Диссертация (1145289), страница 15
Текст из файла (страница 15)
■Теорема 2.4 позволяет вместо задачи (2.4.13), а, следовательно – и вместо ееисходного варианта (2.4.3), рассматривать эквивалентную задачу о поиске такойфункции F ( z ) ∈ RH ∞ , чтобы выполнялось соотношениеI ( F , γ ) = Z ( z , γ, F ) ∞ ≤ 1,(2.4.20)Z ( z , γ, F ) = P( z , γ )[L1 ( z ) + L2 ( z ) F ( z )] ,(2.4.21)причем рациональная дробь P( z , γ ) однозначно определяется формулами (2.4.19),(2.4.18), (2.4.9) с учетом (2.4.14).Смысл перехода к эквивалентной задаче состоит в том, что вариант (2.4.20)может быть трактован как интерполяционная задача Неванлинны-Пика [104] сизвестной техникой решения. В частности, эта техника определяет условие существования решения задачи фильтрации.Т е о р е м а 2 . 5 . Задача о поиске функции F ( z ) ∈ RH ∞ , удовлетворяющейсоотношению (2.4.20) при условии (2.4.21), имеет решение для таких и толькодля таких величин γ > J g , для которых эрмитова матрица L( γ ) = {lij ( γ )} знакоположительная, lij = (1 − β i β j ) /(1 − 1 / g i g j ) ,Ta ( g i )Ta ( g i ) A ( g i )( g i−1 − 1)βi =, i, j = 1, n1 ,Rγ ( g i ) N a ( g i )(2.4.22)g i – нули функции G (z ) , i = 1, n1 , (далее для простоты считаем, что все они яв-85ляются простыми), n1 = deg G .Доказательство.
Подставляя выражения (2.4.19), (2.4.10) и (2.4.11) в формулу (2.4.21) для построения рациональной дроби Z , получимG ( z ) Ta ( z )Ta ( z ) A ( z )( z −1 − 1)G ( z)F ( z ) ,Z ( z , γ, F ) =+Rγ ( z ) N a ( z )G ( z )N a ( z)H a ( z)(2.4.23)откуда с учетом G ( g i ) = 0 следует, что комплексные числа βi (2.4.22) – это значения функции Z в точках g i , i = 1, n1 , причем g i > 1. Легко видеть, что числа βiне зависят от выбора функции F (z ) – они определяются только исходными данными и величиной γ .Итак, согласно (2.4.23), искомые функции F (z ) должны быть такими, чтобы выполнялись соотношенияZ ( z ) ∞ ≤ 1 , Z ( g i ) = βi , i = 1, n1 ,(2.4.24)которые определяют интерполяционную задачу Неванлинны-Пика.
Необходимым и достаточным условием существования её решения является неотрицательная определённость эрмитовой матрицы Пика L( γ ) = {lij ( γ )} (2.4.22), что и доказывает теорему. ■Значимость теоремы 2.5 состоит не только в выявлении условий выполнимости ограничений, определяющих качество фильтрации. Конструктивность еедоказательства позволяет найти передаточную функцию дискретного фильтра,обеспечивающего эти ограничения. Для осуществления такого поиска заметим,что в силу особенностей задачи (2.4.24), указанных в [104], она имеет не единственное решение, которое в общем случае можно представить в виде:Z ( z) =m1 ( z )~ ( z) ,, m1 ( z ) = εm2n1m2 ( z ) ⋅ z(2.4.25)где ε < 1, m1 и m2 – полиномы, причем все корни m2 ( z ) находятся внутри еди~ ( z ) – обратный полином по отношению к m .ничного круга, а m22Т е о р е м а 2 .
6 . Пусть Z ( z , γ ) =m1 ( z , γ )– это любое решение задачиm2 ( z , γ ) z n186Неванлинны-Пика Z ( z , γ ) ∞ ≤ 1 с исходными даннымиTa ( g i )Ta ( gi ) A ( gi )( gi−1 − 1), i = 1, n1 ,g i , βi = Z ( g i , γ ) =Rγ ( gi ) N a ( g i )(2.4.26)и заданным числом γ ≥ J g . Тогда для этого решения существует единственнаяфункция F0 = F0 ( z , γ ) ∈ RH ∞ , определяемая формулойF0 ( z , γ ) =[]~~~H a ( z ) Rγ ( z ) N a ( z )m1 ( z , γ ) + Ta ( z )Ta ( z ) A( z )( z − 1)m2 ( z , γ ) / G ( z )m2 ( z , γ )G ( z ),(2.4.27)для которой ( L1 + L2 F0 )P ≡ Z ( z , γ ) .Доказательство. Пусть для указанного числа γ ≥ J g справедливо L( γ ) ≥ 0 ,и по алгоритмам [104] найдено решение задачи (2.4.24).
