Диссертация (1145289), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

■Следствие из теоремы 2.2. Для одновременного обеспечения астатизмазамкнутой системы по вектору y и настройки корректора на заданную часто-71ту необходимо, чтобы размерность n1 вектора состояния динамического корректора удовлетворяла условию n1 ≥ 3m .Доказательство. Непосредственно следует из условия совместности систе-мы (2.2.28). ■2.3. Практическое применение метода коррекциидля регулярного волненияПодход к синтезу корректоров для гармонического воздействия, представляющего волнение моря с заданной частотой, разработанный в предшествующемподразделе, позволяет ставить вопрос о его непосредственном применении длянастройки системы управления на борту.Существо вопроса состоит в том, что, прежде всего, в зависимости от решения судоводителя, выбирается режим движения судна: «экономичный» или «точный».

Затем осуществляется оценка частоты ω0 волнения в ручном или в автоматическом режиме. И, наконец, реализуется алгоритм синтеза динамического корректора в варианте фильтра или компенсатора, обеспечивающий решение задач(2.1.26) или (2.1.25) соответственно.Следует особо отметить, что для решения этих задач может быть примененединый алгоритм, базирующийся на теореме 2.2.

Его формирование для задачифильтрации (2.1.26) на базе теоремы 2.2 представляется очевидным. Что же касается задачи компенсации (2.1.25), то здесь необходимо провести определенныепредварительные рассуждения.Для введенной выше моделиx[k + 1] = Ax[k ] + Bδ[k ] + Hd[k ],y[k ] = Сx[k ](2.3.1)судна будем рассматривать отклонения δ рулей в качестве управления. Как и ранее будем считать, что возмущение представляется векторным гармоническимколебанием d = d s = {d s [k ]} с заданной частотой ω0 , то есть d s [k ] = d s 0 sin ω0 k .Введем в рассмотрение обратную связь72δ = W(z )y(2.3.2)и на движениях замкнутой системы (2.3.1), (2.3.2) зададим функционалы1J y = J y ( W) = y y = limN →∞ NT1J δ = J δ ( W ) = δ δ = limN →∞ NTN∑yTk =0N∑δTk =01[k ]y[k ] = A Ty A y ,2(2.3.3)1[k ]δ[k ] = A δT A δ2(2.3.4)точности и интенсивности управления соответственно.

Здесь A y и A δ – векторыамплитуд измеряемых и управляющих переменных.Поставим вопрос о максимизации точности управленияJ y ( W) → min ,(2.3.5)J δ ( W) ≤ δ z > 0(2.3.6)Ω δ0 = {W ∈ Ω0 : J δ (F) ≤ δ z } ,(2.3.7)W∈Ω δ 0с учетом ограниченияна его интенсивность. Здесьгде Ω 0 – это множество m × ρ -матриц W , имеющих дробно-рациональные компоненты такие, что характеристический полином замкнутой системы (2.3.1),(2.3.2) является шуровским.Известно, что поставленный вопрос сводится к решению задачиJ a ( W) → min , J 0 = min J a ( W) , W0 ( z ) = arg min J a ( W) ,W∈Ω 0W∈Ω 0W∈Ω 0(2.3.8)где минимизируемый функционал определяется как линейная сверткаJ a ( W ) = J y ( W) + λ2a J δ ( W) ,(2.3.9)λ2a – заданное вещественное число. Это число однозначно соответствует значению δ z в ограничении (2.3.6).Очень важно, что, как отмечено в работах [7, 16, 26, 60, 167], решение задачи (2.3.8) не является единственным.

Более того, доказано, что величина J 0 совпадает с минимумом J a 0 функционала (2.3.9), достигаемым при решении вспомогательной задачи73J a ( W) → min , J a 0 = min J a ( W) , Wa 0 ( z ) = arg min J a ( W) ,W∈Ω aW∈Ω aW∈Ω a(2.3.10)где Ω a ⊃ Ω 0 – множество матриц W с размером m × ρ , имеющих любые дробнорациональные компоненты. Отметим, что в работе [16] соотношения (2.3.10)трактуются как задача о поиске абсолютного минимума среднеквадратичногофункционала (2.3.9).По аналогии с работами [16, 26, 167] для нее нетрудно получить аналитическое решение, т.е. найти величину J a 0 , а также передаточную матрицу Wa 0 ( z )регулятора абсолютного минимума.

