Диссертация (1145289), страница 22

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 22)

Константы K t , K b , K u и Ra зависят отхарактеристик электромотора. Уравнения динамики (3.4.1), (3.4.2) выводятся наоснове уравнений Лагранжа второго рода [86].Заметим, что в уравнения (3.4.1), (3.4.2) не входит угол α , но присутствуютего первая и вторая производная. Это связано с тем, что угол поворота основанияα не оказывает никакого влияния на динамику системы, а значение имеет толькоугловая скорость вращения α& .Запишем систему дифференциальных уравнений (3.4.1) в нормальной форме. Для этого введем в рассмотрение вспомогательные векторы:q1 = q, q 2 = q& .(3.4.3)В результате вместо уравнений (3.4.1) получим:q& 1 = q 2 ,q& 2 = M 0−1 (q1 )(− M1 (q1 , q 2 )q 2 − M 2 (q1 ) + Tu ).(3.4.4)Заметим, что матрица инерции M 0 не особая, что допускает ее обращение.Итак, в качестве нелинейной модели маятника Фуруты примем системудифференциальных уравнений (3.4.4).

При этом состояние объекта однозначноопределяется вектором с четырьмя компонентами:131T(q1 q 2 )T = (α β α& β& ) .Отметим, что математическая модель маятника Фуруты является сущестTвенно нелинейной. Введем расширенный вектор состояния xˆ = (q1 q 2 ) . Тогданелинейные уравнения (3.4.4) можно представить в пространстве состояний:x&ˆ = f (xˆ , u ) ,(3.4.5)где вектор-функция f (⋅) определяется уравнениями (3.4.4).Перейдем к рассмотрению линейной модели системы в окрестности верхнего вертикального положения равновесия. Этому равновесию соответствует вектор x̂ 0 с компонентами:α 0 = const , α& 0 = 0, β0 = 0, β& 0 = 0 .(3.4.6)Из физических соображений ясно, что такое равновесие является неустойчивым.Выполним линеаризацию уравнений (3.4.1) в окрестности положения равновесия(3.4.6). В результате получим систему в отклонениях:KK&&   C0 + t b− m1 L0 l1  α  +Ra&&  J1 + m1l12  β0KK0  α   t u 0  =  Ra u.+ 0mgl−1 1  β   0 0  α&  β&  +C1   J 0 + m1 L20 −m L l1 0 1(3.4.7)Введем в рассмотрение вектор состояния для линейной системы (3.4.7):Tx = (α& β β& ) = (ωαβ ωβ ) ,T(3.4.8)где ωα и ωβ – угловые скорости вращения основания и маятника соответственно.Переходя от уравнений (3.4.7) с учетом (3.4.8) к системе дифференциальныхуравнений в нормальной форме, получим:x& = Ax + bu ,y = Cx.Здесь матрица A и вектор b представляются в виде:(3.4.9)132 − df1 A= 0af − c 2  − cd− cC1 0 af − c 2 ,ah − aC1 ch ef 1  b= 0 ,af − c 2   ce где вспомогательные величины a, c, d , e, f , h вычисляются по формулам:a = J 0 + m1 L20 , c = m1 L0l1 , d = C0 +Kt Kb,Ra(3.4.10)KKe = t u , f = J1 + m1l12 , h = m1 gl1.RaДля проведения экспериментов примем значения параметров маятника Фуруты, сведенные в таблицу 3.1.

Представленные значения относятся к конкретному физическому устройству [102].Таблица 3.1.ПараметрОбозначениеЕдиницыизмеренияЗначениеДлина платформы (основания)L0м0.1370Длина маятникаl1м0.1572Масса маятникаm1кг0.0319Момент инерции платформыJ0Кг⋅м20.008591Момент инерции маятникаJ1кг⋅м20.000217Коэффициент трения платформыC0кг⋅м2/с0.006408Коэффициент трения маятникаC1кг⋅м2/с0.000158RaОм0.9KtН⋅м/А0.0706KbВ⋅с/рад0.0707KuВ/об/c0.0636Коэффициенты, определяемые характеристиками электромотораПодставим значения параметров из табл. 3.1 в систему (3.4.9) с учетомформул (3.4.10). В результате получим следующую линейную модель для верхнего вертикального положения:133&   − 1.3708 3.8513 − 0.0124  ωα   0.5721 ω α   001 β&  =  β  +  0 u .ω    & β   − 0.9368 51.5163 − 0.1656  ωβ   0.3910 (3.4.11)Имеем следующие собственные числа матрицы этой системы:s1 = −7.3040, s2 = −1.2984, s3 = 7.0660 ,откуда видна неустойчивость верхнего положения равновесия.Перейдем от непрерывной модели (3.4.11) к дискретному аналогу, используя метод экстраполяции нулевого порядка (ZOH).

