Диссертация (1145289), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Приведенный алгоритм практического синтеза может бытьприменен и в случае нерегулярного волнения со средней частотой ω0 спектра.При этом для подавления боковых частот можно дополнительно воспользоватьсясвободой выбора корней полиномов Φ µ (z ) в пределах заданных областей внутриединичного круга.2.4. Синтез фильтрующих корректоров на базе Н∞-подходаВ данном подразделе будем рассматривать задачу об оптимальной фильтрации, которая является усложненным вариантом задачи (2.1.26). Как было отмечено выше, существо фильтрации здесь состоит в построении такого корректора,который обеспечивает интенсивную реакцию на низкочастотные возмущения,подавляя их влияние на объект.

В то же время реакция на высокочастотную частьдиапазона должна быть незначительной, что экономит ресурсы техническихсредств и, в ряде случаев, препятствует возникновению нелинейных колебаний взамкнутой системе.Итак, основное назначение динамического фильтра состоит в подавлениивысокочастотной составляющей внешнего возмущения, которая содержится в составе управляющего сигнала, подаваемого на исполнительные органы.

Инымисловами, благодаря фильтру, их привод должен как можно слабее реагировать науказанные составляющие.78Однако эта задача должна решаться при выполнении существенных ограничений, определяемых требованиями к динамике замкнутой системы на низкихчастотах, где необходима достаточно сильная реакция управления, например, наступенчатые возмущения.Указанные требования являются противоречивыми, поэтому существо проблемы состоит в построении такого фильтра, который обеспечивает определенный динамический компромисс при условии устойчивости замкнутой системы иее астатизма по регулируемому выходу.Рассмотрим частный вариант объекта управления с уравнениямиx[k + 1] = Ax[k ] + bδ[k ] + hd [k ],δ[k + 1] = Tu[k ] + δ[k ], y[k ] = cx[k ],в которых, в отличие от (2.1.1), управляющее воздействие δ (отклонение рулей),управляющий сигнал u , измеряемый выход y и внешнее воздействие d являются скалярными величинами.

Этот вариант широко используется в задачах управления морскими объектами, например – при моделировании автопилотов.При этом закон управления с многоцелевой структурой примет видz[k + 1] = Az[k ] + bδ[k ] + g ( y[k ] − cz[k ]),~u[k ] = kz[k ] + k0δ[k ] + νy[k ] + ξ[k ],ξ = F * (q)( y − cz ).Здесь g – матрица коэффициентов наблюдателя, обеспечивающая устойчивость~~матрицы A − gc , а k , k0 и ν – коэффициенты базового закона u = (k + νc)x + k0δдляобъектауправления,обеспечивающиеустойчивостьматрицыAb ~*A c =  замкнутой системы, k = k + νc . Передаточная функция F Tk Tk0 + 1фильтра не задана и подлежит поиску в процессе синтеза.Для формулировки математической задачи, отражающей приведенную содержательную проблему, в соответствии с (2.1.13), будем рассматривать уравнения замкнутой системы в видеy1 = δ = P1 ( z )ζ + P2 ( z )ξ, y2 = y = P3 ( z )ζ + P4 ( z )ξ,79где дробно-рациональные функции Pi ( z ) (i = 1,4) являются компонентами передаточной матрицыP ( z ) P2 ( z ) P ( z ) =  1 , P1 ( z ) = α 21 ( z )g + α 22 ( z )Tν , P2 ( z ) = α 22 ( z )T , P3 ( z ) P4 ( z ) P3 ( z ) = 1 + c[α11 ( z )g + Tνα12 ( z )] , P4 ( z ) = cα12 ( z )T .~Коэффициенты k , k0 и ν в уравнениях базового закона всегда обеспечивают астатизм системы по переменной y при выключенном фильтре.

Тогда условиесохранения астатизма и при включенном фильтре имеет видF * ( z ) z =1 = 0 или F * ( z ) ≡ F ( z )( z − 1) .Этим равенством будем дополнять уравнения обратной связи, полагая, чтоF ∈ RH ∞ , т.е. F – правильная дробь с полюсами внутри единичного круга.Рассмотрим два функционала, заданные на движениях замкнутой системы ихарактеризующие качество соответствующих процессов.Первый из них – это числовая мера, характеризующая интенсивность работы рулей при наличии возмущения.