Доказано, он не является реализуемым, поскольку не обеспечивает устойчивость замкнутой системы. Однако в рассматриваемой ситуации с гармоническим возмущением величина J a 0 достигается спомощью любого регулятора (2.3.2) из множества Ω 0 , для которого справедливоравенство W(e jω0 ) = Wa 0 (e jω0 ) .Таким образом, для задачи (2.3.8) имеют место соотношенияJ 0 = J a ( W0 ) = J a 0 , ∀W0 ∈ Ω 0 , если W0 (e jω0 ) = Wa 0 (e jω0 ) .(2.3.11)В частности, в качестве этого регулятора может быть принят канал исполнительных органов, представленный в подразделе 2.2. Его модель состоит изуравнений привода и многоцелевого закона управления:δ[k + 1] = δ[k ] + Tu[k ],z[k + 1] = Az[k ] + Bδ[k ] + G (y[k ] − Cz[k ]),u[k ] = μ (z[k + 1] − z[k ]) + ν y[k ] + ξ[k ],ξ[k ] = F( z )(y[k ] − Cz[k ]),(2.3.12)что, согласно (2.2.3), может быть представлено в эквивалентном виде δ   T11 ( z ) T12 ( z )  y  , = ζ   T21 ( z ) T22 ( z )  ξ ξ = F ( z )ζ,(2.3.13)Как было показано выше, регулятор (2.3.13) имеет передаточную матрицуW( z ) = Fyδ ( z , F) , гдеFyδ ( z , F) = [T11 ( z ) + T12 ( z )F ( z )(E m − T22 ( z )F ( z )) −1 T21 ( z )] .(2.3.14)74Как и ранее, будем считать, что для обратной связи (2.3.12) G – заданнаяматрица коэффициентов, которая обеспечивает устойчивость матрицы A − GC ; μи ν – заданные коэффициенты базового скоростного закона управленияu[k ] = μ (x[k + 1] − x[k ]) + ν y[k ],B AA c = TKTK+E0mобеспечивающиеустойчивостьбазовой замкнутой системы, гдематрицыK = μ ( A − E) + νС ,K 0 = μB .Тогда, если матрица F (z ) является шуровской, то замкнутая система (2.3.1),(2.3.12) будет устойчивой, т.е.

W( z ) = Fyδ ( z , F ) ∈ Ω 0 . Но если при этом в соответствии с теоремой 2.2 обеспечено выполнение условий W(e jω0 ) = Fyδ (e jω0 , F ) = R ,где R = Wa 0 (e jω0 ) , а также F (1) = 0 m×ρ , то обратная связь (2.3.12) будет решениемзадачи (2.3.8) с дополнительным обеспечением астатизма по переменной y .Итак, указанный выбор передаточной матрицы F (z ) корректора ведет крешению задачи (2.1.25) синтеза оптимального компенсатора.Подводя итог проведенным рассуждениям, сформулируем утверждение, набазе которого легко построить вычислительную схему решения задач (2.1.25) и(2.1.26) синтеза цифрового динамического корректора.Т е о р е м а 2.3. Пусть выполняются условияdet T21 (e jω0 ) ≠ 0,−1det{T12 (e jω0 ) + [R − T11 (e jω0 )]T21(e jω0 )T22 (e jω0 )} ≠ 0в случаях R = 0 и R = Wa 0 (e jω0 ) , а также равенство rank ν = ρ для матрицы ν вуравнении управляющего сигнала.

Тогда существуют решения задач (2.1.25) и(2.1.26) оптимальной компенсации и фильтрации для регулярного волнения. Первое из них определяется настройкой динамического корректора на частоту волнения ω0 с обеспечением равенстваFyδ (e jω0 , F ) = R ,(2.3.15)75где R = Wa 0 (e jω0 ) , а второе – с обеспечением (2.3.15) при условии R = 0 .Доказательство.

