Диссертация (1145289), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Будем также говорить, что при этомсистема управления движением функционирует в режиме «экономичный».Вначале рассмотрим математическую постановку задачи об оптимальнойкомпенсации морского волнения или о достижении максимальной точности стабилизации, которая выглядит следующим образом:J y (F ) → min , J y 0 = min J y (F ) , F0 y ( z ) = arg min J y (F) .F∈Ω F 1F∈Ω F 1F∈Ω F 1(2.1.25)Здесь число J y 0 задает предельную точность стабилизации в указанном смысле, а58оптимальная передаточная матрица F0 y ( z ) , будучи реализована с помощью корректирующего устройства, определит его работу в режиме оптимального дина-мического компенсатора.Заметим, что поставленная задача (2.1.25) существенно отличается от соответствующих традиционных задач среднеквадратичного синтеза (или от задачоптимизации по нормам пространств H 2 и H ∞ ). Дело в том, что передаточнаяматрица от входа y к выходу u обратной связи (2.1.2), (2.1.3) не полностью определяется выбором матрицы F ( z ) .

Действительно, указанная задача решается намножестве регуляторов с частично фиксированной структурой, что не укладывается в рамки известной теории.Теперь обратимся к задаче об оптимальной фильтрации или о достижениимаксимальной экономичности процесса, которая формулируется следующим образом:J δ (F ) → min , J δ0 = min J δ (F ) , F0δ ( z ) = arg min J δ (F) .F∈Ω FF∈Ω FF∈Ω F(2.1.26)При этом число J δ0 определит предельную экономичность стабилизации в указанном смысле, а оптимальная передаточная матрица F0δ ( z ) , будучи реализованас помощью корректирующего устройства, определит его работу в режиме опти-мального динамического фильтра.Задача (2.1.26) существенно отличается от фильтрации по Винеру или поКалману, поскольку изначально ориентирована на многоцелевую оптимизацию сучетом дополнительных требований и ограничений.Отмеченные особенности требуют разработки специализированных аналитических и вычислительных методов решения задач (2.1.25) и (2.1.26). Методыдолжны быть достаточно эффективными для применения на борту в режиме реального времени.

Это позволит осуществлять адаптивную перенастройку динамического корректора с изменением скорости хода и частоты морского волнения.592.2. Динамическая коррекция для регулярного волненияРассмотрим простейшую ситуацию, связанную с решением задач (2.1.25) и(2.1.26) для системы управления судном в условиях регулярного волнения.

Этоволнение представляется векторным гармоническим колебанием d = d s = {d s [k ]} сзаданной частотой ω0 , где d s [k ] = d s 0 sin ω0 k .В данном варианте рассмотрим задачу синтеза корректора, которую можнотрактовать либо как грубое приближение к решению в условиях реального волнения, либо как вспомогательное средство для синтеза среднеквадратичных (илиH -квазиоптимальных) фильтров. Её существо состоит в том, чтобы выбором передаточной матрицы корректора обеспечить заданные комплексные компонентыпередаточной матрицы канала управления в точке z = e jω0 , где ω0 – заданная частота волнения.Для формулировки основного утверждения, обосновывающего решение задачи, рассмотрим блок-схему замкнутой системы управления (2.1.1)÷(2.1.3),представленную на рис.

2.2.1.d(t)δОбъектуправленияδyyОсновнаячастьζξКорректир.устр-воКанал исполнительных органовРис. 2.2.1. Блок-схема замкнутой системы.В соответствии с этой схемой можно говорить о том, что объект управленияс математической моделью60x[k + 1] = Ax[k ] + Bδ[k ] + Hd[k ],y[k ] = Сx[k ]замыкается обратной связью в виде DLTI-системы, представленной каналом исполнительных органов. В состав этого канала включены привод и регулятор(2.1.2), (2.1.3). Его входом служит вектор измерения y , а выходом – вектор δ отклонения рулей.Заметим, что DLTI-система, моделирующая указанный канал, может трактоваться как система с локальной обратной связью, реализуемой через коррек-тор.

