Диссертация (1145289), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Тогда при любых α1 , α 0 , ε1µν ,εµν0 система (2.2.13) имеет вещественное решение β ν1 , β ν 2 .В результате показано, что при выборе n1 = 2 всегда найдётся такая шуровская DLTI-система (2.2.10), что её передаточная матрица F p ( z ) ≡ γ (E n1 z − α ) −1 βудовлетворяет условию F p (e jω0 ) = F(e jω0 ) , а, следовательно, она может быть принята в качестве динамического корректора, обеспечивающего выполнение равенства (2.2.6).Очевидно, что в случае n1 > 2 это утверждение тем более справедливо.

Таким образом, теорема доказана полностью. ■Конструктивность доказательства теоремы 2.1 позволяет сформировать алгоритм решения рассматриваемой здесь простейшей задачи динамической коррекции. В качестве исходных данных принимаются матрицы A , B , C , G , μ , νмногоцелевого закона управления и матрица R , определяющая желаемые частотные свойства канала на заданной частоте ω0 .65Алгоритм 2.2.1. Синтез динамического корректора для заданнойчастоты волнения.1.

Построить числовые матрицы K = μ ( A − GC − E) , K 0 = μ B , ν = μG + ν исформировать передаточную матрицу T(z ) локального объекта управления в канале исполнительных органов в соответствии с (2.2.3), разбивая её на блоки T11 ,T12 , T21 , T22 с размерностями m × ρ , m × m , ρ × ρ и ρ × m соответственно.2. Если выполняются условия (2.2.5), определить передаточную матрицуискомого корректирующего устройства в точке z = e jω0 :−1M = F (e jω0 ) = {T12 (e jω0 ) + [R − T11 (e jω0 )]T21(e jω0 )T22 (e jω0 )} ×−1−1× [R − T11 (e jω0 )]T21(e jω0 ).3. Выбрать размерность n1 ≥ 2 вектора состояния корректора и задать произвольный шуровский полиномα p ( z ) = z n + α n −1 z n −1 + ... + α1 z + α 0 .1114.

По формуле f µν = ε µν (e jω0 ) = mµν α p (e jω0 ) , где mµν – µν -я компонентаматрицыFpµν ( z )M,ε µν ( z )=α p ( z)z = e jω 0 .µ = 1, m ,ν = 1, ρ , найти значения числителей компонентовпередаточной матрицы динамического корректора в точкеВыбратьлюбыеполиномыстепенейнеболееn1 − 1n1 −1ε µν ( z ) = ε µν+ ... + ε1µν z + ε µν0 с вещественными коэффициентами такие, чтобыn1 −1 zвыполнялись равенства εµν (e jω0 ) = f µν , µ = 1, m , ν = 1, ρ . ε µν ( z ) 5.

По найденной передаточной матрице F p ( z ) = построитьα(z) p µ =1, m; ν =1,ρеё минимальную реализацию в форме уравнений (2.2.10) пространства состоянийсоответствующей DLTI системы, которые и принять в качестве математическоймодели динамического корректора.Итак, теорема 2.1 и основанный на ней алгоритм обеспечивает выполнение66равенства (2.2.6) для заданной частоты ω0 и заданной матрицы R размера m × ρ .Это делается соответствующим выбором передаточной матрицы корректора намножестве Ω .Однако задачи синтеза (2.1.25) и (2.1.26) должны решаться на множествеΩ F , дополнительно учитывающем требование астатизма по измеряемому и регулируемому вектору y .Как показано в работе [25], если динамический корректор, входящий в состав многоцелевой структуры, не подключен к закону управления, т.е.

