Диссертация (1145289), страница 21
Текст из файла (страница 21)
u[k + P − 1] ) T и прогнозируемыми значениями крена (θ[k + 1] θ[k + 2] ... θ[k + P ] ) . Поэтому введениеограничений на значения угла крена приводит к системе нелинейных неравенств:g (x[k ], u[k ], u[k + 1],..., u[k + P − 1] ) ≤ 0 ,где x[k ] – текущее состояние объекта. Данные ограничения, совместно с ограничениями на скорость и отклонения руля, определяют в общем случае невыпуклоедопустимое множество Ω управляющих воздействий.Ограничим угол крена максимальным значением θ max = 10o . Определимдлину горизонта прогноза в непрерывном времени PT = 50 с. Проведение численных экспериментов позволило установить, что для выполнения ограничений покрену необходимо, чтобы величина PT была не меньше 50 с. При этом горизонтпрогноза в дискретном времени, с учетом значения T = 0.1 , составляет P = 500 .Зададим период пересчета управляющего воздействия ∆tu = 0.5 с.
Такимобразом, в соответствии с предложенным в п. 3.2 алгоритмом №2 реализацииуправления с прогнозом, найденное в результате оптимизации программноеуправление будет использоваться на пяти фактических тактах функционированиясистемы. При этом время выполнения оптимизации не должно превышать 0.5 с.Отметим, что для реализации управления с прогнозом в базовом варианте124без понижения размерности в данном случае необходимо на каждом периоде ∆tuформирования управления решать задачу нелинейного программирования, размерность которой равна P = 500 .
Ввиду ограниченности допустимого временивычислений, данный вариант управления с прогнозом является практически нереализуемым.Сформируем следующие алгоритмы управления с прогнозом на основе способов понижения размерности, рассмотренных в п. 3.2.1. Зададим период дискретности управления Tu = 5 с. При этом размерностьзадачи оптимизации понижается до 10. На рис. 3.3.2 представлен процесс циркуляции, который обеспечивается управлением, формируемым на базе нелинейнойпрогнозирующей модели при выбранных параметрах и ограничениях. Как видноиз рисунка максимальное значение по крену не превосходит величину θmax = 10o .Величина радиуса циркуляции составляет R = 255 м, а время переходного процесса T = 175 секунд.ωx,ωy(dg/s) θ, δ (dg)440φ (dg)400φ33030022020011010000-1-10-2-200-100-200ωy-3-30-4-40ωxδθ050100150200-300-400250t(sec)Рис.
3.3.2. Процесс циркуляции для управления с нелинейным прогнозомпри скорости хода V = 15 м/с (период дискретности управления Tu = 5 с).125Реализация управления с прогнозом в данном варианте связана с пересчетом управления через каждые 0.5 с. При этом решается задача нелинейного программирования с нелинейной целевой функцией 10-и переменных на невыпукломдопустимом множестве.
В рассматриваемом режиме за время движения, составляющее 250 секунд, решается 500 таких задач.На рис. 3.3.3 показано время, которое затрачивает процессор Intel Celeron2.8 GHz на решение каждой задачи с учетом ограничения времени счета. Наибольшим значениям времени счета, примерно 0.4 с, соответствуют периоды формирования управления для реального процесса, в которые решение задачи оптимизации с заданной точностью не удалось получить за допустимое время, ограниченное 0.5 с.
При этом выполнение оптимизации было прервано, а управляющий сигнал формировался по алгоритму №2, предложенному в п. 3.2.0.50.45CPU time (sec)0.40.350.30.250.20.150.10.050100200300400500Number of optimization problemРис. 3.3.3. Временные затраты для решения задач оптимизации.2. Зададим период дискретности управления Tu = 5 с и горизонт управленияC = 2 .
При этом размерность задачи нелинейного программирования понижаетсядо 2. На рис. 3.3.4 представлен процесс циркуляции, который обеспечивает регулятор с прогнозом при выбранных значениях параметров и заданных ограничениях. В данном случае радиус циркуляции составляет R = 256 м, а время процесса T = 180 секунд.Качество процессов в замкнутой системе здесь незначительно хуже, чем для126первого подхода, но данный вариант управления с прогнозом требует меньшихвычислительных затрат. На рис.
3.3.5 представлено время, необходимое процессору на решение каждой задачи оптимизации. Отметим, что здесь имеет местоэкономия вычислительных ресурсов при формировании управления, посколькуосновная часть оптимизационных задач решена за время не превышающее 0.2 с.ωx,ωy(dg/s) θ, δ (dg)440φ (dg)400φ33030022020011010000-1-10-2-200-100-200ωy-3-30-4-400ωxδθ50100150200-300-400250t(sec)Рис. 3.3.4.