Для этой системы объектом управления служит основная часть канала, математическая модель которой задается уравнениями:δ[k + 1] = δ[k ] + Tu[k ],z[k + 1] = Az[k ] + Bδ[k ] + G (y[k ] − Cz[k ]),u[k ] = μ (z[k + 1] − z[k ]) + ν y[k ] + ξ[k ].Эти уравнения можно переписать в эквивалентном видеz[k + 1] = Az[k ] + Bδ[k ] + G (y[k ] − Cz[k ]),δ[k + 1] = T Kz[k ] + (TK 0 + E m )δ[k ] + Tνy[k ] + Tξ[k ],(2.2.1)где K = μ ( A − GC − E) , K 0 = μ B , ν = μG + ν .В соответствии с приведенной схемой на вход основной части канала пода-(ется вектор y T)Tξ T . Добавим к уравнениям состояния (2.2.1) уравнения выхо-(да, считая выходным вектором δ TζT)T, где ζ = y − Cz . Тогда модель простран-ства состояний основной DLTI-части, имеет видB z[k ]   G 0 n× m  y[k ]  z[k + 1]   A − GC =  + ,+TTKKEνETT+δ[1]δ[]ξ[k]kk  0m m  δ   0 m× n E m  z[k ]   0 m×ρ 0 m× m  y[k ]   = . δ[k ]  +  EC00−ζρ× m ρ× m  ξ[ k ]     ρ(2.2.2)Математическая модель (2.2.2) может быть представлена в частотной области с помощью уравнения «вход-выход»:61δ y   T ( z ) T12 ( z )  y   ,  = T( z )  =  11ζ ξ   T21 ( z ) T22 ( z )  ξ (2.2.3)где T(z ) – передаточная матрица основной части канала:B 0 m× n E m  A − GC E n + m z −  T( z ) = −C0KKE+TTρ× m 0m  0 m ×ρ 0 m× m .+ E0ρρ×m−1 G 0 n× m  +νETTmРассматривая DLTI-систему (2.2.3) как локальный объект управления,замкнем ее корректирующим устройством как локальным регулятором, получаяуравнения замкнутой системы в виде δ   T11 ( z ) T12 ( z )  y  , = ζ   T21 ( z ) T22 ( z )  ξ ξ = F ( z )ζ.(2.2.4)Введём обозначение Fyδ ( z , F ) для передаточной матрицы локальной замкнутой системы (2.2.4) от входа y к выходу δ .

При этом справедливо следующеебазовое утверждение:Т е о р е м а 2.1. Если выполняются условияdet T21 (e jω0 ) ≠ 0,det{T12 (ej ω0) + [R − T11 (ejω0}≠ 0,−1)]T21(e jω0 )T22 (e jω0 )(2.2.5)то на множестве Ω матриц размера m × ρ со строго правильными дробнорациональными компонентами, имеющими шуровские знаменатели, найдётсятакая передаточная матрица F (z ) корректора, для которой справедливо равенствоFyδ (e jω0 , F ) = R ,(2.2.6)где ω0 – заданная частота, а R – заданная матрица размера m × ρ с постоянными комплексными компонентами.Доказательство.

Прежде всего, получим выражение для передаточной62матрицы Fyδ ( z , F ) замкнутой системы в явной зависимости от матрицы F (z ) корректора. Для этого запишем уравнения (2.2.4) в видеδ = T11y + T12 Fζ,ζ = T21y + T22 Fζ,что даёт ζ = (E m − T22 F ) −1 T21y , δ = [T11 + T12 F (E m − T22 F) −1 T21 ]y . Следовательно,искомая матрица представляется формулойFyδ ( z , F ) = [T11 ( z ) + T12 ( z )F( z )(E m − T22 ( z )F ( z )) −1 T21 ( z )] .(2.2.7)С учётом (2.2.7), сформируем уравнение (2.2.6) относительно неизвестнойматрицы F (e jω0 ) . Опуская зависимость от e jω0 , имеемT11 + T12F (E m − T22F) −1 T21 = R .(2.2.8)Поскольку матрица T21 (e jω0 ) не особая, равенство (2.2.8) даёт−1(E m − T22F ) ,T12F = (R − T11 )T21−1−1T22 ] F = (R − T11 )T21.откуда следует [T12 + (R − T11 )T21Поскольку по условию теоремы имеют место соотношения (2.2.5), из последнего равенства получаем{}−1F (e jω0 ) = T12 (e jω0 ) + [R − T11 (e jω0 )]T21(e jω0 )T22 (e jω0 )−1× [R − T11 (e jω0 )]T21(e jω0 ).−1×(2.2.9)Формула (2.2.9) определяет необходимое и достаточное условие, которомудолжна удовлетворять любая матрица F (z ) динамического корректора, котораяобеспечивает выполнение равенства (2.2.6).Теперь покажем, что на множестве Ω найдётся такая матрица, котораяудовлетворяет условию (2.2.9).