еслиуправляющий сигнал представляется в видеu[k ] = μ (z[k + 1] − z[k ]) + ν y[k ](2.2.14)то для любого постоянного возмущения d[k ] = d 0 ∈ E l при условии rank ν = ρ встатике выполняется равенство y = 0 , что и соответствует астатизму. Если жекорректор включён, то управляющий сигнал имеет видu[k ] = μ (z[k + 1] − z[k ]) + ν y[k ] + F(q )(y[k ] − Cz[k ]) .Тогда для наличия нулевого положения равновесия по вектору y при любом постоянном возмущении d 0 ∈ E l , необходимо и достаточно чтобы выполнялось соотношениеF (1)(y[k ] − Cz[k ]) = 0 .(2.2.15)В свою очередь, необходимым и достаточным условием выполнения(2.2.15) с очевидностью служит равенствоF (1) = 0 m×ρ ,(2.2.16)которому должна удовлетворять передаточная матрица корректора.

Возможностьодновременного выполнения условий (2.2.6) и (2.2.16) определяется следующимутверждением:Т е о р е м а 2.2. Пусть выполняются условия теоремы 2.1 и равенствоrank ν = ρ для матрицы ν в уравнении управляющего сигнала (2.2.14). Тогда намножестве Ω найдётся такая передаточная матрица F (z ) корректора, для67которой справедливо равенство (2.2.6) и которая дополнительно удовлетворяеттребованию (2.2.16), обеспечивающему астатизм замкнутой системы по вектору y .Доказательство. Будем считать, что выполняется требование rank ν = ρ ,для чего необходимо, чтобы количество управлений было не меньше количестваизмерений: m ≥ ρ .Выполним первый и второй шаги алгоритма 2.2.1 и будем считать, что найдена матрица M = F (e jω0 ) для формируемого корректора.Возьмём некоторое натуральное число nβ ≥ 2 и определим размерностьвектора состояния корректора равенством n1 = mnβ , задавая при этом шуровскиеполиномы Φ i ( z ) = znβ+ α inβ −1 znβ −1+ ...

+ α1i z + α i0 , i = 1, m .Введём в рассмотрение уравнения корректора в видеp[k + 1] = αp[k ] + βζ[k ],(2.2.17)ξ[k ] = γp[k ],с вектором состояния p ∈ E n1 и матрицами α1 00 α2α = ... ...0 0... 0  β11 β12... 0  β 21 β 22,β= ......... ... β... α m  m1 β m 2γ = diag{γ 0... β1ρ ... β 2ρ ,... ... ... β mρ (2.2.18)γ 0 K γ 0 }.Здесь все блоки, входящие в состав матрицы α , являются квадратными матрицами размера nβ × nβ , все блоки в составе матрицы β являются nβ -мерными векторами-столбцами, и, наконец, все блоки матрицы γ – это nβ -мерные векторыстроки, причём γ 0 = (0 1 0 ...

0 ) .В качестве блоков α i будем использовать формы Фробениуса68 0 0α i =  ... 0 − αi01001......00− α1i − α i2...0 ...0 ......  , i = 1, m ,...1 ... − αinβ −1 характеристическими полиномами которых служат полиномы Φ i ( z ) .Введём в рассмотрение передаточную матрицу динамического корректора(2.2.17) F p ( z ) ≡ γ (E n1 z − α ) −1 β . Каждая µν -я компонента этой матрицы являетсястрого правильной дробно-рациональной функцией. После приведения к общемузнаменателю получим характеристический полином(m)Φ ( z ) = ∏ Φ i ( z ) , Φ i ( z ) = det E nβ z − α i .i =1(2.2.19)Числитель Fnµν ( z ) µν -й компоненты матрицы F p ( z ) можно получить поформуле Крамера:Fnµν ( z )~= Fnµν ( z )m∏ Φ ( z) ,iµ = 1, m , ν = 1, ρ , где(2.2.20)......

