Диссертация (1145289), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Для объекта (2.4.40) базовый закон(2.4.37) обеспечивает следующие собственные значения матрицы A c : z1 = 0.658 ,z 2 = 0.757 , z3 = 0.870 , z 4 = 0.922 .Для системы (2.4.40) сформируем дискретный наблюдатель:z1[k + 1] = a11 z1[k ] + a12 z 2 [k ] + b1δ[k ] + g1 ( y[k ] − z 3 [k ]),z 2 [k + 1] = a 21 z1[k ] + a 22 z 2 [k ] + b2 δ[k ] + g 2 ( y[k ] − z 3 [k ]),(2.4.41)z 3 [k + 1] = z 2 + z 3 + g 3 ( y − z 3 ),с указанными выше коэффициентами: при этом матрица A − gc имеет собственные значения z1 = 0.560 , z 2,3 = 0.946 ± 0.0183 j .Уравнение выходного сигнала без фильтра имеет вид~~~u = k1 z1 + k 2 z 2 + k3 z3 + k0δ + νy.(2.4.42)Проанализируем движения замкнутой системы (2.4.40), (2.4.41), (2.4.42) в91двух стандартных режимах.
Первый режим определяется наличием ступенчатоговозмущения d = {d 0 [k ]} = 3.56 ⋅ {1[k ]} , а второй – воздействием волнения с дискретным спектром0.481z 3 − 1.45 z 2 + 1.46 z − 0.490S1d ( z ) = 4,z − 2.91z 3 + 3.42 z 2 − 1.88 z + 0.413полученным из (2.4.39) путем дискретизации по методу Тастина.Динамика первого режима иллюстрируется графиками функции y = {y[k ]}(угол рыскания), представленными на рис. 2.4.2, а второго – графиком функцииδ = {δ[k ]} для отклонений рулей на рис. 2.4.3.1100-1-1-2-2-3-3-4-4-502040-560020а) без фильтра4060б) с фильтромРис.
2.4.2. Динамика системы со ступенчатым возмущением.20100-10-2001002003004005006007008009001000Рис. 2.4.3. Отклонения рулей δ при стабилизации без фильтра.Считая, что интенсивность работы рулей слишком высока, т.е. функционирование автопилота во втором режиме неэкономично, поставим задачу синтезацифрового фильтра, уменьшающего отклонения рулей на волнении при учете ограничений на переходную характеристику.С этой целью, прежде всего, зададим ограничение в виде неравенстваym = max y0 [k ] ≤ 3.8o для реакции системы на ступенчатое возмущение с учетомk ∈[ 0, ∞ )92того, что при отсутствии фильтра, имеем ym 0 = max y0 [k ] = 2.2o .k∈[ 0 ,∞ )Нарис.2.4.4представленаM c (ω) = H ε (e jω ) P1 (e jω ) S a (e jω )–криваяфункция,M g (ω) = S1d (e jω ) M c (ω) ,определяющаягдеограничениеFdδ (e jω , F ) ≤ M c (ω) , которое должно быть обеспечено выбором фильтра.Mg(ω)A (ω)0.1Afdδ0.05000.10.20.30.40.50.60.70.8ω (1/s)Рис. 2.4.4.
Заданная граница и частотная характеристика замкнутой системы.Выполняя операции приведенного выше алгоритма, в соответствии с формулами (2.4.29) получаемH ε ( z) =− 0.00456 z + 0.00262, ∆ ( z ) = z 4 − 3.21z 3 + 3.84 z 2 − 2.03 z + 0.400 ,32z − 2.45 z + 1.96 z − 0.502A( z ) = z 3 − 2.55 z 2 + 2.10 z − 0.550 , H a ( z ) = 3.44 z 3 − 8.59 z 2 + 6.95 z − 1.78 .После выполнения необходимых вычислений находим значение весовогокоэффициента q = 5.40 ⋅10 −5 , для которого делаем факторизацию (2.4.32), что дает полиномыG ( z ) = 6.95 z 6 − 32.4 z 5 + 61.8 z 4 − 61.3z 3 + 33.2 z 2 − 9.25 z + 1.01~G ( z ) = 1.01z 6 − 9.25 z 5 + 33.2 z 4 − 61.3 z 3 + 61.8 z 2 − 32.4 z + 6.95 .Второй из них имеет простые корни g1 = 3.00 , g 2 = 1.80 , g 3 = 1.15 , g1 = 1.04 ,g 5, 6 = 1.02 ± 0.0247 j , расположенные вне единичного круга.Согласно (2.4.33) находим нижнюю оценку функционала J g = 0.457 .В соответствии с формулами (2.4.34) и (2.4.35) находим минимальное значение γ 0 = 0.503 параметра γ , обеспечивающее условие L( γ ) ≥ 0 .