Выберем шаг дискретизацииTs = 0.15 c. В результате получим дискретную модель: ωα [k + 1]   0.8123 0.6264 0.0423  ωα [k ]   0.0783    β[k + 1]  =  − 0.0108 1.6303 0.1784  β[k ]  +  0.0045 u[k ] . (3.4.12) ω [k + 1]   − 0.1524 9.1494 1.6008  ω [k ]   0.0636  β   β В дальнейшем для маятника Фуруты будем рассматривать задачу его перемещения из нижнего в вертикальное верхнее положение равновесия и стабилизации в новом положении равновесия.Синтезируем систему управления маятником, состоящую из двух переключающихся между собой законов управления. Первый из них предназначен дляперемещения маятника из нижнего в вертикальное верхнее положение, а второй –для стабилизации верхнего неустойчивого положения равновесия.

Первая задачаявляется существенно нелинейной. Для ее решения будем использовать MPCподход с нелинейной прогнозирующей моделью и ограничениями на управление.Стабилизация верхнего положения равновесия может быть обеспечена при помощи линейного варианта управления с прогнозом, либо с использованием некоторого линейного стабилизирующего закона, например LQR-регулятора.Переключение между двумя алгоритмами управления осуществляется вмомент попадания маятника в заданную окрестность верхнего положения равновесия. Указанную окрестность сформируем как инвариантное множество с учетом ограничений на управление и состояние в соответствии с процедурой, описанной в параграфе 3.2.134Обратимся к вопросу построения инвариантного множества. Пусть замкнутая стабилизирующим регулятором линейная система (3.4.12) имеет следующее~представление в пространстве состояний: x[k + 1] = Ax[k ] .

С учетом (3.2.3) и(3.2.4) множества Ωc , определяемые какΩ c = { x ∈ E 3 | V (x ) = x T Vx ≤ c},(3.4.13)являются инвариантными множествами замкнутой линейной системы. Выберемнаибольшее значение параметра c = c* в (3.4.13), при котором выполняются ограниченияu (t ) ≤ umax , β(t ) ≤ β max , β max = 15o , u max = 40 .(3.4.14)На рис. 3.4.2 показано инвариантное множество Ω c в пространстве векторовx = (ωα(− 0.001β ωβ )TдлядиагональнойматрицыWсэлементами− 0.772 − 0.047 ) и наибольшего значения параметра c = c* = 0.09 , прикотором выполняются ограничения (3.4.14). На рисунке изображены также плоскости, соответствующие ограничениям (3.4.14).Рис. 3.4.2.

Инвариантное множество при c = 0.09 .В дальнейшем для переключения алгоритмов управления примем в качестве окрестности верхнего положения равновесия построенное инвариантное множество Ω c .135Перейдем к задаче синтеза нелинейного регулятора на основе MPC-подхода.Прогнозирующую модель построим на базе непрерывной модели (3.4.5), применяя разностную схему метода Рунге-Кутты 4-5-го порядка. Качество управленияпрогнозирующей моделью на горизонте прогноза будем оценивать значениямифункционалаJ k ( u ) = ∑ {ωα2 [k + i ] + β 2 [k + i ] + ωβ2 [k + i ] +Pi =1+ λu 2 [k + i − 1] }+ ~x T [k + P ]V~x[k + P].Здесь ~x = (ωα(3.4.16)β ωβ ) – укороченный вектор состояния нелинейной прогнозиTрующей модели, V – положительно-определенная симметрическая матрица, являющаяся решением матричного уравнения Ляпунова, что описано в параграфе3.2. Поставим задачу оптимизации движения прогнозирующей модели на горизонте прогноза P :J k = J k (u ) → min .u ∈Ω ⊆ E P(3.4.17)Здесь Ω – допустимое множество, определяемое ограничением на величинууправления и терминальным ограничением:Ω = { u ∈ E P : u[k + i − 1] ≤ umax , i = 1, P, ~x[k + P ]T V~x[k + P] < c}.

(3.4.18)Терминальное ограничение требует, чтобы конечная точка на горизонтеx[k + P ] попадала внутрь инвариантного множества Ω c . При этом знапрогноза ~чение горизонта прогноза P должно быть таким, чтобы допустимое множество(3.4.18) было непустым для начального нижнего вертикального положения равновесия.В отличие от классической схемы, будем уменьшать величину горизонтапрогноза P на каждом такте для того, чтобы обеспечить подъем маятника в окрестность верхнего положения равновесия за время, не превышающее горизонт прогноза. Естественно, что при этом постепенно уменьшается размерность задачи оптимизации и сокращаются вычислительные затраты на вычисление управляющегосигнала.136Напомним, что период дискретизации T цифровой системы управления маятником Фуруты равен 0.15 с. Примем следующие значения параметров алгоритма управления с прогнозом: горизонт прогноза в непрерывном времени PT = 6 с,интервал постоянства управления Tu = 0.3 с.Следовательно, для дискретного времени имеем горизонт прогноза P = 20 .Положим период пересчета управляющего воздействия ∆tu равным Tu , а горизонт управления C совпадающим с горизонтом прогноза P .На рис.

Характеристики

Список файлов диссертации