Диссертация (1145289), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Если решение задачи оптимизации v * получено за время, не превышающее ∆tu , то оно принимается в качестве оптимального на текущем такте k и на113его основе формируется оптимальное программное управление на горизонте прогноза u * = (u* [k ] u* [k + 1] ... u* [k + P − 1] ) .T3. Если в процессе решения задачи оптимизации оказывается, что на текущем такте k множество допустимых решений пустое, то в качестве решения принимается начальное приближение v 0 .При этом программное управление на горизонте прогноза формируется последующемуправилу:еслипоследовательностьu * = (u* [k − s ] u* [k − s + 1] ...

u* [k − s + P − 1] )Tтакта,тонатекущемтактевекторовоптимальна для предшествующегоуправлениепринимаемввидеu * = (u* [k ] u* [k + 1] ... u* [k − s + P − 1]... u* [k − s + P − 1]) , s = ∆tu / T .T4. Если, в общем случае, решение задачи оптимизации не удалось получитьс требуемой точностью за время ∆tu , то программное управление на горизонтепрогноза формируется несколько иначе.

Если в процессе решения задачи оптимизации были получены допустимые точки v i , i = 1,..., r , то среди них выбирается та,для которой соответствующее значение минимизируемой функции J k (u ) наименьшее. Обозначим данную точку v l : она принимается как оптимальное решение на текущем такте v * = v l и на его основе формируется оптимальное программное управление на горизонте прогноза.

Если допустимых точек нет, тоуправление формируется по тому же правилу, что и в п. 3.На базе приведенного алгоритма №1 сформируем расчетную схему, предназначенную для непосредственной практической реализации управления с прогнозом. Настраиваемыми параметрами данной схемы являются период дискретностиуправления Tu , горизонт управления C и период пересчета управляющего воздействия ∆tu .Алгоритм № 2 реализации управления с прогнозом в режиме реальномвремени процесса.1141. Осуществляется измерение вектора ~y[k ] и восстанавливается текущее состояние ~x[k ] объекта с помощью асимптотического наблюдателя.2.

Решается оптимизационная задача (3.1.8). При этом используется приведенный выше алгоритм №1 формирования управления, учитывающий, что времявычислений не должно превышать ∆tu , и применяется один из рассмотренныхспособов уменьшения размерности задачи (3.1.8) с выбранными значениями параметров Tu и C .3. Из найденной в результате решения задачи (3.1.8) оптимальной последовательностиu* [k ], u* [k + 1],..., u* [k + P − 1]используютсявекторыu* [k ],..., u* [k + l − 1] , где l = ∆tu / T , в качестве программного управления на тактах k + l ,..., k + 2l − 1 (в течение следующего периода длиной ∆tu ).4. Начиная с момента времени k + l , все операции, указанные в пунктах 1–3,повторяются заново.Схема управления с прогнозом, базирующаяся на пошаговой оптимизации,приводит к тому, что соответствующие алгоритмы управления являются существенно нелинейными и не представимыми в аналитической форме.

Это порождаеттрудности с анализом устойчивости движений в замкнутой системе, посколькуприменение классических методов, опирающихся на аналитическое представление разностных уравнений для замкнутой системы, является невозможным.Одним из известных способов обеспечения устойчивости движений системуправления с прогнозом является введение дополнительного терминального ограничения вида x[k + P ]∈ Ω , где x – вектор состояния прогнозирующей модели(3.1.4), Ω ⊆ E n – терминальное множество, включающее положение равновесиязамкнутой системы.В частности, множество Ω может состоять из единственной точки, являющейся положением равновесия.

Обоснование для введения терминального ограничения с указанной целью содержится, например, в работе [138]. В частности, вэтой работе показано, что введение терминального ограничения вида x[k + P ] = 0115обеспечивает асимптотическую устойчивость нулевого положения равновесиядля системы с прогнозом при условии, что оптимизационная задача имеет решение на каждом такте и уравнения прогнозирующей модели полностью совпадаютс уравнениями динамики объекта.Недостатком такого подхода является отсутствие гарантии существованиярешения оптимизационной задачи на каждом такте. Кроме того, с точки зренияпрактической реализации, вместо терминального ограничения в виде равенствагораздо удобнее использовать терминальное множество Ω и соответствующееограничение вида x[k + P ]∈ Ω .Рассмотрим вопрос о построении терминального множества Ω для частнойситуации с линейной прогнозирующей моделью, скалярным управлением и линейными ограничениями.

