Диссертация (1145289), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

■Заметим, что теорема 3.2 конструктивна, поскольку позволяет сформировать инвариантное множество для рассматриваемой частной ситуации. При этомуказанный способ построения инвариантного множества можно использовать и вслучае управления с нелинейной прогнозирующей моделью.

В этом случае алгоритм управления с прогнозом будем формировать состоящим из двух переключающихся режимов:1) управление с нелинейной прогнозирующей моделью с дополнительнымтерминальным ограничением x[k + P ]∈ Ω c * . Здесь на каждом такте формирования118управления решается задача нелинейного программирования в соответствии сописанными выше алгоритмами;2) управление с линейной прогнозирующей моделью, если на текущем такте k выполняется условие x[k ] ∈ Ω c * .3.3. Пример управления с прогнозом для морского судна,движущегося в режиме циркуляцииРассмотрим пример управления с прогнозом для транспортного судна водоизмещением 4500 т, выполняющего циркуляцию в горизонтальной плоскостипо курсу. Система дифференциальных уравнений, описывающих его динамику впоперечном движении, имеет следующий вид [19]:V&x =QxJ xx (1 + k 44 )Qz − mk34 N x, V&z =,m(1 + k11 )mJ xx (1 + k33 )(1 + k 44 ) − m 2 k342Nyk34Qz − (1 + k33 )N x&x =&y =, ω,ω2mk34 − J xx (1 + k33 )(1 + k 44 )J yy (1 + k55 )(3.3.1)θ& = ω x , ϕ& = ω y , ξ& = Vx cos ϕ + Vz cos θ sin ϕ, ζ& = −Vx sin ϕ + Vz cos θ cos ϕ.Здесь использованы следующие обозначения: Vx , Vz и ω x , ω y – проекции векторов линейной и угловой скорости на оси связанной системы координат, θ — уголкрена, ϕ — угол курса, ξ – продольное смещение центра масс, ζ – боковое смещение центра масс.В уравнениях (3.3.1) через Qx , Qz и N x , N y обозначены соответственно проекции сил и моментов, действующих на судно, определяемые следующими соотношениями:Qx = −m(1 + k33 ) Vz ω y + 1.8T − X H − X R + Fx ;Qz = Z H + Z R + Fz ;N x = −µJ xx ω x − mgh0 θ + z k mVx ω y − 36.05Vω x + M xH + M xR + M x ;(3.3.2)N y = M yH + M yR + M y ;В приведенных формулах для сил и моментов через XH, ZH, MxH, MyH обо-119значены проекции гидродинамических силы и момента вязкостной природы, действующих на корпус судна, а через XR, ZR, MxR, MyR обозначены проекции силы имомента, обусловленные перекладкой вертикального руля, T – тяга гребного винта.

И, наконец, через Fx, Fz, Mx, My обозначены проекции на оси связанной системы векторов внешней возмущающей силы и момента (аэродинамические и порожденные волнением).Гидродинамические моменты и сила определяются формулами:X H = 0.50294V 2 ; Z H = 4.89VL2β + 9.644VL2 Ω 1 − Ω 2 + 23.7VL2β β ;M xH = −11.39VL2β − 22.474VL2 Ω 1 − Ω 2 − 55.23VL2β β ;(3.3.3)M yH = −322.61VL2β − 223.6VL2 Ω + 69.1VL2 Ω β − 160.8VL2 Ω Ω ,где V = Vx2 + Vz2 , VL = V 2 + ω2y L2 , Ω = ω y L VL – безразмерная угловая скоростьрыскания, β = −arctg (Vz Vx ) – угол дрейфа.Тяга гребного винта вычисляется по формулеT = 9.740n 2 − 2.23Vn ,(3.3.4)где n – число оборотов гребного винта, из которого следует связь между скоростью хода и оборотами гребного винта в установившемся режимеV = 3.1357n .(3.3.5)Проекции силы и момента, обусловленные перекладкой δ руля:222; Z R = 1.236VLR2 β − 0.567VLRX R = 0.462α 2VLRω − 1.236VLRδ;222M xR = −3.91VLRβ + 1.79VLRω + 3.91VLRδ;(3.3.6)22M yR = 156.93VLRβ − 29.9VLRω − 156.93VLR2 δ; M xRb = −36.05Vω x ;где α = δ − (β − LR ω y / V ) , VLR = V 2 + L2R ω2y , ω = ω y L VLR .Все остальные параметры судна приведены в работе [19].Рассмотрим также уравнения привода вертикального руля~&~δ = f1 ( u ), δ = f 2 (δ ) ,(3.3.7)где u – управление, функции f1 и f 2 определяют ограничения на скорость перекладки руля и на его максимальное отклонение соответственно:120 3sign(u ), еслиf1 (u ) = еслиu ,u > 3o / c,u ≤ 3o / c~~o~ 35sign( δ ), если δ > 35f2 (δ) =  ~.~oδδ≤,если35Соотношения (3.3.1) – (3.3.7) определяют систему дифференциальныхуравнений бокового движение судна, как объекта управления.Будем рассматривать также уравнение измеренияy = ϕ,(3.3.8)т.е.