Такая мера связывается с передаточнойфункцией Fd δ ( z , F ) от возмущения к отклонению рулей, которая, в соответствиис (2.1.21) может быть записана в видеFd δ = Fd δ ( z , F ) = H ε ( z )[ P1 ( z ) + P2 ( z ) F ( z )( z − 1)] .При этом качество фильтрации можно оценить величиной22P1 (e jω ) + P2 (e jω ) F (e jω )(e jω − 1)P1 ( z ) + P2 ( z ) F ( z )( z − 1)=J c ( F ) = sup,P1 ( z ) Sα ( z )P1 (e jω ) Sα (e jω )ω∈[ 0,π ]∞где S α ( z ) = N a ( z ) / Ta ( z ) – заданный весовой множитель, причем N a и Ta – шуровские полиномы, deg N a ≤ deg Ta .Смысл функционала J c (F ) состоит в том, что чем меньше его значение, темв большей мере выполняется неравенство22H ε (e jω )( P1 (e jω ) + P2 (e jω ) F (e jω )(e jω − 1)) < H ε (e jω ) P1 (e jω ) S α (e jω ) , ∀ω ∈ [0, π] ,определяющее нахождение амплитудно-частотной характеристики замкнутой80системы в пределах заданного частотного ограничения.Второй функционал, вводимый формулой2J m ( F ) = sup F (e jω ) = F ( z ) ∞ ,2ω∈[ 0, π ]определяет качество динамики замкнутой системы при действии на нее ступенча~~того возмущения d 0 = {d 0 [k ]} , d 0 [k ] = d ⋅1[k ] , где d = const – заданная постоянная.

С учетом условия астатизма по выходу y , для соответствующей переходнойхарактеристики y0 [k ] замкнутой системы можно показать справедливость соотношенияym = max y02 [k ] ≤ ymo + hJ m ( F ) .k ∈[ 0, ∞ )Здесь h = const однозначно определяется исходными данными, ym 0 – максимумквадрата переходной характеристики при выключенном фильтре.Очевидно, что настройка фильтра должна одновременно обеспечиватьуменьшение обоих характеристик, что отразим введением единого функционаласвертки P1 (e jω ) + P2 (e jω ) F (e jω )(e jω − 1) 2jω 2J ( F ) = sup qF(e)+,jωjωP(e)S(e)ω∈[ 0,π ] 1αгде q ≥ 0 – весовой множитель.Роль этого множителя состоит в том, что при условии q → 0 основное внимание уделяется частотным свойствам с отказом от контроля над максимумомпереходной характеристики.

Наоборот, при условии q → ∞ теряется контрольнад частотными свойствами, и J m ( F ) → 0 , т.е. фильтр выключается и переменнаяym стремится к величине ym 0 .В соответствии с содержательной стороной проблемы, предлагаемая формализация задачи о построении дискретного фильтра морского волнения в данной ситуации имеет вид J ( F ) → min . Здесь RH ∞ – множество правильных раF ∈RH ∞циональных дробей с полюсами внутри единичного круга.81Поставленная задача минимизации функционала J (F ) при фиксированномзначении множителя q является типичной задачей оптимизации в пространствеRH ∞ [104], [112], поскольку ее можно представить в виде2J ( F ) = sup Γ(e jω , F ) = Γ( z , F ) ∞ → min ,2F∈RH ∞ω∈[ 0 ,π ](2.4.1)2P1 (e jω ) + P2 (e jω ) F (e jω )(e jω − 1)jω 2Γ (e , F ) ≡+qF(e) .P1 (e jω ) S α (e jω )2jωгде(2.4.2)Для решения задачи (2.4.1) средствами H-теории оптимизации [104], трансформируем ее к задаче о поиске такой рациональной дроби F ( z ) ∈ RH ∞ , котораяобеспечивает выполнение неравенства2Γ( z , F ) ∞ ≤ γ ,(2.4.3)где γ > 0 – заданное число.

Очевидно, что минимальное значение γ , при которомнеравенство (2.4.3) выполнимо, есть решение задачи (2.4.1).Для рассмотрения задачи (2.4.3) введем следующие вспомогательные дробно-рациональные функции:Q1 ( z ) =1T ( z)P ( z )( z − 1) Ta ( z ) A( z )( z − 1)= a, Q2 ( z ) = 2=⋅.Sa ( z) N a ( z)P1 ( z ) S a ( z ) N a ( z )H a ( z)(2.4.4)Здесь H a ( z ) = ∆1 ( z ) , A( z ) = ∆ 2 ( z ) – числители дробно-рациональных функцийP1 ( z ) =∆1 ( z )∆ ( z), P2 ( z ) = 2, причем полиномы ∆1 ( z ) , ∆ 2 ( z ) и ∆ (z ) определяются∆( z )∆( z )по формулам (2.1.16), (2.1.17).С использованием функций Q1 и Q2 в соответствии с (2.4.2) имеемΓ( F ) Γ ( F ) ≡ (Q1 + Q2 F )(Q1 + Q2 F ) + qFF ,(2.4.5)где использована нотация D = D ( z ) = D ( z −1 ) .Л е м м а 2 . 1 .

