Диссертация (1145289), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Тогда век-{}тор h может быть представлен как совокупность двух векторов h = h , h c , гдеh c ∈ E nc – свободная составляющая (назначение которой произвольно),h –вектор, однозначно определяемый решением системы (4.1.42) при заданном векторе h c .Введем обозначение для общего решения системы (4.1.42):{}h = h* = h * (h c , γ ), h c = h* ( γ , h c ) = h* (ε),где через ε = {γ, h c } обозначен произвольный вектор независимых параметровразмерности λ , причемλ = dim ε = dim γ + dim h c = nd + nc .Запишем уравнения прогнозирующей модели, замкнутой регулятором(4.1.4) с полученным вектором настраиваемых параметров h* :x[i + 1] = f ( x[i ], u[i ]), i = k + j , j = 0,1,2,..., x[k ] = ~x[k ] ,u[i ] = r u [i ] + W (q, h* (ε ))C(x[i ] − r x [i ]).(4.1.43)При этом функционал J k (4.1.6), вычисляемый на движениях системы164(4.1.43), становится функцией вектора ε :J k = J k ({x[i ]},{u[i ]}) = J k* ( W(q, h* (ε))) = J k* (ε).(4.1.44)Справедливо следующее утверждение.Т е о р е м а 4 .
3 . Если в задаче параметрического синтеза (4.1.7), гдеΩ H – допустимое множество, определяемое соотношением (4.1.11) при условииC∆ = C∆ 2 , экстремум достигается в некоторой точке h k 0 ∈ Ω H , то в пространстве E λ найдется такая точка ε k 0 , чтоh k 0 = h* (ε k 0 ), причем ε k 0 = arg minλ J k* (ε).(4.1.45)ε∈EИ обратно: если в пространстве E λ существует точка ε k 0 , удовлетворяющая(4.1.45), то точка h k 0 = h* (ε k 0 ) является решением задачи (4.1.7). Или, инымисловами, в указанном смысле задача (4.1.7) эквивалентна задаче на безусловныйэкстремумJ k* = J k* (ε) → infλ .(4.1.46)ε∈EДоказательство.
Предположим, что имеет место условиеh k 0 = arg min J k (h),h∈Ω HJ k 0 = J k (h k 0 ).(4.1.47)При этом замкнутая линейная система (4.1.8) будет иметь характеристический полином ∆ 3 ( z , h k 0 ) с корнями, расположенными в области C∆ 2 . Следовательно,потеореме∆ 3 ( z , h k 0 ) ≡ ∆* ( z , γ k 0 ),(4.1.14), (4.1.15).4.1,гденайдется∆* – полином,Следовательно,втакаяточкаформируемыйпространствеEλγ = γ k 0 ∈ E nd ,почтоформуламсуществуетточкаε k 0 = {γ k 0 , h k 0 c } , где h k 0c – соответствующая составляющая известного вектораh k 0 , для которой выполняются условия h k 0 = h* (ε k 0 ), J k* (ε k 0 ) = J k 0 .Осталось показать, что в E λ не существует точки ε01 такой, чтоJ k* (ε 01 ) < J k 0 .
Действительно, предположим обратное. Но тогда для точки h* (ε 01 )имеет место J k (h* (ε 01 )) = J k* (ε 01 ) < J k 0 , чего быть не может в силу (4.1.47). Анало-165гично доказывается и обратное утверждение теоремы. ■Данный результат позволяет сформировать следующую последовательностьдействий для решения задачи (4.1.7).Алгоритм № 1 решения задачи параметрического синтеза.1. Задать начальную точку γ ∈ E nd и построить полином ∆* ( z , γ ) по формулам (4.1.14), (4.1.15), (4.1.16).2. В соответствии с тождеством ∆ 3 ( z , h) ≡ ∆* ( z, γ ) сформировать систему нелинейных уравненийL(h) = χ( γ ),(4.1.48)которая всегда совместна и, если ее решение неединственное, назначить произвольный вектор свободных переменных h c ∈ E nc .3.
При заданном векторе ε = {γ, h c } ∈ E λ решить систему (4.1.48), получаяпри этом точку h* (ε) .4. Сформировать уравнения прогнозирующей модели замкнутой регулятором (4.1.4) с вектором параметров h* (ε) и вычислить значение минимизируемогофункционала J k* (ε) (4.1.44).5. С помощью любого допустимого численного метода решения задачи(4.1.46) на безусловный экстремум, задать новую точку ε и, повторяя пункты 3,4,минимизировать функцию J k* (ε) .6.Понахожденииточкиε k 0 = arg min J k* (ε) ,ε∈Eопределитьвекторλh k 0 = h* (ε k 0 ) , который и принять в качестве решения задачи (4.1.7).Запишем теперь алгоритм для формирования управления с прогнозом, который включает в себя решение задачи параметрического синтеза (4.1.7) на каждом такте.
Параметром предлагаемой схемы является период ∆tu пересчетауправления.166Алгоритм № 2 управления с прогнозом на базе параметрической оптимизации.y[k ] и восстановить текущее состояния1. Выполнить измерение вектора ~~x[k ] объекта с помощью асимптотического наблюдателя.2. Решить задачу параметрического синтеза (4.1.7) в соответствии с алгоритмом № 1. При этом в качестве начальной точки спуска ε для текущего тактаиспользовать решение, полученное на предшествующем такте формированияуправления. Если задачу оптимизации не удается решить с заданной точностью завремя ∆tu , то в качестве решения для текущего такта принять вектор εl из последовательности {εi } , полученной в процессе оптимизации, для которого значениеJ k* (ε ) минимально.3.
