Диссертация (1145289), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

Эти области показанына рис. 4.1.2, а их формальное описание имеет вид:а) S ∆1 = {s = x ± yj ∈ C1 : x ≤ −α} , где α > 0 – вещественное число;{}б) S ∆ 2 = s = x ± yj ∈ C1 : x ≤ −α, 0 ≤ y ≤ (− x − α) tg β , где 0 ≤ β < π / 2 и α > 0– вещественные числа;в) S ∆ 3 = {s = x ± yj ∈ C1 : x ≤ −α, 0 ≤ y ≤ ϕ(− x − α)} , где ϕ(ξ) – заданная вещественная неотрицательная функция вещественной переменной ξ ∈ [0, ∞) , причем такая, что ϕ(0) = 0 , α > 0 –вещественное число.151αIm sαβS ∆1Im sS ∆2Re sRe sа)б)ϕαIm sS ∆3Re sв)Рис.

4.1.2. Области расположения корней для непрерывных систем.Л е м м а 4 . 1 . Области S ∆1 на комплексной плоскости при отображенииz = e sT соответствует область C ∆1 , а областям S ∆ 2 и S ∆ 3 – область C∆ 2 приопределенном выборе функции ψ (ξ ) .Доказательство. Рассмотрим область S ∆1 , показанную на рис. 4.1.3. Точкам прямой x = −α соответствуют точки окружности z = e − αT . При этом областьC отображается на круг z ≤ e − αT , что соответствует области C∆1 при значенииr = e − αT .Рис. 4.1.3. Соответствие областей S ∆1 и C ∆1 .152Далее, рассмотрим область S ∆ 2 , показанную на рис.

4.1.4. Вершине угла(− α 0)соответствует точка с полярными координатами r = e − αT , ϕ = 0 . Отобра-зим каждый отрезок из семейства:{}Lγ = s = x ± yj ∈ C1 : x = γ, γ ≤ −α, 0 ≤ y ≤ (− γ − α) tgβ .Рис. 4.1.4. Соответствие областей S ∆ 2 и C∆ 2 .Каждой точке s = γ ± jy отрезка Lγ соответствует точка z = e sT = e γT ± jyT наплоскости z . Следовательно, точки отрезка Lγ отображаются на дугу окружностис радиусом e γT , если − α − π / (T tgβ ) < γ ≤ −α и на всю окружность, еслиγ ≤ −α − π (T tgβ) . Таким образом, наибольший радиус окружности, полностьюзаполняемой точками отрезка, равен r ′ = e − αT −π / tgβ , соответствующий значениюγ 0 = −α − π / (T tgβ ) .Лучи, образующие угол, отображаются в логарифмические спирали, причем границу области на плоскости z образуют дуги этих спиралей, соответствующие изменению значения x от − α до γ 0 .

Введем обозначение ρ = e xT и определим функцию ψ (ρ) , ограничивающую значение аргумента при заданном радиусе окружности ρ : (− ln ρ − αT )tgβ, ρ ∈ [r ′, r ],ψ(ρ) = ρ ∈ [0, r ′]. π,(4.1.12)Итак, область S ∆ 2 с параметрами α и β соответствует области C∆ 2 при выборефункции ψ (ρ) в соответствии с формулой (4.1.12).153Рассмотрим наиболее общий случай – область S ∆ 3 , показанную на рис.4.1.2в.

Вершина (− α, 0 ) отображается в точку на плоскости z с полярными координатами r = e − αT , ϕ = 0 . Рассмотрим отрезки семейства Lγ :{}Lγ = s = x ± yj ∈ C1 : x = γ, γ ≤ −α, 0 ≤ y ≤ ϕ(− γ − α) .Этот отрезок отображается на дугу окружности радиуса r = e − γT , если выполняется неравенство ϕ(− γ − α )T < π . В противном случае, если ϕ(− γ − α )T ≥ π , точкиотрезка Lγ отображаются на окружность радиуса r . Введем функцию  1 1 πTеслиϕ−lnρ−α,lnϕ−ρ−α< ,TT Tψ(ρ) =  1 π π,если ϕ − ln ρ − α  ≥ . T T(4.1.13)Очевидно, что функция ψ (ρ) , заданная формулой (4.1.13), определена на интервале (0, r ], где r = e − αT , причем ψ (r ) = 0 .