Тогда с учетом формул(2.4.11), (2.4.12) и (2.4.25) имеем~~~TaTa A(1 − z )GGFm1,+≡n1n1N a Rγ zN a H a Rγ zm2 ⋅ z n1(2.4.28)откуда непосредственно следует (2.4.27).Покажем, что функция F0 принадлежит множеству RH ∞ . Действительно из~~(2.4.28) имеем N a Rγ m1 = −TaTa A( g i − 1)m2 для всех z = g i . Но тогда при всех z = g i ,i = 1, n1 квадратная скобка в числителе (2.4.27) обращается в ноль, т.е. она делится~на полином G ( z ) нацело (без остатка). Это значит, что в знаменателе правильной дроби F0 ( z , γ ) находятся только шуровские полиномы G (z ) и m2 ( z ) , что идоказывает теорему.
■На базе предложенного подхода к построению цифрового фильтра методами H-теории, сформируем вычислительную схему его синтеза. В качестве исходных данных примем период T и матрицы A , b , h и c модели объекта управле~ния и коэффициенты закона u = (k + νc)x + k0 δ , обеспечивающие устойчивостьAb матрицы A c = Tk Tk0 + 1~базовой замкнутой системы, k = k + νc . Задаетсятакже вектор g коэффициентов наблюдателя, обеспечивающих устойчивость87матрицы A − gc .Алгоритм 2.4.1.
Н∞-синтез цифрового фильтра.1. Построить вспомогательные передаточные функцииH ε ( z ) = c(Ez − A + gc) −1 h , P1 ( z ) = Ez − AA( z ) = T det(Ez − A ) , ∆ ( z ) = det − TkH a (z)A( z ), P2 ( z ) =,∆( z )∆( z )(2.4.29)−b Ez − A g , H a ( z ) = det .z − Tk0 − 1 − Tk Tν ~2.
Задать переходное требование для входного сигнала d 0 [k ] = d ⋅ 1[k ] , определяемое допустимой величиной ym = max y02 [k ] .k∈[ 0 ,∞ )3. Сформировать частотные требования к качеству фильтрации. Для этоговначале построить амплитудно-частотную характеристика (АЧХ)Ad0δ (ω) = H ε (e jω ) P1 (e jω ) ,замкнутойсистемыбезфильтра.Далее(2.4.30)ввестивесовоймножительS α (e jω ) = S α ( z ) z = e jω , где S α ( z ) = N a ( z ) / Ta ( z ) , N a и Ta – шуровские полиномы,задающий желаемые требования к АЧХ системы с фильтром:Adδ (ω, F ) = Fdδ ( z , F ) ≤ Ad0δ (ω) S α (e jω ) , ∀ω ∈ [0, π] ,(2.4.31)Fdδ ( z , F ) = H ε ( z )[ P1 ( z ) + P2 ( z ) F ( z )( z − 1)] .4.
Задать коэффициент q > 0 , определяющий соотношение между переходными и частотными требованиями, и выполнить факторизациюAA TaTa ( z − 1)( z −1 − 1) + qN a N a H a H a ≡ GG ,(2.4.32)~т.е. найти шуровский полином G (z ) и обратный полином G ( z ) с простыми кор~нями g i вне единичного круга (i = 1, n1 , n1 = deg G ) , G ( z ) = G ( z ) / z n1 .5. Вычислить значениеH a (e jω )Ta (e jω )J g = max qω∈[ 0 ,π ]G ( e jω )и задать некоторое число γ > J g .2(2.4.33)886. Выполнить факторизациюRγ ( z ) Rγ ( z ) ≡ γG ( z )G ( z ) − qH a ( z ) H a ( z )Ta ( z )Ta ( z ) ,(2.4.34)т.е. получить шуровский полином Rγ (z ) .7.
Вычислить комплексные числаTa ( g i )Ta ( g i ) A ( g i )( g i−1 − 1)βi =, i, j = 1, n1 ,Rγ ( g i ) N a ( g i )(2.4.35)и сформировать эрмитову матрицу Пика L( γ ) = {lij ( γ )}, компоненты которой задаются формулой lij = (1 − β i β j ) /(1 − 1 / g i g j ) .8. Повторить вычисления по пунктам 6 и 7, находя такое минимальное число γ = γ 0 ≥ J g , для которого матрица Пика L(γ ) знакоположительная. Найденноезначение γ = γ 0 определяет решение задачи при выбранном значении весовогокоэффициента q .9. Решить интерполяционную задачу Неванлинны-Пика с исходными данными {g1 , g 2 , ..., g n1 ; β1 ( γ 0 ), β 2 ( γ 0 ), ..., β n1 ( γ 0 )}, т.е.