Для этого зна-93чения по формуле (2.4.34) строим полиномRγ ( z ) = 4.73 z 6 − 22.3 z 5 + 42.7 z 4 − 42.6 z 3 + 23.2 z 2 − 6.49 z + 0.719 .Далее находим значения β1 = 1.09 ⋅10 −7 , β 2 = −5.71 ⋅10 −8 , β 3 = −0.00500 ,~β 4 = −0.0114 , β 5, 6 = −0.149 ± 0.114 j , которые вместе с корнями полинома G ( z )являются исходными данными для задачи Неванлинны-Пика. Ее приближенноерешение дает шуровский полиномm2 ( z ) = 10 −4 (−0.0573 z 5 + 0.213z 4 − 0.307 z 3 + 0.213z 2 − 0.0706 z + 0.00881) ,~ ( z) .и соответствующий ему полином m1 ( z ) = −0.765m2Далее формируется передаточная функция F0 ( z ) , приводящая к оптимальному цифровому фильтру 11-го порядка, после редукции которого до второго порядка имеем передаточную функциюF0* ( z )− 1.52 z 2 + 0.525 z + 0.996=z 2 − 1.15 z + 0.243(2.4.43)квазиоптимального фильтра.На рис.
2.4.4 представлена частотная характеристика замкнутой системы сфильтром (2.4.43), а на рис. 2.4.5 показан график функции δ = {δ[k ]} для этой системы, работающей в условиях принятого волнения. Сравнение с рис. 2.4.3 показывает существенную эффективность полученного решения задачи цифровойфильтрации.20100-10-2001002003004005006007008009001000Рис.
2.4.5. Отклонения рулей δ на волнении для автопилотас включенным фильтром.94ГЛАВА 3. УПРАВЛЕНИЕ С ПРОГНОЗИРУЮЩЕЙ МОДЕЛЬЮВ РЕЖИМЕ РЕАЛЬНОГО ВРЕМЕНИВ данной главе рассматриваются вопросы управления динамическими объектами с прогнозирующей моделью в контуре обратной связи. При этом управление на горизонте прогноза формируется в виде программной последовательностивекторов.Первый параграф посвящен вопросам формирования астатических алгоритмов управления с прогнозом. Для обеспечения астатизма замкнутой системыформируется линейная прогнозирующая модель специального вида. Она позволяет компенсировать влияние на объект управления постоянных или медленно меняющихся внешних возмущений.Во втором параграфе рассматриваются вопросы разработки алгоритмовреализации управления с прогнозом в режиме реального времени и построениятерминального множества. При разработке алгоритмов, реализующих управлениес прогнозом в режиме реального времени, основное внимание уделяется проблеме понижения размерности для задачи нелинейного программирования, решаемой на каждом такте формирования управления.
Рассматривается также вопрос опостроении терминального множества и соответствующего ему терминальногоограничения, которые позволяют (при определенных условиях) обеспечить асимптотическую устойчивость положения равновесия замкнутой системы и уменьшить вычислительные затраты на формирование управления.Применение разработанных алгоритмов проиллюстрировано в третьем ичетвертом параграфах главы тремя примерами.
В первом примере рассмотреназадача управления судном, выполняющим циркуляцию в горизонтальной плоскости, во втором – управление вертикальным маятником на вращающемся основании (маятник Фуруты), а в третьем – задача динамического позиционированияморского судна.953.1. Астатические алгоритмы управления с прогнозирующей модельюБудем считать, что задан период T функционирования цифровой системы.Пусть математическая модель динамики объекта управления представлена системой нелинейных разностных уравнений~~~[k ]), ~x[k + 1] = f (~x[k ], ux[0] = ~x0 ,~y[k ] = C~x[k ].(3.1.1)Здесь k = 0,1,2,... – номер такта (текущий момент дискретного времени), задаю-x ∈ En ,щий соответствующий момент t k = k ⋅ T непрерывного времени.
Векторы ~~ ∈ Em и ~uy ∈ E r представляют текущее состояние, управление и измерение соот-ветственно.Введем в рассмотрение множества допустимых управлений U ⊆ E m и состояний X ⊆ E n , полагая, что для любого фиксированного момента времени k~[k ] ∈ U .должны выполняться условия ~x[k ] ∈ X , uБудем считать, что целью управления объектом (3.1.1) является обеспечение выполнения равенств~[k ] − r u [k ] = 0 ,lim ~x[k ] − r x [k ] = 0 , lim uk →∞k →∞где заданные последовательности векторов(3.1.2){r x [k ] } и {r u [k ] }, k = 0,1,2,... опреде-ляют желаемое поведение объекта.На движениях объекта (3.1.1) зададим некоторый функционал~[k ]} ) ,J = J ({~x[k ] }, { u00(3.1.3)определяющий качество динамических процессов. Будем рассматривать задачу осинтезе управления с обратной связью, которое обеспечивает достижение цели~[k ] ∈ U , ~x[k ] ∈ X, k = 0,1,2,...