Регулятор (4.1.4) с найденным в результате решения задачи (4.1.7) вектором параметров h k 0 использовать на тактах k + l ,..., k + 2l − 1 , l = ∆tu / T (в течение следующего периода длиной ∆tu ).4. Начиная с момента времени k + l , все операции, указанные в пунктах 1–3,повторить заново.В итоге, отметим следующие важные особенности предлагаемой схемыуправления с прогнозом. Во-первых, на каждом такте гарантируется устойчивость замкнутой системы в линейном приближении.
Во-вторых, на каждом фактическом такте функционирования системы управление реализуется по принципуобратной связи. В-третьих, размерность задачи безусловной оптимизации фиксирована и не зависит от горизонта прогноза P .4.2. Прогнозирующее управление с обеспечениемробастной устойчивостиОдним из наиболее актуальных вопросов теории управления с предсказанием является исследование робастных свойств обратных связей. Это связано с тем,что характер функционирования замкнутых систем определяется в первую оче-167редь выбором математической модели, на основе которой формируется прогноздвижения. Очевидно, что прогнозирующая модель всегда отличается от фактической модели объекта управления, в связи с чем и возникают вопросы робастнойустойчивости и робастного качества при наличии неопределенностей в заданииобъекта управления.Рассмотрим задачу синтеза цифрового регулятора с прогнозом, обеспечивающего робастную устойчивость замкнутой системы в линейном приближении сучетом желаемых модальных свойств номинальной системы.
При этом неопределенность математической модели объекта управления будем представлять в частотной области.Рассмотрим случай SISO-системы: пусть Pn (z ) – номинальная передаточнаяфункция объекта управления от входа u к выходу y , соответствующая линейноймодели в пространстве состояний (4.1.3), то есть номинальная математическаямодель в tf-форме имеет вид:y = Pn ( z )u .(4.2.1)В дальнейшем будем полагать, что объект управления с номинальной математической моделью (4.2.1) подвержен воздействию неструктурированных возмущений и его действительная модель имеет вид:y = P ( z )u(4.2.2)где P(z ) – передаточная функция возмущенного объекта, отличная от номинальной.
Введем допустимую границу возмущения номинальной модели. Для этого,согласно [22], зададим ограничение сверху амплитудно-частотной характеристики (АЧХ) относительного возмущения модели:∆ 0 (e jω ) =P (e jω ) − Pn (e jω )≤ β, ω ∈ [0, π],Pn (e jω )(4.2.3)где β > 0 – заданное фиксированное число. Условие (4.2.3) определяет допустимый «коридор» для вариаций АЧХ фактического (возмущенного) объекта. Тогдамножество всевозможных передаточных функций (4.2.2) возмущенных моделей168имеет вид:Φ = { P : P = Pn (1 + ∆ 0 ),∆ 0 (e jω ) ≤ β, ω ∈ [0, π]}.Потребуем, чтобы регулятор (4.1.4) с вектором настраиваемых параметровh стабилизировал любой объект с возмущенной моделью (4.2.2), при условииP(z ) ∈ Φ , то есть обеспечивал робастную устойчивость замкнутой системы накаждом такте.Известно, что достаточным условием сохранения устойчивости замкнутойсистемы (4.2.2), (4.1.4) для любых относительных возмущений модели объекта,удовлетворяющих (4.2.3), является выполнение следующего неравенства [22]:T ( z , h)∞= max T (e jω , h) < 1 / β .(4.2.4)ω∈[ 0, π ]−1где T ( z , h) = W ( z , h)(1 + Pn ( z )W ( z , h) ) Pn ( z ) .На основе требования робастной устойчивости (4.2.4) и с учетом желаемыхмодальных свойств номинальной замкнутой системы (4.2.1), (4.1.4), введем следующее определение допустимого множества настраиваемых параметров регулятора (4.1.4):Ω*H = { h ∈ E r : δ i (h ) ∈ C∆ , i = 1, nd ,T ( z, h∞< 1 / β}.Теперь рассмотрим следующую задачу параметрического синтеза:J k = J k (h) → inf* ,h∈Ω H(4.2.5)которую необходимо решать на каждом такте процесса управления с прогнозом.Отметим, что задача оптимизации (4.2.5) является задачей нелинейного программирования: обозначим через h*k ее решение на такте k .
Тогда результатом синтеза является оптимальный регулятор (4.1.4) с передаточной функцией W ( z , h*k ) .Заметим, что каждый регулятор вида (4.1.4) с вектором настраиваемых параметров из множества Ω H имеет определенную границу робастной устойчивости. Следовательно, при определенных условиях дополнительное ограничение(4.2.4) может быть опущено.169Т е о р е м а 4 . 4 . Если выполняется условие q( ω) > β, ω ∈ [0, π] , гдеq(ω) = minh∈Ω H1, P(h, ω) = T (e jω , h) , то задача оптимизации (4.2.5) эквиваP(h, ω)лентна задаче на безусловный экстремум (4.1.46).Доказательство. Рассмотрим функциюP(h, ω) = T (e jω , h) = W (e jω , h)(1 + Pn (e jω )W (e jω , h) ) Pn (e jω ) ,−1где ω ∈ [0, π] , h ∈ Ω H .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