найти такую рациональную дробь[]Z ( z , γ 0 ) = m1 ( z , γ 0 ) / m2 ( z , γ ) z n1 , чтоZ ( z, γ 0 )∞≤ 1, Z ( g i , γ 0 ) = β i ( γ 0 ) , i = 1, n1 ,причем m2 ( z , γ 0 ) – шуровский полином.10. Определить передаточную функцию искомого фильтра:~~~H a ( z )[Rγ ( z ) N a ( z )m1 ( z , γ 0 ) + Ta ( z )Ta ( z ) A( z )( z − 1)m2 ( z , γ 0 )]/ G ( z ).F0 ( z ) =m2 ( z , γ 0 )G ( z )11.
Проинтегрировать замкнутую систему с найденным фильтром и ступенчатым возмущением, определяя величину ym регулируемой координаты. Еслиym > ym 0 , то увеличить значение q и повторить вычисления по пунктам 4 – 11достигая выполнение ограничения.Применение разработанного подхода проиллюстрируем на примере синтезацифрового фильтра морского волнения для автопилота, управляющего курсом89транспортного судна водоизмещением 6000 т, движущегося со скоростью 8 м/с наволнении интенсивностью 5 баллов.В качестве математической модели судна в непрерывном времени примемлинейную систему уравненийβ& = a11β + a12 ω + b1δ + h1d (t ),& = a 21β + a 22 ω + b2 δ + h2 d (t ),ωϕ& = ω, δ& = u , y = ϕ.(2.4.36)Здесь β – угол дрейфа, ω – угловая скорость по курсу, ϕ – угол рыскания, δ –угол поворота рулей, a11 = −0.0454 , a12 = 0.560 , a21 = 0.0267 , a22 = −0.408 ,b1 = −0.0132 , b2 = −0.00742 , h1 = −0.0648 , h2 = −0.00456 .Базовым законом управления будем считать регулятор~~~u = k1β + k 2 ω + k3ϕ + k 0 δ + νy,(2.4.37)~~~где k1 = 0.912, k 2 = 6.11, k3 = −2.22, k0 = −0.335, ν = 3.45 .В качестве асимптотического наблюдателя в непрерывном времени примемследующую систему уравнений:z&1 = a11 z1 + a12 z 2 + b1δ + g1 ( y − z3 ),z&2 = a21 z1 + a22 z 2 + b2 δ + g 2 ( y − z3 ),(2.4.38)z&3 = z 2 + g 3 ( y − z3 ),где g1 = 0.0335 , g 2 = 0.00446 , g 3 = 0.0944 .Будем считать, что внешним возмущением в (2.4.36), определяемым морским волнением, служит случайный стационарный процесс d (t ) с нулевым средним и спектральной плотностью S d ( s ) = S1d ( s ) S1d (− s ) , гдеS1d ( s ) =αDd2s20 s 2.⋅π s 2 + 2α + α 2 + β 2 20s 2 + 13.5s + 5(2.4.39)В выражении (2.4.39) первый сомножитель соответствует стандартномуспектру Рахманина-Фирсова [19] со средней частотой β = ω0 = 0.5 1/с, с дисперсией Dd = 5 и с мерой размытости α / β = 0.21 .
Второй сомножитель подавляетнизкочастотную составляющую спектра, что приближает представление (2.4.39) к90реальным характеристикам волнения. График функции S d (ω) = S d ( s ) s = jω приведен на рис. 2.4.1.987Sd654321000.511.52ω (1/s)Рис. 2.4.1. График функции S d (ω) для морского волнения.Осуществляя дискретизацию системы (2.4.36) простейшим способом Эйлера с периодом дискретности T = 1с, получим дискретную модельβ[k + 1] = a11β[k ] + a12 ω[k ] + b1δ[k ] + h1d [k ],ω[k + 1] = a21β[k ] + a22 ω[k ] + b2δ[k ] + h2 d [k ],(2.4.40)ϕ[k + 1] = ω[k ] + ϕ[k ], δ[k + 1] = u[k ] + δ[k ], y[k ] = ϕ[k ].с коэффициентами a11 = 0.955 , a12 = 0.560 , a21 = 0.0267 , a22 = 0.592 , b1 = −0.0132 ,b2 = −0.00742 , h1 = −0.0648 , h2 = −0.00456 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