С этой целью зададим произвольную шуровскуюматрицу α размера n1 × n1 в канонической форме Фробениуса, где n1 ≥ 2 . Введёмв рассмотрение передаточную матрицу F p ( z ) ≡ γ (E n1 z − α ) −1 β DLTI-системыp[k + 1] = αp[k ] + βζ[k ],ξ[k ] = γp[k ],(2.2.10)63с вектором состояния p ∈ E n1 . Легко убедиться в том, что компонента с индексами µ и ν этой матрицы является рациональной дробьюFpµν ( z )ε µν ( z ) µνn1 −1, ε ( z ) = ε µν+ ...

+ ε1µν z + ε µν=0 ,n1 −1 zα p ( z)(2.2.11)где α p ( z ) = det(E n1 z − α ) , ε µν ( z ) = [α p ( z ) γ (E n1 z − α ) −1 β ] , µ = 1, m , ν = 1, ρ .µνВведём обозначение mµν = F µν (e jω0 ) для компоненты с индексами µ и νматрицы M = F (e jω0 ) , заданной формулой (2.2.9). Очевидно, что даже в простейшем случае n1 = 2 условие Fp (e jω0 ) = M будет выполнено, если для любых µ и νсправедливы равенстваjω0ε1µν e jω0 + ε µν),0 = mµν α p (eкоторые можно всегда однозначно обеспечить выбором[= Re [m])] − Im [mε1µν = Im mµν α p (e jω0 ) / sin ω0 ,ε µν0jω0µν α p (ejω0)µν α p (eω] cossin ω0.(2.2.12)0Теперь покажем, что существуют такие вещественные векторы строкиγ µ = (γ µ1β γ µ 2 ) и векторы столбцы β ν =  ν1  , из которых состоят матрицы γ и β βν 2 соответственно, что для простейшего случая n1 = 2 задания системы (2.2.10) выполняется тождествоε µν ( z ) = [α p ( z ) γ (E n1 z − α ) −1 β ]µν= γ µ B ν ( z ) ≡ ε1µν z + ε µν0−1для любых вещественных чисел ε1µν и ε µν0 , B ν ( z ) = α p ( z )(E n1 z − α ) β ν .Действительно, выбранная матрица α в данном случае имеет вид 0α =  − α01 ,− α1 где α 0 и α1 – положительные вещественные числа.

С помощью формул Крамералегко показать, что64 B ( z) B ν ( z ) =  ν1  , где Bν1 ( z ) = β ν1 z + β ν1α1 + β ν 2 , Bν 2 ( z ) Bν 2 ( z ) = β ν 2 z − β ν1α 0 .Тогда имеемε µν ( z ) = γ µ1 Bν1 ( z ) + γ µ 2 Bν 2 ( z ) == ( γ µ1βν1 + γ µ 2β ν 2 ) z + γ µ1β ν 2 + ( γ µ1α1 − γ µ 2 α 0 )β ν1 ≡ ε1µν z + ε µν0 ,откуда следует линейная система для нахождения чисел βν1 , βν 2 :γ µ1γ α − γ α µ1 1 µ 2 0γ µ 2  βν1   ε1µν  =   .γ µ1  βν 2   εµν0 (2.2.13)Определитель этой системы ∆ µν = γ µ21 − γ µ 2 ( γ µ1α1 − γ µ 2α 0 ) с очевидностью можетбыть сделан ненулевым выбором γ µ1 = 1 , γ µ 2 = 0 .

Характеристики

Список файлов диссертации