При этом в качестве множества Ω может быть выбраноинвариантное множество Ω 0 для замкнутой системы управления с прогнозом, вкотором все движения стремятся к нулевому положению равновесия при условииk → ∞ . Рассмотрим задачу о нахождении такого инвариантного множества Ω 0 .Будем полагать, что используется линейная прогнозирующая модель вида(3.1.9) со скалярным управлением, а оптимизируемый на каждом такте функционал J k является квадратичным, заданным в форме (3.1.10), причем здесь r = 0 .Кроме того, положим, что определены ограничения на величину управления нагоризонте прогнозаu[k + i − 1] ≤ L, i = 1,..., P .(3.2.1)Как было отмечено ранее, минимизация функционала (3.1.10) при ограничениях (3.2.1) для прогнозирующей модели (3.1.9) сводится к решению задачиквадратичного программирования.

При этом точный минимум квадратичнойфункции без ограничений достигается в точке u* = Kx[k ] , где K – матрица размерности P× n . Введем обозначения K1 ,…, K p для строк матрицы K , гдеK i ∈ E n , i = 1,..., P . Тогда на такте k , в соответствии с MPC-подходом, управлением будет регулятор u[k ] = K1x[k ] , если116{}x[k ] ∈ Ω L , где Ω L = x ∈ E n | K1x[k ] ≤ L,..., K p x[k ] ≤ L .(3.2.2)Вычислим минимальное расстояние от начала координат до гиперплоскостей в (3.2.2): ρ min = min L K i . Введем в рассмотрение множествоi =1, P{}Ω ρ = x ∈ E n | x ≤ ρmin .Для любого вектора состояния x[k ] ∈ Ω ρ на k -ом такте управление формируется в виде регулятора u[k ] = K1x[k ] , но, тем не менее, это множество может неявляться инвариантным. Построим такое инвариантное множество, которое содержится в Ω ρ .~Будем считать, что собственные числа матрицы A = A + BK 1 расположенывнутри единичного круга.

Отметим, что при малых значениях горизонта прогноза~P это требование может не выполняться. Так как матрица A шуровская, то длялюбой отрицательно-определенной симметрической матрицы W существуетединственное решение дискретного аналога матричного уравнения Ляпунова~ ~A T VA − V = W .(3.2.3)При этом решением уравнения (3.2.3) является постоянная симметрическая положительно-определенная матрица V , а поверхности V (x ) = x T Vx = const представляют собой семейство замкнутых поверхностей уровня, окружающих нулевоеположение равновесия.

Множества{}Ω c = x ∈ E n | V (x ) ≤ c(3.2.4)~являются инвариантными множествами для системы x[k + 1] = Ax[k ] . Найдем такое значение параметра c = c* , при котором Ω c * ⊂ Ω ρ .Известно, что поверхность V (x ) = c наиболее вытянута вдоль направления,определяемого собственным вектором e min , соответствующим наименьшему собственному значению λ min матрицы V .Длина этого вектора вычисляется по формуле e min = c λ min . Следователь-117но,необходимовыбиратьтакоезначениепараметраc,прикоторомc λ min ≤ ρ min .

Отсюда получаем параметр c * = λ min ρ 2min и соответствующее емуинвариантное множество Ω c* . Таким образом, на основе проведенных рассуждений можно сформулировать следующую теорему.Т е о р е м а 3 . 2 . Множество Ω c * вида (3.2.4) при значении параметраc = c * = λ min ρ 2min является инвариантным множеством для замкнутой системыуправления с прогнозирующей моделью (3.1.9) при скалярном управлении, с квадратичным функционалом (3.1.10) и линейными ограничениями (3.2.1). При этомдля любого вектора x[k ] ∈ Ω c * управление реализуется в форме линейного регулятора u[k ] = K1x[k ] , и соответствующие движения стремятся к нулевому положению равновесия при k → ∞ .С л е д с т в и е . Нулевое положение равновесия замкнутой системы управления с прогнозом с моделью (3.1.9), функционалом (3.1.10) и ограничениями(3.2.1) асимптотически устойчиво при любом значении L > 0 , если матрицаA + BK 1 является шуровской.Д о к а з а т е л ь с т в о очевидно, так как если матрица A + BK 1 шуровская,то, в соответствии с теоремой 3.2, может быть построено инвариантное множество Ω c * , в котором все движения стремятся к нулевому положению равновесияпри условии k → ∞ .

Характеристики

Список файлов диссертации