Значения данной функции принадлежатинтервалу [0, π] . Итак, области S ∆ 3 соответствует область C∆ 2 , где функции ϕ(ξ )и ψ (ρ) связаны формулой (4.1.13). ■Для построения алгоритма решения задачи (4.1.7) на допустимых множествах (4.1.11), осуществим параметризацию рассматриваемых областей C∆1 и C ∆ 2 сиспользованием n-мерных вещественных векторов.Т е о р е м а 4.1. Для любого вектора γ ∈ E nd корни полинома ∆* ( z , γ ) , построенного по приведенным ниже формулам, находятся внутри области C∆ 2 илина ее границе.

Обратно, если корни некоторого полинома ∆(z ) принадлежат области C∆ 2 и при этом вещественные корни положительны, то можно указатьтакой вектор γ ∈ E nd , что справедливо тождество ∆( z ) ≡ ∆* ( z , γ ) . Здесьd()∆ ( z , γ ) = ∏ z 2 + ai1 ( γ, r ) z + ai0 ( γ, r ) ,*i =1если nd – четное, d = nd / 2 ;(4.1.14)154() ()d∆* ( z , γ ) = z − ad +1 ( γ, r ) ∏ z 2 + ai1 ( γ, r ) z + ai0 ( γ, r ) ,(4.1.15)i =1если nd – нечетное, d = [nd / 2] ;ai1 ( γ, r ) = −r (exp(− γ i21 + vi ) + exp(− γ i21 − vi )),ai0 ( γ, r ) = r 2 exp(− 2 γ i21 ), i = 1, d , ad +1 ( γ, r ) = r exp(− γ 2d 0 ),( (())(4.1.16))где vi = γ i41 − f (γ i 2 ) ψ 2 r exp − γ i21 + γ i41 , γ = {γ11 , γ12 , γ 21 , γ 22 ,..., γ d 1 , γ d 2 , γ d 0 } .При этом функция f (⋅) : (− ∞, + ∞ ) → (0,1) должна удовлетворять условию существования обратной функции во всей области задания, а ψ (ξ ) – вещественнаяфункция переменной ξ ∈ (0, r ], принимающая значения из отрезка [0, π] , причемψ(r ) = 0 .Доказательство.

Обратимся к свойствам квадратных трехчленов в (4.1.14).Вначале докажем прямое утверждение.Для любой пары действительных чисел γ i1 , γ i 2 корни i -го трехчлена ∆*i ( z )()в (4.1.14) представляются выражением z1i, 2 = r exp − γ i21 ± vi . Здесь возможны дваварианта. Если vi – вещественное число, то корни z1i, 2 тоже вещественные.

Приэтомвсилу( (свойств())функцииfсправедливонеравенство)γ i41 − f (γ i 2 ) ψ 2 r exp − γ i21 + γ i41 ≤ γ i41 , из которого следует, что корни положительныи z1i, 2 ≤ r , т.е. z1i, 2 ∈C∆ 2 .Если же vi – комплексное число, то z1i, 2 – пара комплексно сопряженных()корней, причем z1i, 2 = ρ = r exp − γ i21 ≤ r . В силу свойств функции f выполняетсянеравенствоϕ=( (()))(())f (γ i 2 ) ψ 2 r exp − γ i21 + γ i41 − γ i41 ≤ ψ 2 r exp − γ i21 = ψ (ρ) .(4.1.17)Так как arg z1i, 2 = ± ϕ , и, с учетом (4.1.17), 0 ≤ ϕ ≤ ψ(ρ) , то корни z1i, 2 принадлежат области C∆ 2 , что и доказывает прямое утверждение.Докажем теперь обратное утверждение.

Для этого рассмотрим некоторый155квадратный трехчлен ∆ i ( z ) = z 2 + β1 z + β0 , и будем считать, что его корни z1, 2 принадлежат области C∆ 2 , причем, если они вещественные, то положительны. Заметим, что z1, 2 ≤ r . Но, для того чтобы корни z1, 2 принадлежали кругу z ≤ r , необходимо чтобы выполнялись неравенства [81]:1−β1 β0ββ β+ 2 ≥ 0, 1 − 20 ≥ 0, 1 + 1 + 20 ≥ 0.r rrr r(4.1.18)Кроме того, поскольку произведение корней z1 ⋅ z2 положительно как в случае пары комплексно сопряженных корней, так и для двух вещественных положительных корней, то должно выполняться условиеβ0 > 0 .(4.1.19)Найдем такие γ i1 и γ i 2 , чтобы выполнилось тождество ∆*i ( z ) ≡ ∆ i ( z ) . Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим( ()())()− r exp − γ i21 + vi + exp − γ i21 − vi = β1 , r 2 exp − 2 γ i21 = β0 ,отсюда следует, чтоγ i1 = − 0.5 ln (β 0 r 2 ), 212  β0 2  β1−1+f (γ i 2 ) =ln   − ln 2β 04(ψ 2 (r exp(− γ i21 )) + γ i41 )   r 2 2 β12− 1 − 1  . 2β 0Убедимся в том, что числа γ i1 и γ i 2 являются вещественными.