Справедливость утверждения для задачи (2.1.26) очевидна, поскольку при настройке с условием R = 0 в силу теоремы 2.2 достигаетсяточная нулевая нижняя граница J δ (F) на множестве Ω F .Что касается задачи (2.1.25), то настройка динамического корректора на заданную частоту при условии R = Wa 0 (e jω0 ) , которую гарантирует теорема 2.2 сдополнительным обеспечением астатизма, ведет к решению вспомогательных задач (2.3.10), (2.3.8) и (2.3.5), откуда и следует оптимальность по отношению кфункционалу J y (F ) на множестве Ω F 1 . ■Теорема 2.3 с очевидностью позволяет построить единый алгоритм решения задач (2.1.25) и (2.1.26) для регулярного волнения. Это определяется конструктивностью доказательства теоремы 2.2.Как и ранее, в качестве исходных данных принимаются частота волненияω0 , матрицы A , B и C объекта управления (2.3.1), а также матрицы G , μ и νмногоцелевого закона управления в (2.3.12).Алгоритм 2.3.1.

Поиск решений задач (2.1.25) и (2.1.26).1. Найти решение Wa 0 ( z ) вспомогательной задачи (2.3.10) с учетом заданных ограничений (2.3.6) на интенсивность управления.2. Выбрать режим движения: экономичный или точный. В первом случаепринять R = 0 , а во втором – R = Wa 0 (e jω0 ) .3. Выбрать любое натуральное число nβ ≥ 3 и определить размерность вектора состояния корректора равенством n1 = mnβ , задавая при этом произвольныеполиномы Φ µ ( z ) = znβ+ α µnβ −1 znβ −1+ ... + α1µ z + α µ0 , µ = 1, m , имеющие корни в от-крытом единичном круге.4. Сформировать матрицы α µ в форме Фробениуса76 0 0α µ =  ... 0 − αµ 010...0− α1µ01...0− α µ2...0 ...0 ......  , µ = 1, m...1 ...

− αµnβ −1 для каждого из заданных полиномов Φ µ (z ) . Построить матрицы(hµ1 ( z ))hµ 2 ( z ) ... hµnβ ( z ) ≡ γ 0 (E nβ z − α µ ) −1 , µ = 1, m , где γ 0 = (0 1 0 ... 0 ) .5. Найти вспомогательные векторы-строки с комплексными компонентами(h µ = hµ 2 (e jω0 ) hµ3 (e jω0 ) ... hµnβ (e jω0 ))и построить вещественные матрицы Re(h µ )  размером 2 × (nβ − 1) .A hµ =  Im(h µ ) 6. Решить mρ систем линейных уравнений (2.2.28) относительно неизвестных ( nβ − 1 )-мерных векторов-столбцов βµν .7. Записать уравнения динамического корректора в виде (2.2.17) с матрицами (2.2.18), где векторы β µν определяются равенствами (2.2.24), µ = 1, m , ν = 1, ρ .Отметим, что приведенный алгоритм не содержит операций, выполняемыхитеративно по схеме последовательных приближений.

Это позволяет легко построить программное обеспечение для реализации расчетов с адаптивной настройкой на борту.Замечание 1. В теореме 2.2 и в сформированном на ее основе алгоритме2.3.1 предполагается, что элементы передаточной матрицы F (z ) динамическогокорректора являются строго правильными дробями. Однако это требование можно ослабить, допуская только их правильность, что приводит к модели корректора в пространстве состояний видаp[k + 1] = αp[k ] + βζ[k ],ξ[k ] = γp[k ] + εζ[k ],вместо уравнений (2.2.17). При этом для степени nβ полиномов Φ µ (z ) должно77выполняться менее строгое условие nβ ≥ 2 , что позволяет снизить минимальнуюразмерность вектора состояния фильтра.

Соответствующее изменение формулдля расчета в этом случае не вызывает особого труда.Замечание 2. Теоремы 2.1 и 2.2 могут быть с очевидностью расширены дляодновременной настройки не на одну частоту ω0 , а на конечное число N частот,доминирующих в составе спектра морского волнения. Для такой настройки степень nβ полиномов Φ µ (z ) должна быть увеличена в N раз, т.е. ее минимальнаявеличина составляет 2 N .Замечание 3.

Характеристики

Список файлов диссертации