, и доставляет мини(3.1.2) с учетом ограничений uмум функционалу (3.1.3).На основе модели (3.1.1) сформируем прогнозирующую модель, представляя её следующей системой разностных уравнений96x[i + 1] = f (x[i ], u[i ]), i = k + j ,j = 0,1,2,..., x[k ] = ~x[k ] ,y[i ] = Cx[i ] ,(3.1.4)где x ∈ E n – вектор состояния модели, u ∈ E m – вектор управления, y ∈ E r – векторизмерений, i = k , k + 1,... . Будем считать, что функция f в системе (3.1.4) задана~[i ]} = u~ векторовтаким образом, что для любой последовательности u = { u[i ] } ≡ { uуправления элементы соответствующих последовательностей векторов состояния~x = {~x[i ] } и x = { x[i ] }, удовлетворяющие системам (3.1.1) и (3.1.4), близки междусобой по евклидовой норме для любого i = k , k + 1,...
.Заметим, что модель (3.1.4) инициируется на начальном такте j = 0 текуx[k ] и позволяет приближенно спрогнозирощим состоянием реального объекта ~вать его поведение. В результате решения системы (3.1.4) получим конечную последовательность векторов управления { u[i ] }, i = k , k + 1,..., k + P − 1 и соответствующуюейконечнуюпоследовательностьвекторовсостояния{ x[i ] }, i = k + 1, k + 2,..., k + P . Будем говорить, что при этом сформирован прогноздвижения реального объекта с горизонтом P , что графически проиллюстрировано на рис. 3.1.1.Сформулируем задачу о выборе оптимального управления на основе прогноза.
Качество процесса управления прогнозирующей моделью на горизонтепрогноза будем определять функционалом видаJ k = J k (x, u) , где(3.1.5)x = (x[k + 1] x[k + 2] ... x[k + P ]) ∈ E nP ,Tu = (u[k ] u[k + 1] ... u[k + P − 1]) ∈ E mPT(3.1.6)– вспомогательные векторы. Функционал J k представляет собой исходный функционал J 0 , заданный на конечном k -м горизонте прогноза.Учитывая, что движения системы (3.1.4) на тактах k + j , где j = 1,2,..., P ,однозначноопределяютсязаданиемвектораu,имеемx = x(u ) ,т.е.J k = J k ( x( u ), u ) = J k ( u ) . Это позволяет поставить следующую задачу оптимиза-97ции программного движения прогнозирующей модели (3.1.4) по отношению кфункционалу (3.1.5):J k = J k ( x( u ), u ) = J k ( u ) → min ,u∈Ω ⊆ E mP(3.1.7)где Ω = { u ∈ E mP : u[k + j − 1] ∈ U, x[k + j ]∈ X, j = 1,2,..., P} – допустимое множествоконечных последовательностей m-мерных векторов.Рис.
3.1.1. Прогноз движения объекта (3.1.1).В общем случае нелинейная функция J k (u ) , зависящая от mP переменных,минимизируется на невыпуклом множестве Ω ⊆ E mP . Таким образом, оптимизационная задача (3.1.7) представляет собой конечномерную задачу нелинейногопрограммирования, причем существенно, что целевая функция здесь, как правило, задается алгоритмически.Известная классическая схема реализации управления с прогнозом, включенным в контур обратной связи, заключается в следующем:1. Осуществляется измерение вектора ~y[k ] и восстанавливается текущее состояние ~x[k ] объекта с помощью асимптотического наблюдателя.2. Решается оптимизационная задача (3.1.7) для прогнозирующей модели98(3.1.4) с начальным условием x[k ] = ~x[k ] .
Это задача о поиске экстремума нелинейной функции J k (u[k ], u[k + 1],..., u[k + P − 1], x[k ]) на допустимом множествеΩ ⊆ E mP , которое определяется системой ограничений на управляющие и контролируемые переменные:J k (u[k ], u[k + 1],..., u[k + P − 1], x[k ] ) →min( u [k ], u [k +1],..., u [ k + P −1]) T ∈Ω ⊆ E mP.(3.1.8)3. Из найденной в результате решения задачи (3.1.8) оптимальной последовательности u*[k ], u*[k + 1],..., u*[k + P − 1] используется только первый векторu*[k ] в качестве управления на следующем такте (с момента времени k + 1 до момента k + 2 ).4. Для следующего такта, начиная с момента времени k + 1 , все операции,указанные в пунктах 1–3, повторяются заново.Заметим, что для реализации в режиме реального времени необходимо,чтобы решение оптимизационной задачи выполнялись достаточно быстро, в пределах одного такта.
Это требование существенно затрудняет внедрение прогнозирующих моделей в практику управления малоинерционными динамическимиобъектами.Обозначим через PT длину горизонта прогноза в непрерывном времени.Далее будем считать, что PT = P ⋅ T , т.е. имеем дискретный горизонт прогнозаP = PT T и размерность задачи оптимизации (3.1.8) равна mP . Отметим некоторые ее особенности.1. Чем больше горизонт прогноза P , тем больше размерность задачи нелинейного программирования.2. Чем меньше период дискретности T , тем большим будет горизонт прогноза P (в дискретном времени при фиксированной величине PT ) для достижения цели управления с желаемым качеством процессов.3. Проверка выполнения ограничений в задаче (3.1.8) выполняется только вотдельных точках, соответствующих дискретным моментам времени k + 1 , k + 2 ,99… k + P , следовательно, между этими точками ограничения, в принципе, могутнарушаться.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
