желаемого расположения корней.Покажем теперь, как связаны введенные области C∆1 и C∆ 2 со стандартными областями комплексной плоскости, которые наиболее часто используются прианализе и синтезе непрерывных систем.Прежде всего, отметим, что при переходе от непрерывной модели к дискретной линейной системе собственные значения преобразуются по следующемуправилу [120]: если s – собственное значение матрицы непрерывной системы, тоz = e sT – собственное значение матрицы соответствующей ей дискретной системы, где T – шаг дискретизации.С учетом указанного обстоятельства, рассмотрим отображения стандартныхобластей S ∆1 , S ∆ 2 и S ∆ 3 , используемых при анализе и синтезе непрерывных систем, на соответствующие области для дискретной системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