Существуют такие дробно-рациональные функции L1 ( z ) ,L2 ( z ) с полюсами внутри единичного круга и такая дробно-рациональная функция L3 ( z ) без полюсов на единичной окружности, что функция Γ( z , F ) удовлетворяет тождеству82Γ( F ) Γ ( F ) ≡ ( L1 + L2 F )( L1 + L2 F ) + L3 .(2.4.6)Доказательство. Из (2.4.5) и (2.4.6) имеемΓ( F ) Γ ( F ) ≡ Q1Q1 + Q1Q2 F + Q1Q2 F + Q2Q2 FF + qFF ≡≡ L1 L1 + L1 L2 F + L1 L2 F + L2 L2 FF + L3 ,откуда следуетQ2Q2 + q ≡ L2 L2 , Q1Q2 ≡ L1 L2 , Q1Q1 ≡ L1L1 + L3 .(2.4.7)Для первого тождества в (2.4.7) согласно (2.4.4) получаемAA TaTa ( z − 1)( z −1 − 1) + qN a N a H a H aGG≡,L2 L2 ≡Na Na H a H aNa Na H a H a(2.4.8)где G ( z ) – полином со всеми корнями (будем считать, что все они простые) внутри единичного круга, являющийся результатом факторизацииGG ≡ AA TaTa ( z − 1)( z −1 − 1) + qN a N a H a H a .(2.4.9)На основании (2.4.8) и (2.4.9) принимаемL2 ( z ) =G ( z).N a ( z)H a ( z)(2.4.10)Из второго тождества в (2.4.7) имеем L1 = Q1Q2 / L2 , откуда следуетTa ( z )Ta ( z ) A ( z )( z −1 − 1).L1 ( z ) =N a ( z )G ( z )(2.4.11)И, наконец, третье тождество в (2.4.7) с учетом предшествующих построений дает выражение L3 = Q1Q1 − L1 L1 , откуда имеемL3 ( z ) =qH a ( z ) H a ( z )Ta ( z )Ta ( z ).G ( z )G ( z )(2.4.12)Полученные выражения (2.4.10) – (2.4.12) доказывают лемму.

■Лемма позволяет трансформировать задачу к эквивалентному виду: нужнонайти такую функцию F ( z ) ∈ RH ∞ , чтобы выполнилось условие2J ( F ) = Γ( z , F ) ∞ = sup [ L1 (e jω ) + L2 (e jω ) F (e jω ) + L3 (e jω )] ≤ γ . (2.4.13)2ω∈[ 0, π ]Для решения задачи (2.4.13) введем в рассмотрение вспомогательное число83J g для функционала J (F ) :2H a (e jω )Ta (e jω )J g = sup L3 (e ) = sup q.G (e jω )ω∈[ 0 ,π ]ω∈[ 0,π ]jω(2.4.14)О п р е д е л е н и е 2 . 2 . Будем говорить, что в задаче (2.4.13) имеет месторегулярная ситуация, если для любых функций F ( z ) ∈ RH ∞ выполняется условиеJ ( F ) > J g . Если же найдутся такие функции F ( z ) ∈ RH ∞ , что J ( F ) = J g , ситуацию будем называть вырожденной.Метод решения задачи (2.4.13) определяется утверждением:Т е о р е м а 2 .

4 . В регулярной ситуации задача (2.4.13) об ограничениинормы H ∞ передаточной функции Γ( z , F ) сводится к задаче о поиске такойфункции( L1 + L2 F )P ∞2 ≤ 1 , где P( z ) ∈ RH ∞ –F ( z ) ∈ RH ∞ , для котороймножитель, однозначно определяемый начальными данными.Доказательство. Введём обозначение γ = ε + J g , где ε > 0 – некотороевещественное число достаточно большое для того, чтобы нашлись функцииF ( z ) ∈ RH ∞ , обеспечивающие выполнение неравенства (2.4.13), которое с очевидностью можно записать в эквивалентной форме2L1 (e jω ) + L2 (e jω ) F (e jω ) ≤ γ − L3 (e jω ) ∀ω ∈ [0, π] .(2.4.15)Поскольку γ > J g , согласно (2.4.15) имеет место неравенство γ − L3 (e jω ) > 0 ,∀ω ∈ [0, π] .

Тогда существует такая дробь Lγ (z ) , что2Lγ (e jω ) = γ − L3 (e jω ) , ∀ω ∈ [0, π] ,(2.4.16)и эта дробь удовлетворяет тождествуLγ ( z ) Lγ ( z −1 ) ≡ γ −R ( z)qH a ( z ) H a ( z )Ta ( z )Ta ( z ), т.е. Lγ ( z ) ≡ γ,G ( z )G ( z )G( z)(2.4.17)где полином Rγ (z ) , имеющий все корни внутри единичного круга, определяется врезультате факторизации84Rγ ( z ) Rγ ( z ) ≡ γG ( z )G ( z ) − qH a ( z ) H a ( z )Ta ( z )Ta ( z ) .(2.4.18)Подставляя (2.4.16) с учётом (2.4.17) в (2.4.15), получим следующее соотношение, которое должно выполняться для любой частоты ω ∈ [0, π] :jω 2L1 (e jω ) + L2 (e jω ) F (e ) ≤Rγ (e jω )G (e jω )2.Это соотношение можно представить в эквивалентной форме( L1 + L2 F )P ∞2 ≤ 1 , где P = P( z, γ ) ≡G( z),Rγ ( z )(2.4.19)что и доказывает теорему.

Характеристики

Список файлов диссертации