Действительно, из неравенств (4.1.18) и (4.1.19) следует, что 0 < β0 r 2 ≤ 1 , поэтому()− ln β0 r 2 ≥ 0 и γ i1 – вещественное число.Очевидно, что уравнение относительно γ i 2 имеет решение, если выражение,стоящее справа от знака равенства, принимает значения из интервала (0,1) . Обозначим данное выражение символом h . Заметим, что его знаменатель обращаетсяв нуль только в том случае, когда z1 = z 2 = r , но при этом в качестве γ i 2 можновыбрать любое вещественное число, принимая γ i1 = 0 .Рассмотрим общий случай, вводя обозначение156β2w = 1 −1+2β02 β12− 1 − 1 . 2β0 Пусть сначала трехчлен ∆ i (z ) имеет два вещественных положительныхкорня z1, 2 . При этом его коэффициенты должны удовлетворять условиюβ12 − 4β0 ≥ 0 , из которого следует, что w ≥ 1 – вещественное число. Выполним следующие преобразования:2 β12β − 1 − 1  = ln 2  20  − ln 2 w =r  2β0  22  β1−1+ − ln r  2β0βln 2  20(4.1.20)2 β0   r = − ln w 2  ln w . r   β0 Тогда, с учетом (4.1.18), получаем()ln w ⋅ r 2 β0 ≥ 0 .Заметим,чтоиз(4.1.18)следует(4.1.21)такжевыполнениенеравенстваβ12 − 2β0 ≤ r 2 + β02 r 2 , учитывая которое имеем()wβ0 ≤ r 2 , и − ln w ⋅ β0 r 2 ≥ 0 .(4.1.22)Из неравенств (4.1.21) и (4.1.22) следует, что выражение (4.1.20) неотрицательно, а значит h > 0 .

Кроме того, с учетом выражения для коэффициента γ i1 ,справедливо неравенствоh < 1 − ln 2  β12 / 2β0 − 1 +(β21)()2/ 2β0 − 1 − 1  ln 2 β0 / r 2 < 1,(4.1.23)откуда следует, что существует вещественное число γ i 2 , которое является решением уравнения f (γ i 2 ) = h .Рассмотрим теперь случай, когда трехчлен ∆ i (z ) имеет пару комплексносопряженныхкорнейz1, 2 .Приэтомдолжновыполнятьсянеравенствоβ12 − 4β0 < 0 , из которого следует, что w – комплексное число, представимое в виде w = β12 / 2β0 − 1 + i 1 − (β12 / 2β0 − 1) , причем нетрудно показать, что w = 1 .

Тогда2157выражение (4.1.20) примет вид:2 β   r 2  β   r − ln w 20  ln w  = − ln 20  + i arg w  ln  + i arg w  = r   β0  r   β0   r 2  r2  r2 = − − ln  + i arg w  ln  + i arg w  = arg 2 w + ln 2  . β0  β0   β0 Отсюда следует, что h > 0 . Тогда, учитывая неравенство (4.1.23), окончательноимеем 0 < h < 1 , а значит, существует вещественное число γ i 2 , которое являетсярешением уравнения f (γ i 2 ) = h .При нечетном значении nd , в соответствии с (4.1.15), в состав полинома ∆*дополнительно вводится линейный двучлен, для которого утверждения теоремыочевидны.

■Рассмотрим теперь более простую ситуацию – параметризацию допустимойобласти C∆1 . Для нее справедливо аналогичное утверждение.Т е о р е м а 4 . 2 . Для любого вектора γ ∈ E nd корни полинома ∆* ( z , γ )(4.1.14),(4.1.15) принадлежат области C∆1 и обратно, если корни некоторогополинома ∆(z ) принадлежат области C∆1 и при этом вещественные корни положительны, то можно указать такой вектор γ ∈ E nd , что справедливо тождество ∆( z ) ≡ ∆* ( z , γ ) , где γ i21 γ i21γ i41γ i412 a ( γ, r ) = − r exp −+− γ i 2 + exp −−− γ i22  , 2 2441i()((4.1.24))ai0 ( γ, r ) = r 2 exp − γ i21 , i = 1, d , ad +1 (γ , r ) = r exp − γ 2d 0 ,γ = {γ11 , γ12 , γ 21 , γ 22 ,..., γ d 1 , γ d 2 , γ d 0 } .Доказательство.

Характеристики

Список файлов диссертации