Процесс циркуляции для управления с нелинейным прогнозом:V = 15 м/с, C = 2 , Tu = 5 с.0.50.45CPU time (sec)0.40.350.30.250.20.150.10.050100200300400500Number of optimization problemРис. 3.3.5. Временные затраты для решения задач оптимизации.127Для иллюстрации эффективности полученных результатов проведем сравнение с процессом циркуляции, определяемым LQR-законом управления с искусственным ограничением максимально возможного отклонения руля. В качестветакового примем отклонение, при котором величина крена не превышает значение θ max = 10o , что составляет δ max = 13o .
Соответствующий процесс показан нарис. 3.3.6: имеем радиус циркуляции R = 496 м, а время разворота по курсу на360o составляет T = 256 секунд.Нетрудно видеть, что качество процесса здесь значительно хуже, чем приприменении управления с прогнозом: увеличивается время переходного процессаи практически в два раза возрастает радиус циркуляции.ωx,ωy(dg/s) θ, δ (dg)440φ (dg)400φ33030022020011010000-1-10-2-200-100-200ωy-3-30-4-40ωxδθ050100150200250300-300-400350t(sec)Рис. 3.3.6.
Циркуляция для LQR-оптимального регулятора с искусственным ограничением на максимальное отклонение руля δ max = 13o .На рис. 3.3.7 для сравнения радиусов циркуляции представлены траекториидвижения при выполнении циркуляции с использованием линейного LQRоптимального регулятора и управления с нелинейным прогнозом (MPC). Такимобразом, управление с прогнозом позволяет добиться наилучших характеристик128процесса циркуляции при заданных ограничениях на угол крена за счет полногоиспользования ресурсов привода.200LQRMPC0ζ-200-400-600-800-1000-400-2000200400600800ξРис.
3.3.7. Траектории судна на циркуляции с LQR и MPC управлениями.В качестве резюме отметим, что алгоритмы управления с прогнозом на базепредложенных подходов, обеспечивают высокое качество функционированиясистемы и могут быть использованы на борту для управления судном в режимереального времени. При этом для экономии вычислительных ресурсов наиболеерационально использовать второй подход.3.4. Управление с прогнозом для маятника Фуруты ив задаче динамического позиционирования судна3.4.1.
MPC-управление маятником ФурутыРассмотрим пример управления маятником на вращающейся платформе сиспользованием нелинейной прогнозирующей модели.Схема маятника показана на рис. 3.4.1. Система состоит из платформы (основания), вращающейся в горизонтальной плоскости под действием электромотора, и самого маятника, закрепленного на краю платформы и вращающегося ввертикальной плоскости.На рис. 3.4.1 введена правая система координат. Ее началом служит неподвижная точка O , вокруг которой происходит вращение платформы, плоскость129Oxy – это горизонтальная плоскость вращения платформы, а ось Oz направленавертикально вверх.Рис. 3.4.1.
Схема перевернутого маятника.Положение системы с маятником в пространстве однозначно определяетсядвумя углами: углом α поворота платформы и углом β отклонения маятника отверхнего вертикального положения. Угол α отсчитывается от оси Ox и положительным считается направление против часовой стрелки, если смотреть с концаоси Oz .Маятник вращается вокруг подвижной оси платформы Oh , проходящей через начало координат O и точку крепления маятника к платформе.
Угол β отсчитывается от верхнего вертикального положения и положительным считается направление отсчета против часовой стрелки, если смотреть с конца оси Oh . Нарис. 3.4.1 также приняты следующие обозначения: L0 – длина платформы, l1 –длина маятника, m1 – масса маятника.Перевернутый маятник на вращающемся основании также называют маятником Фуруты (Furuta pendulum) [115]. Нелинейная математическая модель перевернутого маятника на вращающемся основании представляется системой нелинейных дифференциальных уравнений&& + M1 (q, q& )q& + M 2 (q ) = Tu ,M 0 (q )q(3.4.1)130где q = (α β ) – вектор обобщенных координат, u – управляющий сигнал, явTляющийся напряжением, подаваемым на привод электромотора, а матрицыΜ 0 , M1 , M 2 и T представляются в следующем виде: J 0 + m1 L20 + m1l12 sin 2 β − m1 L0 l1 cos β ,M 0 = 2− m1 L0l1 cos βJ1 + m1l1 KK1122 C0 + t b + m1l1 β& sin 2β m1 L0 l1β& sin β + m1l1 α& sin 2β 22Ra,M1 = 1− m1l12 α& sin 2βC12 Kt Ku 0, T = Ra .M 2 = 0 − m1 gl1 sin β (3.4.2)Здесь J 0 и J 1 – моменты инерции, а C0 и C1 – коэффициенты сухого тренияплатформы и маятника соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