 .−1 ...... z + α µnβ −1 (2.2.21)i =1, i ≠ µ z 0~ µνFn ( z ) = det ... 0 µ α00 ...− 1 ...β µν...0α µ200Итак, передаточная функция корректора от ν -го входа к µ -му выходу сучётом соотношений (2.2.19) – (2.2.21) имеет вид~Fnµν ( z ) Fnµν ( z )µνFp ( z ) ==, µ = 1, m , ν = 1, ρ ,Φ( z )Φ µ ( z)(2.2.22)~где полином Fnµν ( z ) определяется формулой (2.2.21).В соответствии с этой формулой, раскрывая определитель по элементампервой строки, имеем69~~~ µν1Fnµν ( z ) = Fnµν1 ( z ) z + Fn 2 ( z )βµν ,(2.2.23)~~ µν1где Fnµν1 , Fn 2 – полиномы, βµν – первая компонента вектора β µν . Отсюда следует,~~ µνчто если положить β1µν = β1µν* = − Fnµν1 (1) Fn 2 (1) , т.е. если выбирать вектор β µν в видеβ µν β1µν*  , где βµν ∈ E nβ −1 – любой вектор,=β  µν (2.2.24)то передаточная функция Fpµν (z ) корректора (2.2.17) от ν -го входа к µ -му выхо~ду будет удовлетворять условию Fpµν (1) = 0 .

Заметим, что условия Fnµν2 (1) ≠ 0 легко обеспечиваются выбором полиномов Φ i (z ) , i = 1, m .Если же каждый из векторов β µν представляется в виде (2.2.24) для любыхµ = 1, m и ν = 1, ρ , то для динамического корректора (2.2.17) выполняется условие(2.2.16), обеспечивающее астатизм по вектору y . При этом подчеркнём, чтоF p (z ) ∈ Ω , поскольку, в силу (2.2.19), характеристический полином корректораимеет корни только внутри единичного круга.Осталось установить возможность выполнения условия (2.2.6) для рассматриваемого варианта корректора, эквивалентного равенству F p (e jω0 ) = M , котороеможет быть записано в скалярном видеFpµν (e jω0 ) = mµν , µ = 1, m , ν = 1, ρ ,(2.2.25)где mµν – известные компоненты матрицы M .Заметим, что имеет место тождество Fpµν ( z ) ≡ γ 0 (E nβ z − α µ ) −1 β µν , причем()γ 0 (E nβ z − α µ ) −1 ≡ hµ1 ( z ) hµ 2 ( z ) ... hµnβ ( z ) – это nβ -мерная строка с дробнорациональными компонентами, которые могут быть найдены, как элементы передаточной матрицы вспомогательного DLTI объектаe[k + 1] = α µe[k ] + f [k ],q[k ] = γ 0e[k ],(2.2.26)70имеющего nβ входов (вектор f ) и один выход q .Тогда, учитывая равенство (2.2.24), имеемFpµν ( z ) β1µν* == hµ1 ( z ) hµ 2 ( z ) ...

hµnβ ( z ) β  µν ()((2.2.27))= β1µν* hµ1 ( z ) + hµ 2 ( z ) hµ 3 ( z ) ... hµnβ ( z ) βµν .Теперьобозначим(h µ = hµ 2 (e jω0 ) hµ 3 (e jω0 ) ... hµnβ (e jω0 ))–( nβ − 1 )- Re(h µ ) мерный вектор с комплексными компонентами. Обозначим также A hµ = Im(h)µ– вещественная матрица размером 2 × (nβ − 1) .Тогда из (2.2.27) следует, что для обеспечения равенства (2.2.25) необходимо и достаточно выполнения условияA hµ βµν Re(mµν − β1µν* hµ1 (e jω0 )) .= Im(m − β1* h (e jω0 )) µνµν µ1(2.2.28)В силу того, что в системе (2.2.26) γ 0 = (0 1 0 ...

0 ) , а матрица α µ имеетформу Фробениуса нетрудно убедиться в том, что если выполнено требованиеnβ − 1 ≥ 2 ⇒ nβ ≥ 3 , то при любом значении частоты настройки ω0 ∈ (0, ∞) справедливо равенство rank A hµ = 2 .Это значит, что если рассматривать условие (2.2.28) как систему линейныхуравнений по отношению к компонентам вектора βµν , то она всегда будет совместной при выполнении неравенства nβ ≥ 3 . Иными словами, всегда найдутся такие компоненты векторов βµν для любых µ = 1, m , ν = 1, ρ , что будет справедливо(2.2.25), т.е. и условие (2.2.6).Тем самым теорема 2.2 полностью доказана.

Характеристики

Список файлов диссертации