будем считать, что измеряемой величиной является угол курса.Осуществим линеаризацию уравнений (3.3.1) – (3.3.7) в окрестности контролируемого движения. В качестве такового примем нулевое положение равновесия по координатам Vz , ωx , ω y , θ, ϕ при постоянной продольной составляющей Vx = V скорости хода.Результатом линеаризации является LTI модель бокового движения:V&z = a11Vz + a12ω x + a13ω y + a14θ + b11δ + c11 Fz + c12 M x ,& x = a21Vz + a22 ω x + a23ω y + a24 θ + b21δ + c21 Fz + c22 M x ,ω& y = a31Vz + a33ω y + b31δ + c33 M y ,ω(3.3.9)θ& = ω x , ϕ& = ω y , δ& = u.Зависимости коэффициентов линейной модели (3.3.9) от скорости аппроксимированы следующими соотношениями:a11 = −8.376 ⋅ 10 −3V ; a12 = 4.410 ⋅ 10 −2 ; a13 = 1.623V ;a21 = 1.438 ⋅ 10 −3V ;a31 = 2.582 ⋅ 10 −4 V ;a22 = −0.2299;a14 = 8.526 ⋅10 −2 ;a23 = −7.5626 ⋅ 10 −2 V ; a24 = −0.4445;a33 = −5.2989 ⋅ 10 −2 V ;b11 = −1.7038 ⋅ 10 −3V 2 ; b21 = 3.62065 ⋅10 −4V 2 ; b31 = −2.4459 ⋅ 10 −4 V 2 ;c11 = 1.325 ⋅ 10 −3 ; c12 = c21 = −1.675 ⋅ 10 −5 ; c22 = 8.731 ⋅ 10 −5 ; c33 = 1.559 ⋅ 10 −6 .Целью управления будем считать выполнение циркуляции, то есть разворотпо курсу ϕ на фиксированный угол в диапазоне от 60o до 360o .

Пусть в начальный момент времени судно движется с постоянной скоростью хода Vx = V с нулевыми значениями координат Vz , ω x , ω y , θ, ϕ, δ . При этом циркуляция должнаосуществляться таким образом, чтобы выполнялись следующие требования:121– угол крена θ не должен превышать заданного значения θmax , т.е.θ(t ) ≤ θmax , ∀t ∈ [0, t * ] ;– величина перерегулирования по курсу и длительность разворота не должны превосходить заданных допустимых величин:ρ ≤ ρ0 , t * ≤ t 0 .На управляемых движениях объекта (3.2.1) зададим интегральный квадратичный функционал вида∞J = J (u ) = ∫ ( (ϕ − ϕ* ) 2 + u 2 )dt ,(3.3.10)0где ϕ* – постоянный командный сигнал по курсу.

Для начала осуществим синтезLQR-оптимального регулятора на базе уравнений линейного приближения (3.3.9).Полученный статический регулятор имеет вид()u = m1Vz + m2ωx + m3ω y + m4θ + m5 ϕ − ϕ∗ + m6δ ,где m1 , m2 , m3 , m4 , m5 , m6 – постоянные коэффициенты.На рис. 3.3.1 представлен процесс циркуляции, обеспечиваемый LQRрегулятором при скорости хода V = 15 м/с.ϕ (dg)ωx,ωy(dg/s) θ, δ (dg)440400ϕ33030022020011010000-1-10-2-20-3-30-4-400-100ωyωxδθ050100150200-200-300-400250t(sec)Рис.

3.3.1. Процесс циркуляции для LQR-оптимального регулятора.122Величина радиуса циркуляции в данном случае составляет R = 254 м, времяпереходного процесса – T = 158 секунд, динамический крен равен 19.2o .Рассмотрим теперь реализацию управления с прогнозом. Прежде всего отметим, что период функционирования цифровой системы управления для данного судна равен T = 0.1 с. Примем в качестве базового дискретный аналог функционала (3.3.10).Сначала обсудим вариант управления с линейной прогнозирующей моделью. Сравнение прогнозируемого движения с соответствующими кривыми реального процесса в замкнутой нелинейной системе показывает, что прогноз даётсущественную ошибку.Плохое качество прогноза связано с тем, что для рассматриваемого объектауправления нелинейность исходных уравнений динамики (3.3.1) – (3.3.7) играетсущественную роль по отношению к прогнозированию.Рассмотрим теперь процесс циркуляции судна с использованием прогнозапо нелинейным уравнениям.

Для формирования нелинейной прогнозирующеймодели осуществим дискретизацию уравнений динамики (3.3.1) и уравненийпривода (3.3.7) методом Эйлера с шагом T . Это даст систему нелинейных разностных уравнений, на базе которой сформируем прогнозирующую модельx[i + 1] = x[i ] + T ⋅ f ( x[i ], δ[i ]),δ[i + 1] = δ[i ] + T ⋅ u[i ] ,(3.3.11)где x = (Vx Vz ωx ωy θ ϕ) . Зададим некоторый фиксированный горизонт прогнозаTP . Тогда, формируя программное управление u = (u[k ] u[k + 1] ... u[k + P − 1])T ирешая систему уравнений (3.3.11), получаем прогноз движения на интервал времени длиной PT = P ⋅ T .Определим структуру допустимого множества Ω ⊆ E Pпрограммныхуправлений, задаваемого следующей системой ограничений на управляющие иконтролируемые переменные:1. Ограничения на управление (скорость перекладки руля):123umin ≤ u[i ] ≤ umax ,где i = k ,..., k + P − 1 , u min = −3 o / c , u max = 3 o / c .2.

Ограничения на максимально допустимое отклонение руля. Так как связьмежду величиной отклонения руля δ[k + 1] на (k+1)-м такте и управлением u[k ] наk-м такте линейная: δ[k + 1] = δ[k ] + Tu[k ] , то система ограничений сводится к сис~теме линейных неравенств вида A u ≤ b , где b – вектор, определяемый максимально допустимым отклонением руля δ max = 35o и его текущим значением δ[k ] .3. Ограничения на контролируемые переменные, в данном случае – на уголкрена θ . При этом, как следует из уравнений (3.3.11), имеет место нелинейнаясвязь между программным управлением u = (u[k ] u[k + 1] ...

Характеристики

Список файлов диссертации